Maratonas de MatemáticaI Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

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PedroCunha
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Dez 2014 26 00:21

Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 150

O seno é crescente no intervalo [tex3]\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right][/tex3] . Logo:

[tex3]\sen 45^{\circ} < \sen 50^{\circ} < \sen 60^{\circ} \therefore \frac{\sqrt2}{2} < \sen 50^{\circ} < \frac{\sqrt3}{2} \therefore 0,7 < \sen 50^{\circ} < 0,85[/tex3]

Alternativa d.

----------------------------------------------------------

Problema 151

(UNICAMP-2000)

a) Resolva a equação: [tex3]x^4-5x-6 = 0[/tex3] .

b) Mostre que, se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números reais e se não são ambos nulos, então as raízes da equação [tex3]x^4 + ax + b = 0[/tex3] não podem ser todas reais.
Resposta

Letra a: [tex3]S = \left\{ -1, 2, -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} i \right\}[/tex3]
Letra b: demonstração

Última edição: PedroCunha (Sex 26 Dez, 2014 00:21). Total de 2 vezes.


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LucasPinafi
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 151
a) [tex3]x^4-5x-6=0[/tex3]
[tex3]p[/tex3] é divisor de 6 [tex3]\Rightarrow p \in \{-1,1,-2,2,-3,3\}[/tex3]
[tex3]q[/tex3] é divisor de 1 [tex3]\Rightarrow q \in \{-1,1\}[/tex3]
[tex3]\frac{p}{q} \in \{-1,1,-2,2,-3,3\}[/tex3]
Testando os valores acima, vemos que duas das raízes dessa equação é [tex3]x=-1[/tex3] e [tex3]x=2[/tex3]
Assim, podemos reescrever essa equação como:
[tex3]x^4-5x-6=0 \Longleftrightarrow (x+1)(x-2)p(x)=0[/tex3] , onde [tex3]p(x)[/tex3] pode ser calculada pelo método da chave:
[tex3]x^4-5x-6=(x^2-x-2)(x^2+x+3)=0[/tex3]
As outras duas raízes são obtidas calculando [tex3]x^2+x+3=0[/tex3] :
[tex3]x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4.3}}{2} \Rightarrow x=\frac{-1 \pm i \sqrt{11}}{2}[/tex3]
[tex3]\Delta =-3x_1^2-3x_2^2-2x_1x_3=-2x_1^2-2x_2^2-x_1^2-x_2^2-2x_1x_2[/tex3]
Assim, as raízes são:
[tex3]\left(-1,\,2,\, \frac{1+ i\sqrt{11}}{2},\, \frac{1-i \sqrt{11}}{2}\right)[/tex3]
b) Temos os seguintes casos a considerar:
[tex3]a=0, b \neq 0[/tex3] ; [tex3]a\neq 0, b=0[/tex3] , [tex3]a \neq 0, b \neq 0[/tex3]
(i) [tex3]a=0, b \neq 0[/tex3] :
[tex3]x^4+b=0 \Rightarrow x^4=-b[/tex3] . Se [tex3]b>0[/tex3] as quatro raízes será complexas, e se [tex3]b<0[/tex3] , temos que duas raízes serão complexas.
(ii) [tex3]a \neq 0, b=0[/tex3]
[tex3]x^4+ax=0 \Rightarrow x(x^3+a)=0[/tex3] . Uma raiz é [tex3]x=0[/tex3] , enquanto as duas restantes serão obtidas fazendo [tex3]x^3+a=0 \Rightarrow x^3=-a[/tex3] . Nesse caso, para todo a real a equação terá duas raízes complexas.
(iii) [tex3]a \neq 0, b \neq 0[/tex3]
Vamos supor que duas raízes sejam reais. Sejam [tex3]x_1, x_2[/tex3] essas raízes. Pelo algoritmo de Briot-Ruffini, podemos escrever:
[tex3](x-x_1)(x-x_2)(x^2+x(x_1+x_2)+x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=x^4+ax+b=0[/tex3]
Para obter as demais raízes, basta fazer [tex3]x^2+x(x_1+x_2)+x_1^2+x_1x_2+x_2^2=0[/tex3]
[tex3]\Delta = (x_1+x_2)^2-4.(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1^2-4x_1x_2-4x_2^2[/tex3]
[tex3]\Delta =-2x_1^2-2x_2^2-x_1^2-x_2^2-2x_1x_2=-2(x_1^2+x_2^2)-(x_1+x_2)^2 <0[/tex3]
Fica assim provado que para a equação [tex3]x^4+ax+b=0[/tex3] todas as raízes não poderão ser real. Pelo menos duas deverão ser complexas.

