Re: III Maratona de Matemática IME/ITA
Enviado: Qua 06 Nov, 2013 17:54
Solução do Problema 90
Do enunciado tiramos [tex3]A+B+C=\pi[/tex3] , logo
[tex3]\tan (A+B)=\tan (\pi-C)[/tex3]
[tex3]\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \cdot \tan B}=-\tan C[/tex3]
[tex3]\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \cdot \tan B\cdot \tan C[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{\tan A \cdot \tan B\cdot \tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}=1}[/tex3]
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Problema 91
(IME - 1954/1955) Uma circunferência de círculo passa pelo foco da parábola [tex3]x^2=-8y[/tex3] , é tangente ao semi-eixo negativo dos [tex3]x[/tex3] e tem o centro sobre a reta [tex3]x-y-4 = 0[/tex3] . Pedem-se:
a) Achar a equação da circunferência.
b) Achar as equações das tangentes à circunferência tiradas pela origem.
a)[tex3](x + 6)^2 + (y + 10)^2 = 100[/tex3]
b)[tex3]y=0[/tex3] e [tex3]y+\frac{15}{8}x=0[/tex3]
Do enunciado tiramos [tex3]A+B+C=\pi[/tex3] , logo
[tex3]\tan (A+B)=\tan (\pi-C)[/tex3]
[tex3]\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \cdot \tan B}=-\tan C[/tex3]
[tex3]\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \cdot \tan B\cdot \tan C[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{\tan A \cdot \tan B\cdot \tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}=1}[/tex3]
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Problema 91
(IME - 1954/1955) Uma circunferência de círculo passa pelo foco da parábola [tex3]x^2=-8y[/tex3] , é tangente ao semi-eixo negativo dos [tex3]x[/tex3] e tem o centro sobre a reta [tex3]x-y-4 = 0[/tex3] . Pedem-se:
a) Achar a equação da circunferência.
b) Achar as equações das tangentes à circunferência tiradas pela origem.
Resposta
a)[tex3](x + 6)^2 + (y + 10)^2 = 100[/tex3]
b)[tex3]y=0[/tex3] e [tex3]y+\frac{15}{8}x=0[/tex3]