Maratonas de Matemática

IsraelSmith

Solução do problema 70

Podemos escrever a desigualdade da seguinte maneira:
[tex3]\frac{1}{4}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{2^2}{3^2}+...+\frac{2^n}{3^n}+...\right)\cdot|f(x)|\leq\frac{9}{4}[/tex3]
Pela soma de P.G. infinitas [tex3]S = \frac{a_1}{1-q}[/tex3] :
[tex3]\frac{1}{4}\left(\frac{1}{{1-\frac{2}{3}}}\right)\cdot|f(x)|\leq \frac{9}{4}[/tex3]
[tex3]\rightarrow |f(x)|\leq3\,\,\, \rightarrow\,\,\, 0\leq \log(x) \leq 6[/tex3]

[tex3]10^0\leq x \leq 10^6[/tex3]

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Problema 71

(IME 2010) Considere o sistema:

[tex3]\begin{cases}
xy+x-y=5 \\
x^3y^2 -x^2y^3-2x^2y+2xy^2=6
\end{cases}[/tex3]

onde x e y são números inteiros. O valor de [tex3]x^3+y^2+x+y[/tex3] é:

a) 14 b) 18 c) 20 d) 32 e) 38

Resposta

e) 38

Solução do Problema 71

Fatorando a segunda:
[tex3](xy)^2\cdot (x-y)-2xy\cdot (x-y)=6[/tex3]
[tex3](x-y)\cdot [(xy)^2-2xy]=6[/tex3]

Substituindo a primeira:
[tex3](5-xy)\cdot [(xy)^2-2xy]=6[/tex3] . Fazendo [tex3]xy=k:[/tex3]
[tex3]k^3-7k^2+10k+6=0[/tex3]

Se [tex3]x,y\,\in\,\,\mathbb{Z}\,\therefore\,\,k\,\in\,\, \mathbb{Z}[/tex3] .
De acordo como teorema das raízes racionais a possíveis raízes serão: [tex3]\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 6[/tex3] . Testando as raízes apenas [tex3]k=3[/tex3] satisfaz.

Logo,

[tex3]\begin{cases}x-y=2\\xy=3\end{cases}[/tex3]

[tex3](x,y)=(3,1);(-1,-3)[/tex3]

Substituindo os pares:
[tex3]\boxed{x^3+y^2+x+y=38\,\,\text{ou}\,\,6}[/tex3] .

Poderia ser anulada por ter duas respostas (mas apenas uma é disponível). Letra E

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Problema 72

(IME - 2008/2009) Se as curvas [tex3]y=x^2+ax+b[/tex3] e [tex3]x=y^2+cy+d[/tex3] se interceptam em quatro pontos distintos, a soma das ordenadas destes quatro pontos:

[tex3]a)[/tex3] depende apenas do valor de [tex3]c[/tex3]
[tex3]b)[/tex3] depende apenas do valor de [tex3]a[/tex3]
[tex3]c)[/tex3] depende apenas dos valores de [tex3]a\,\,\,\text{e}\,\,\,c[/tex3]
[tex3]d)[/tex3] depende apenas dos valores de [tex3]a\,\,\,\text{e}\,\,\,b[/tex3]
[tex3]e)[/tex3] depende dos valores [tex3]a,b,c\,\,\text{e}\,\,d[/tex3]

Resposta

a) [tex3]-2c[/tex3]

Mensagem não lida por **lellouch** » 10 Out 2013, 21:04

Solução do Problema 72

Sejam [tex3]C':\,\, y=x^2+ax+b[/tex3] e [tex3]C'':\,\,x=y^2+cy+d[/tex3]

[tex3]C''= C':[/tex3]

[tex3]y=(y^2+yc+d)^2+a(y^2+yc+d)+b[/tex3]

Fazendo todas as operações tem-se:
[tex3]y^{4}+y^{3}2c+y^2\cdot (c^2+2d+a)+y\cdot (ca+2cd)+da+b=0[/tex3]

Por Girard sabe-se que a soma das raízes vai ser igual a : [tex3]\frac{-(2c)}{1} = -2c[/tex3]

LETRA A

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Problema 73 Questão proposta por Theblackmamba

(AFA - 2007) O termo [tex3]x^8[/tex3] no desenvolvimento de [tex3](x-2)^4(x+1)^5[/tex3] é:

[tex3]a)-32x^8\\b)-3x^8\\c)\,\,72x^8\\d)\,\,80x^8[/tex3]

Resposta

b)

Solução do Problema 73

O termo [tex3]x^8=x^3\cdot x^5+x^4\cdot x^4[/tex3]

[tex3](x-2)^4=\sum_{k=0}^{4}{4\choose k}x^{4-k}(-2)^k[/tex3]
[tex3]T_2={4\choose 1}x^3(-2)^1=-8x^3[/tex3]
[tex3]T_1={4\choose 0}x^4(-2)^0=x^4[/tex3]

[tex3](x+1)^5=\sum_{k=0}^{5}{5\choose k}x^{5-k}(1)^k[/tex3]
[tex3]T_1={5\choose 0}x^5=x^5[/tex3]
[tex3]T_2={5\choose 1}x^4=5x^4[/tex3]