---------------------------------------------------------------------

Problema 152

[Unicamp-2001] Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15.

a) Quais são esses números?
b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.
c) Sendo a e b os outros ângulos desse triângulo, mostre que [tex3]\sin^2 a-\sin^2b<\frac{1}{4}[/tex3]
Resposta

a) 3,5,7 b)120° c) demonstração

Última edição: LucasPinafi (Sex 26 Dez, 2014 17:49). Total de 2 vezes.


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Ittalo25
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 152

a)

[tex3](2x+1)+(2x+3)+(2x+5) = 15 \rightarrow x = 1\rightarrow \begin{cases}
3 \\
5 \\
7
\end{cases}[/tex3]

b)

O maior ângulo é oposto ao maior lado. Lei dos cossenos:

[tex3]7^2 = 3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos\alpha[/tex3]

[tex3]-\frac{1}{2} = \cos\alpha[/tex3]

Portanto:

[tex3]\alpha = \arccos\(-\frac{1}{2}\) = 120^o[/tex3]

c)

Usando a lei dos senos duas vezes:

[tex3]\begin{cases}
\frac{7}{\sen 120^o}=\frac{5}{\sen \alpha } \\
\frac{7}{\sen 120^o}=\frac{3}{\sen \beta }
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\sen \alpha = -\frac{5}{14} \\
\sen \beta = -\frac{3}{14}
\end{cases}[/tex3]

Daí:

[tex3]\sen ^2 a-\sen ^2b<\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{25}{14^2}-\frac{9}{14^2}<\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{16}{14^2}<\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{4}{14}<\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{2}{7}<\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]4<7[/tex3]

[tex3]c.q.d.[/tex3]

Problema 153

(Unicamp-2002) Uma piscina, cuja capacidade é de 120m³, leva 20 horas para ser esvaziada. O volume de água na piscina, t horas após o início do processo de esvaziamento, é dado pela função [tex3]v(t)= a\cdot (b-t)^2[/tex3] para 0≤ t≤ 20 e V(t) = 0 para t≥ 20.

a) Calcule as constantes a e b.
b) Faça o gráfico da função V(t) para t∈[0,30].
Resposta

a) a= [tex3]\frac{3}{10} b=20[/tex3]
Última edição: Ittalo25 (Sex 26 Dez, 2014 18:19). Total de 2 vezes.


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LucasPinafi
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Solução problema 153

a) Quando [tex3]t=0[/tex3] , [tex3]v(t)=120[/tex3]
[tex3]v(0)=a(b-0)^2 \Rightarrow 120=ab^2[/tex3] (i)
[tex3]v(20)=0 \Rightarrow a(b-20)^2=0[/tex3] (ii)
Como [tex3]a\neq 0[/tex3] , pois o segundo membro de (i) não pode ser nulo, só nos resta fazer [tex3]b-20=0[/tex3] , ou seja, [tex3]b=20[/tex3]
[tex3]120=ab^2 \Rightarrow \frac{120}{400}=a \Rightarrow a=\frac{3}{10}=0,3[/tex3]
[tex3]\therefore a=0,3, b=20[/tex3]

b) O gráfico de v(t) tem duas partes:
(i) Uma parábola em [0,20[. Essa parábola tem concavidade voltada para cima, pois a=0,3>0 e;
(ii) Uma reta que é o próprio eixo t em [20,30]:
grafico.png
grafico.png (8.14 KiB) Exibido 2360 vezes
-------------------------------------------------

