Re: III Maratona de Matemática IME/ITA
Enviado: Qui 29 Ago, 2013 21:04
Solução do Problema 60
[tex3]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^2}{n!}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^2}{n(n-1)!}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{(n-1)!}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n!}+\frac{1}{n!}\right)[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}-1[/tex3]
[tex3]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}-1=e+e-1[/tex3]
[tex3]R=\frac{1-2e-1}{e}[/tex3]
[tex3]\boxed{R=2}[/tex3]
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Problema 61
(IME - 1995/1996) Um triângulo [tex3]ABC[/tex3] tem base fixo sobre uma reta [tex3]r[/tex3] . O vértice [tex3]C[/tex3] desloca-se ao longo de uma reta [tex3]s[/tex3] , paralela a [tex3]r[/tex3] e a uma distância [tex3]h[/tex3] da mesma. Determine a equação da curva descrita pelo ortocentro do triângulo [tex3]ABC[/tex3] .
[tex3]y=-\frac{x^2}{h}+\frac{\overline{AB}^2}{4h}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^2}{n!}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^2}{n(n-1)!}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{(n-1)!}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n!}+\frac{1}{n!}\right)[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}-1[/tex3]
[tex3]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}-1=e+e-1[/tex3]
[tex3]R=\frac{1-2e-1}{e}[/tex3]
[tex3]\boxed{R=2}[/tex3]
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Problema 61
(IME - 1995/1996) Um triângulo [tex3]ABC[/tex3] tem base fixo sobre uma reta [tex3]r[/tex3] . O vértice [tex3]C[/tex3] desloca-se ao longo de uma reta [tex3]s[/tex3] , paralela a [tex3]r[/tex3] e a uma distância [tex3]h[/tex3] da mesma. Determine a equação da curva descrita pelo ortocentro do triângulo [tex3]ABC[/tex3] .
Resposta
[tex3]y=-\frac{x^2}{h}+\frac{\overline{AB}^2}{4h}[/tex3]