Maratonas de Matemática

Para todos aqueles que almejam uma vaga no IME/ITA o fórum TutorBrasil lança a segunda temporada da maratona de exercícios para fazer seu estudo andar mais rápido!

As regras são simples, mas o não cumprimento acarretará na exclusão da maratona.

1) O usuário que quiser participar deverá RESPONDER a última questão sem resposta e POSTAR uma nova questão na mesma mensagem.
2) A resolução da questão deverá ser feita como se estivesse sendo entregue para a prova discursiva do IME ou do ITA.
3) O uso do LaTeX é obrigatório, caso não saiba usar leia aqui.
4) Todas questão deverão ser da CN, EFOMM, AFA, EN, IME, ITA de preferência com o ano.
5) Não deve ser postado uma nova questão enquanto a anterior não for resolvida.
6) As questões não respondidas irão ficar por no máximo 36h, após o limite iremos removê-la para o fórum IME/ITA, disponibilizando para que seja postada uma nova.
7) As questões deverão ser numeradas na ordem crescente.
8) Antes que postar uma nova questão, verifica se ela já não se encontra no fórum. Para pesquisar é fácil, basta colocar um trecho na caixa de buscar e pronto.

Atenção: Todos os Problemas que forem dissertativas deverão apresentar o gabarito. Utilize a tag spoiler para colocar a resposta.

Veja a primeira Maratona de Matemática IME/ITA: ttb.me/maratmat

Veja a segunda Maratona de Matemática IME/ITA: ttb.me/maratmat2

Veja como devemos proceder.
Problema 1
(Questão acompanhado do ano)Escreva a questão

Código: Selecionar todos

[spoiler]Gabarito:[/spoiler]

Quem for resolver deverá escrever:
Solução do Problema 1
Descrever a solução

Problema 2
(Questão acompanhado do ano) Escreva a questão.

Código: Selecionar todos

[spoiler]Gabarito:[/spoiler]

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Problema 1 Por Pedro123

( ITA - 2004 ) Sejam os pontos [tex3]A: (2,0) , B : (4,0) e P : (3, 5+2\sqrt{2})[/tex3] .
a) Determine a equação da circunferência C, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos
pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] e é tangente ao eixo [tex3]y[/tex3] .
b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência [tex3]C[/tex3] que passam pelo ponto [tex3]P[/tex3] .

Resposta

a)[tex3]c:(x-3)^2 + (y-2\sqrt{2})^2=9[/tex3]
b)[tex3]r_2:y=-\frac{4}{3}x + 9 +2\sqrt{2}[/tex3]

Mensagem não lida por **AndreFgm** » 17 Abr 2013, 11:52

Solução do Problema 1

[tex3]a)[/tex3]
Considere a Imagem:

: maratonamat.png (2.59 KiB) Exibido 13576 vezes

Percebe-se que, se a circunferência c é tangente ao Eixo y, seu centro possui abscissa [tex3]x_0[/tex3]
igual ao raio [tex3]R[/tex3] de c.
Portanto, a equação da circunferência se torna:
[tex3]c:(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2=R^2[/tex3]
[tex3]c:(x-R)^2 + (y-y_0)^2=R^2[/tex3]

Como os pontos [tex3]A: (2,0) , B : (4,0)[/tex3] , pertencem à circunferência, temos:
[tex3]A:(2-R)^2 + (0-y_0)^2=R^2[/tex3]
[tex3](2-R)^2+y_0^2=R^2[/tex3]
[tex3]y_0^2=R^2-(R-2)^2=4R-4[/tex3]
e

[tex3]B:(4-R)^2 + (0-y_0)^2=R^2[/tex3]
[tex3](4-R)^2 +y_o^2=R^2[/tex3]
[tex3]y_o^2=R^2-(4-R)^2[/tex3]
[tex3]4R-4=8R-16[/tex3]
[tex3]R=3[/tex3]
[tex3]y_o^2=12-4[/tex3]
[tex3]y_0=\pm2 \sqrt{2}[/tex3]

Como o centro de c está no primeiro quadrante, [tex3]y_0\geq 0[/tex3] , e:
[tex3]y_0=2 \sqrt{2}[/tex3]

Deste modo, a equação da circunferência se torna:
[tex3]c:(x-3)^2 + (y-2\sqrt{2})^2=9[/tex3]

[tex3]b)[/tex3]
Considere a Imagem:

: maratonamat2.png (4.56 KiB) Exibido 13576 vezes

Percebe-se que [tex3]P:(x_p,y_p)[/tex3] está verticalmente alinhado ao centro [tex3]C:(x_0,y_0)[/tex3] de c, pois:
[tex3]x_p=x_0=R[/tex3] .