Problema 154
[Unicamp-2002] A população de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções [tex3]A(t)=\log_8(1+t)^6[/tex3] e [tex3]B(t)=\log_2(4t+4)[/tex3] , onde a variável t representa o tempo em anos.

a) Qual a população de cada uma das cidades em t=1 e t=7?
b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é maior do que a outra. Identifique esse instante t e a cidade cuja a população é maior a partir desse momento.
Resposta

a)[tex3]A(1)=2000, A(7)=6000, B(1)=3000, B(7)=5000[/tex3]
b) [tex3]t=3 , A(t) \geq B(t), t \geq3[/tex3]
Última edição: LucasPinafi (Sex 26 Dez, 2014 19:58). Total de 4 vezes.


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PedroCunha
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Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por PedroCunha »

Solução do problema 154

Letra a:

Para [tex3]t = 1[/tex3] :

[tex3]\begin{cases}

A(1) = \log_8 2^6 \therefore A(1) = 6 \cdot \log_{2^3} 2 \therefore A(1) = 2 \cdot \log_2 2 = 2 \Leftrightarrow \text{ 2000 mil habitantes} \\
B(1) = \log_2 8 \therefore B(1) = 3 \Leftrightarrow \text{ 3000 mil habitantes }

\end{cases}[/tex3]

Para [tex3]t = 7[/tex3]

[tex3]A(7) = \log_8 8^6 \therefore A(2) = 6 \cdot \log_{2^3} 8 \therefore A(2) = 2 \cdot \log_2 8 = 6 \Leftrightarrow \text{ 6000 mil habitantes } \\
B(7) = \log_2 32 \therefore B(2) = 5 \Leftrightarrow \text{ 5000 mil habitantes }[/tex3]

Letra b:

Supondo que seja a cidade A:

[tex3]\log_8 (1+t)^6 > \log_2 (4t+4) \therefore 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \log_2 (1+t) > \log_2 [4 \cdot (1+t)] \therefore \\\\ 2 \log_2 (1+t) > 2 + \log_2 (1+t) \therefore \log_2 (1+t) > 2 \therefore 1+t > 4 \therefore t > 3[/tex3]

A suposição estava correta e a população de A será maior que a população de B a partir do instante [tex3]t = 3[/tex3] .

------------------------------------------------------------------------------

Problema 155

(FUVEST-2004) Seja [tex3]m \geq 0[/tex3] um número real e sejam [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] funções reais definidas por [tex3]f(x) = x^2 - 2|x| +1[/tex3] e [tex3]g(x) = mx+2m[/tex3] .

a) Esboçar, no plano cartesiano os gráficos de [tex3]f[/tex3] e de [tex3]g[/tex3] quando [tex3]m = \frac{1}{4}[/tex3] e [tex3]m = 1[/tex3] .
b) Determinar as raízes de [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] quando [tex3]m = \frac{1}{2}[/tex3] .
c) Determinar, em função de [tex3]m[/tex3] , o número de raízes da equação [tex3]f(x) = g(x)[/tex3]
Resposta

Letra a: desenho
Letra b: [tex3]-\frac{3}{2}, 0 , \frac{5}{2}[/tex3]
Letra c:
[tex3]m = 0 \Leftrightarrow \text{ 2 ra\'{i}zes reais } \\\\ 0 < m < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \text{ 4 ra\'{i}zes reais} \\\\ m = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \text{ 3 ra\'{i}zes reais } \\\\ m > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \text{ 2 ra\'{i}zes reais }[/tex3]
Última edição: PedroCunha (Sáb 27 Dez, 2014 10:25). Total de 2 vezes.


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caju
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Jan 2015 09 15:40

Re: I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP

Mensagem não lida por caju »

Muito obrigado a todos pela participação.

Temos agora um material belo para os que pretendem estudar para estes vestibulares! Aproveitem

Em março/2015 iremos abrir as novas maratonas deste ano. Aguardem!

Espero que tenha sido útil para os estudos.

Grande abraço,
Prof. Caju



"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

Movido de Fórum de Matemática Pré-Vestibular para Maratonas de Matemática em Ter 21 Fev, 2017 09:30 por caju

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