É evidente que duas retas satisfazem a condição proposta, estando elas representas por [tex3]r_1[/tex3] e por [tex3]r_2[/tex3] na imagem. Portanto, podemos afirmar:
[tex3]r_1: y=m_1x \,\,+n_1[/tex3]
[tex3]r_2: y=m_2x \,\,+n_2[/tex3]

Pela imagem, podemos concluir:
[tex3]m_1=tg\theta= \frac{\sqrt{d_{CP}^2-R^2}}{R}=\frac{\sqrt{(5 +2\sqrt{2} -2\sqrt{2})^2 -3^2}}{3}=\frac{\sqrt{25-16}}{3}[/tex3]
Portanto,
[tex3]m_1=\frac{4}{3}[/tex3]
e,

[tex3]m_2=tg(180^{\circ}-\theta )=-tg\theta[/tex3]
Portanto,
[tex3]m_2=-\frac{4}{3}[/tex3]

Como ambas as retas passam pelo ponto [tex3]P:(3,5+2\sqrt{2})[/tex3] ,

Para [tex3]r_1[/tex3] ,
[tex3]y=\frac{4}{3}x + n_1[/tex3]
[tex3]5+2\sqrt{2}=\frac{4}{3}3 + n_1[/tex3]
[tex3]n_1=1+2\sqrt{2}[/tex3]
Portanto,
[tex3]r_1:y=\frac{4}{3}x + 1 +2\sqrt{2}[/tex3]

Para [tex3]r_2[/tex3] ,
[tex3]y=-\frac{4}{3}x + n_2[/tex3]
[tex3]5+2\sqrt{2}=-\frac{4}{3}3 + n_2[/tex3]
[tex3]n_2=9+2\sqrt{2}[/tex3]
Portanto,
[tex3]r_2:y=-\frac{4}{3}x + 9 +2\sqrt{2}[/tex3]

-----------------------------------------------------------------------------

Problema 2

(ITA - 2007) Sejam [tex3]A:(a,0)[/tex3] , [tex3]B:(0,a)[/tex3] e [tex3]C:(a,a)[/tex3] os pontos do plano cartesiano, em que [tex3]a[/tex3] é um número real não nulo. Assinale a equação do lugar geométrico dos pontos [tex3]P:(x,y)[/tex3] cuja distância à reta que passa por [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] é igual a distância de [tex3]P[/tex3] ao ponto [tex3]C[/tex3] .

a) [tex3]x^2 + y^2 -2xy-2ax -2ay+3a^2=0[/tex3]
b) [tex3]x^2 + y^2 +2xy+2ax +2ay+3a^2=0[/tex3]
c) [tex3]x^2 + y^2 -2xy+2ax +2ay+3a^2=0[/tex3]
d) [tex3]x^2 + y^2 -2xy-2ax -2ay-3a^2=0[/tex3]
e) [tex3]x^2 + y^2 +2xy-2ax -2ay-3a^2=0[/tex3]

Resposta:

a)

Mensagem não lida por **timoteo** » 21 Abr 2013, 23:12

Resolução do problema 2

Vamos lá. Primeiro notei que o enunciado estava falando de uma parábola, daí montei o gráfico e depois utilizei as fórmulas de distância da reta ao ponto e igualei a fórmula de distancia de dois pontos.

abaixo o esboço:

: parabola.png (3.89 KiB) Exibido 13575 vezes

Resolução:Primeiro encontrar a equação da reta por matriz;

[tex3]\left(\begin{array}{cc} x & y & 1 \\ a & 0 & 1 \\0 & a & 1 \end{array}\right)[/tex3] = -ax - ay + [tex3]a^{2}[/tex3]

e utilizando a fórmula de distância da reta ao ponto, igualada com a equação da distância entre dois pontos, ficamos:

[tex3]\frac{|ax + by + c|}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} = \sqrt{(x-xo)^{2} + (y - yo)^{2}}\rightarrow\frac{-ax - ay + a^{2}}{a\sqrt{2}}[/tex3] = PC = [tex3]\sqrt{(x - a)^{2} + (y - a)^{2}}[/tex3]

elevando tudo ao quadrado

[tex3]\frac{x^{2} + y^{2} - 2ax - 2ay + 2xy + a^{2}}{2} = x^{2} + y^{2} - 2ax - 2ay + 2a^{2}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x^{2} + y^{2} - 2ax - 2ay + 2xy + a^{2}{} = 2x^{2} + 2y^{2} - 4ax - 4ay + 4a^{2}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x^{2} + y^{2} -2ax -2ay - 2xy + 3a^{2}[/tex3] = 0.

Com isso chegamos na letra a.

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Problema 3

(ITA - 2013) Sejam [tex3]A, B\, e\, C[/tex3] subconjuntos de um conjunto universo [tex3]U[/tex3] . Das aﬁrmações:

I. [tex3]A\setminus (B \setminus \cap C) = (A \setminus B) \cap (A\setminus C)[/tex3] ;
II. [tex3](A \cap C)\setminus B = A \cap B\setminus C \cap C[/tex3] ;
III. [tex3](A \setminus B) \cap (B \setminus C) = (A\setminus B)\setminus C[/tex3] ,

é (são) verdadeira(s)

a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) todas.

Resposta

c

Resolução do problema 3

[tex3]\text{I}.\,\,\,\,A\,\setminus\,(B\,\cap\,C)=(A\,\setminus\,B)\,\cup\,(A\,\setminus\,C)[/tex3]

Verdadeiro.
[tex3](A\,\setminus\,B)\,\cup\,(A\,\setminus\,C)=(A\,\cap\,B^c)\,\cup\,(A\,\cap\,C^c)=A\,\cap\,(B^c\,\cup\,C^c)=\\\\A\,\cap\,(B\,\cap\,C)^c=A\setminus(B\,\cap\,C)[/tex3]

[tex3]\text{II}.\,\,\,\,(A \cap C)\setminus B = A \cap B^c \cap C[/tex3]

Verdadeiro.
[tex3](A \cap C)\setminus B=(A \cap C)\cap B^c=A \cap B^c\cap C[/tex3]

[tex3]\text{III.}\,\,\,\,\,(A \setminus B) \cap (B \setminus C) = (A\setminus B)\setminus C[/tex3]

Falso.
[tex3](A \setminus B) \cap (B \setminus C)=(A \cap B^c) \cap (B \cap\,C^c)=(A \cap C^c) \cap (B \cap\,B^c)=\\\\(A \cap C^c) \cap\,\emptyset\,=\,\emptyset[/tex3]

Resposta: c

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Problema 4

(ITA - 1996) Seja [tex3]\alpha\,\in\,\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right][/tex3] , tal que [tex3]\sin x+\cos x= m[/tex3] .

Então, o valor de [tex3]y=\frac{\sin2\alpha}{\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}[/tex3] será:

a) [tex3]\frac{2(m^2-1)}{m(4-m^2)}[/tex3]

b) [tex3]\frac{2(m^2+1)}{m(4+m^2)}[/tex3]

c) [tex3]\frac{2(m^2-1)}{m(3-m^2)}[/tex3]

d) [tex3]\frac{2(m^2-1)}{m(3+m^2)}[/tex3]

e) [tex3]\frac{2(m^2+1)}{m(3-m^2)}[/tex3]

Resposta

\Gabarito: c

caprecci · Mensagem não lida por **caprecci** » 28 Abr 2013, 13:17

Resolução do problema 4:

Observe que:

[tex3]y=\frac{\sin2\alpha}{\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow y=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha)}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow y=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{(\sin\alpha+\cos\alpha)(1-\sin\alpha\cos\alpha)}[/tex3]

Mas:

[tex3](\sin x+\cos x)^2= m^2[/tex3]
[tex3]1+2\sin x\cos x= m^2[/tex3]
[tex3]\sin\alpha\cos\alpha=\frac{m^2-1}{2}[/tex3]

Assim:

[tex3]y=\frac{m^2-1}{m(1-\frac{m^2-1}{2})}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow y=\frac{2(m^2-1)}{m(3-m^2)}[/tex3]

Obtemos a alternativa C

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Problema 5

(ITA - 2005) Considere a equação em [tex3]x \in R[/tex3] .

[tex3]\sqrt{1+mx}=x+\sqrt{1-mx}[/tex3] .

Sendo m um parâmetro real.
(a) Resolva a equação em função do parâmetro m.
(b) Determine todos os valores de m para os quais a equação admite solução não nula.

IsraelSmith

Resolução do Problema 5:

[tex3]\sqrt{1+mx}=x-\sqrt{1-mx}[/tex3]

a)

Um pontapé inicial, foi isolar o x:

[tex3]\sqrt{1+mx}-\sqrt{1-mx}=x[/tex3]

Elevar ambos os membros ao quadrado:

[tex3](1+mx)+(1-mx)-2\sqrt{(1-mx)(1+mx)}=x^2[/tex3]
[tex3]x^2-2=-2\sqrt{(1-mx)(1+mx)}[/tex3]

Elevando ao quadrado novamente:

[tex3]x^4-4x^2+4=4(1-mx)(1+mx)[/tex3]
[tex3]x^4-4x^2+4m^2x^2=0[/tex3]

Daí, temos duas possibilidades:

(I) [tex3]x^2=0[/tex3]
(II) [tex3]x^2+4m^2-4=0[/tex3]

Resolvendo a segunda possibilidade, temos:

[tex3]x^2=4(1-m^2)[/tex3]
[tex3]x=\pm 2\sqrt{(1-m^2)}[/tex3]

b)

Para que as soluções sejam não-nulas, então:

[tex3](1-m^2)>0[/tex3]
[tex3]-1<m<1[/tex3]

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Problema 6

(ITA-1990) Seja C o centro da circunferência [tex3]x^2+y^2-6\sqrt2y=0.[/tex3] Considere A e B os pontos de intersecção desta circunferência com a reta [tex3]y=2x.[/tex3] Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices A, B e C é:

a) [tex3]6\sqrt2+\sqrt3[/tex3]
b) [tex3]4\sqrt3+\sqrt2[/tex3]
c) [tex3]\sqrt2+\sqrt3[/tex3]
d) [tex3]5\sqrt3+\sqrt2[/tex3]
e) n.d.a.

Resposta

Letra e)

Solução do Problema 6

Correção: A equação da reta é [tex3]y=\sqrt{2}x[/tex3]

As coordenadas do centro valem:
[tex3]C=\left(\frac{0}{-2},\frac{-6\sqrt{2}}{-2}\right)=(0,3\sqrt{2} )[/tex3]

Substituindo [tex3]y=\sqrt{2}x[/tex3] na equação da circunferência:
[tex3]x^2+2x^2-12x=0[/tex3]
[tex3]x\cdot (3x-12)=0[/tex3]
[tex3]x=0\,\,\Rightarrow\,\,y=0\,\,\therefore\,\,A(0,0)[/tex3] . Ponto escolhido arbitrariamente (não interfere no resultado)
[tex3]x=4\,\,\Rightarrow\,\,y=4\sqrt{2}\,\,\therefore\,\,B(4,4\sqrt{2} )[/tex3]

[tex3]\overline{AC}=\sqrt{(0-0)^2+(0-3\sqrt{2})^2}=3\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\overline{AB}=\sqrt{(0-4)^2+(0-4\sqrt{2})^2}=4\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\overline{BC}=\sqrt{(4-0)^2+(4\sqrt{2}-3\sqrt{2} )^2 }=3\sqrt{2}[/tex3]

Portanto o perímetro vale:
[tex3]2p=3\sqrt{2}+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{2p=4\sqrt{3}+6\sqrt{2}}[/tex3] . Letra E

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Problema 7

(AFA - 2012) Sejam [tex3](1,a_2,a_3,a_4)[/tex3] e [tex3](1,b_2,b_3,b_4)[/tex3] uma progressão aritmética e uma progressão geométrica, respectivamente, ambas com a mesma soma dos termos e ambas crescentes. Se a razão [tex3]r[/tex3] da progressão arimética é o dobro da razão [tex3]q[/tex3] da progressão geométrica, então o produto [tex3]r\cdot q[/tex3] é igual a :

[tex3]a)\,\,15\\b)\,\,18\\c)\,\,21\\d)\,\,24[/tex3]

Resposta

[tex3]b)[/tex3]

IsraelSmith

Solução do Problema 7

Olá, pessoal!

Resolvi o problema da seguinte maneira:

Temos duas progressões:

[tex3](1,a_1.a_2,a_3,a_4)[/tex3] e [tex3](1,b_1.b_2,b_3,b_4)[/tex3]

Do enunciado sabemos que: [tex3]q>1,[/tex3] [tex3]r>1,[/tex3] [tex3]1+(1+r)+(1+2r)+(1+3r)=1+q+q^2+q^3[/tex3] e [tex3]r=2q[/tex3]
Escrevendo a igualdade das somas em função de [tex3]q[/tex3] vamos ter:
[tex3]3+12q=q+q^2+q^3 \rightarrow q^3+q^2-11q-3=0[/tex3]

Onde, teremos uma equação do terceiro grau a resolver.

Para resolver esta equação de uma maneira bem prática, basta obter uma forma fatorada e analisá-la em casos:
[tex3]q^3+q^2-11q=3[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]q(q^2+q-11)=3[/tex3]
Daí, ou [tex3]q=3[/tex3] e [tex3](q^2+q-11)=1[/tex3] ou
[tex3]q=1[/tex3] e [tex3](q^2+q-11)=3[/tex3]

Depois de algumas contas .. só podemos ter [tex3]q=3[/tex3] para essa situação.

No entanto, podemos nos beneficiar do teorema em que nos permite escrever toda equação polinomial em sua forma fatorada, obtendo:

[tex3]a(q-q_1)(q-q_2)(q-q_3)=0[/tex3]
Mas
[tex3]a=1[/tex3] e [tex3]q_1=3[/tex3]
Logo:
[tex3](q-3)(q-q_2)(q-q_3)=0[/tex3]
Para obter as outras raízes, é só dividir a equação inicial por [tex3]q-3[/tex3] , obtendo [tex3]q^2+4q+1[/tex3] mas não se faz necessário, uma vez que as outras raízes são negativas. Basta observar que o polinômio resultante da divisão é o que tem soma negativa e produto positivo, e o enunciado pede valores positivos e maiores que 1 para [tex3]q[/tex3] . Nos restando apenas [tex3]q=3[/tex3] como razão para a nossa progressão geométrica.

O produto [tex3]r.q=3.(2.3)=18[/tex3]

Alternativa b)

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Problema 8

(ITA-1997) Seja S o conjunto dos números complexos que satisfazem, simultaneamente às equações: [tex3]|z-3i|=3[/tex3] e [tex3]|z+i|=|z-2-i|[/tex3]
O produto de todos os elementos de S é igual a:

a) [tex3]-2+i\sqrt3[/tex3]
b) [tex3]2\sqrt2+3i\sqrt3[/tex3]
c) [tex3]2\sqrt2+3i\sqrt3[/tex3]
d) [tex3]-3+3i[/tex3]
e) [tex3]-2+2i[/tex3]

Resposta

Alternativa d)

Solução do Problema 8

Seja [tex3]z = a + bi[/tex3] um número complexo, com [tex3]a,b\,\,\in\,\,\mathbb{R}[/tex3]

[tex3]|a + i\cdot (b - 3)| = 3[/tex3]
[tex3]|a + i\cdot (b + 1)| = |(a - 2) + i(b - 1)|[/tex3]

[tex3]|z| = \sqrt{a^2 + b^2}[/tex3] , logo temos:

[tex3]a^2 + (b - 3)^2 = \sqrt{3}[/tex3]
[tex3]a^2 + b^2 - 6b = \sqrt{3} - 9\hspace{30px}(I)[/tex3]

[tex3]a^2 + (b + 1)^2 = (a - 2)^2 + (b - 1)^2[/tex3]
[tex3]a + b = 1 \hspace{30px}(II)[/tex3]

De [tex3](I)\,\,\text{e}\,\,(II)[/tex3] vem que:
[tex3]a = -1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}[/tex3]

Portanto, os valores possíveis de b são: [tex3]2 + \frac{\sqrt{14}}{2}[/tex3] , [tex3]2 - \frac{\sqrt{14}}{2}[/tex3]

[tex3]z_1 = -\left(1 - \frac{\sqrt{14}}{2}\right) + \left(2 - \frac{\sqrt{14}}{2}\right)\cdot i[/tex3]
[tex3]z_2 = - \left(1 + \frac{\sqrt{14}}{2}\right) + \left( 2 + \frac{\sqrt{14}}{2}\right)\cdot i[/tex3]

Portanto, o produto [tex3]\boxed{z_1 \cdot z_2 = -3 + 3i}[/tex3]

-----------------------------------

Problema 9

(AFA - 2000) Se [tex3]a+b=\frac{5\pi}{4}[/tex3] , então [tex3](1+\tan \,a)(1+\tan \,b)[/tex3] é:

[tex3]a)\,\,0\\b)\,\,1\\c)\,\,2\\d)\,\,3[/tex3]

Resposta

[tex3]c)[/tex3]

PedroB · Mensagem não lida por **PedroB** » 10 Mai 2013, 21:41

Solução do problema 9:

Temos que [tex3]\tan\frac{5\pi }{4}=\tan\frac{\pi }{4} = 1[/tex3]

Também sabemos que [tex3]\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\cdot \tan b}[/tex3]

Portanto, [tex3]\tan\frac{5\pi }{4}=1=\frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\cdot \tan b}[/tex3]

[tex3]1 = \tan a + \tan b + \tan a\cdot \tan b[/tex3]

Resolvendo a expressão:

[tex3](1 + \tan a)\cdot (1 + \tan b) = 1 + \tan a + \tan b + \tan a\cdot \tan b = 1 + 1 = 2[/tex3]

--------------------------------------------------

Problema 10:

(AFA - 1989) Uma esfera de raio 8 é seccionada por um plano, distante 5 do seu centro. O raio da secção é:

a) [tex3]\sqrt{11}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{23}[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{39}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{47}[/tex3]

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