Desta forma temos,
[tex3]-8x^3\cdot x^5+x^4\cdot 5x^4=\boxed{-3x^8}[/tex3] . Letra B

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Problema 74

(EFOMM - 2013/2014) O valor da soma de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] , para que a divisão de [tex3]f(x)=x^3+ax+b[/tex3] por [tex3]g(x)=2x^2+2x-6[/tex3] seja exata, é

a) [tex3]-1[/tex3]
b) [tex3]0[/tex3]
c) [tex3]1[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3]
e) [tex3]3[/tex3]

Resposta

Letra A

Mensagem não lida por **Juniorhw** » 23 Out 2013, 16:26

Solução do Problema 74

Dividindo pelo método da chave, obtemos o resto [tex3](a+4)x+b-3[/tex3] . Como este resto deve ser zero, temos:

[tex3](a+4)x+b-3=0\\\\(a+4)x=3-b\\\\a+4=0\,\,e\,\,3-b=0\\\\a=-4\,\,e\,\,b=3\\\\\boxed{a+b=-1}[/tex3]

Letra a

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Problema 75

(ITA-75) Seja [tex3]S[/tex3] o conjunto das soluções do sistema de desigualdades:

[tex3]\begin{cases}2x+y-3>0\\x-2y+1<0\\y-3<0\\x+my-5<0,\,\,\text{m real}\end{cases}[/tex3]

A representação geométrica de [tex3]S[/tex3] , em coordenadas cartesianas ortogonais [tex3](x,y)[/tex3] é:

a) um quadrilátero para qualquer [tex3]m>0[/tex3]
b) um triângulo isósceles para qualquer [tex3]m<0[/tex3]
c) um triângulo retângulo para [tex3]m<0[/tex3] ou [tex3]\frac{5}{3}<m<4[/tex3]
d) S é um conjunto vazio para [tex3]m>\frac{5}{3}[/tex3]
e) nda

Resposta

Letra c

Solução do Problema 75

Seja
[tex3]r:\, 2x+y-3=0[/tex3]
[tex3]s:\, x-2y+1=0[/tex3]

Facilmente podemos ver que as retas [tex3]r\,e\,s[/tex3] são perpendiculares.
[tex3]m_s\cdot m_r=-1[/tex3]

Fazendo um gráfico das 3 primeiras equações.

: ITA_75.png (7.88 KiB) Exibido 6255 vezes

a)Falsa
Para a figura ser um quadrilátero a última equação deve passar por D e qualquer ponto [tex3](x,3)[/tex3] tal que [tex3]x\in (0,5)[/tex3]
Desta forma devemos ter [tex3]0<m<\frac{5}{3}[/tex3] .

b)Falsa,
Quando [tex3]m<0[/tex3] o triângulo resultando é igual da figura e facilmente podemos ver que o triângulo não é isósceles.

c)Verdadeiro,
Para a figura ser um triângulo a última equação deve passar por D e qualquer ponto [tex3](x,y)[/tex3] tal que [tex3]x\in (0,1)[/tex3] e [tex3]y\in (1,3)[/tex3] .
Desta forma devemos ter [tex3]\frac{5}{3}<m<4[/tex3] .

E como já foi observado, quando [tex3]m<0[/tex3] o triângulo resultando é igual o da figura é que retângulo.

d)Falso,
Se [tex3]\frac{5}{3}<m<4[/tex3] teremos um triângulo retângulo.

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Problema 76

(ITA-1978) Com respeito à função [tex3]g(x) = \log_e \left[\sin x+\sqrt{1+\sin^2x }\right][/tex3] , podemos afirmar que:

a) está definida apenas para [tex3]x\geq0[/tex3]
b) é uma função que não é par nem ímpar.
c) é uma função par.
d) é uma função ímpar.
e) n.d.a.

Resposta

Letra D

Solução do Problema 76

[tex3]g(x)=\arcsenh (\sen x)[/tex3]

O argumento da função seno hiperbólica inversa é [tex3]\mathbb{R}[/tex3] , logo [tex3]x\,\,\in\,\,\mathbb{R}[/tex3] .

E essa função é ímpar pois [tex3]g(-x)=\arcsenh (\sen (-x))=\arcsenh (-\sen x)=-\arcsenh (\sen x)[/tex3] , já que a função é simétrica em relação a origem. Letra D

Solução Alternativa

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Problema 77

(EN - 2010) Uma progressão geométrica infinita tem o [tex3]4^{\circ}[/tex3] termo igual a [tex3]5[/tex3] . O logaritmo na base [tex3]5[/tex3] do produto de seus [tex3]10[/tex3] primeiros termos vale [tex3]10-15\log_5\,2[/tex3] . Se [tex3]S[/tex3] é a soma dessa progressão, então o valor de [tex3]\log_2\,S[/tex3] é

[tex3]a)\,\,2+3\log_2\,5\\b)\,\,2+\log_2\,5\\c)\,\,4+\log_2\,5\\d)\,\,1+2\log_2\,5\\e)\,\,4+2\log_2\,5[/tex3]

Resposta

c)

Solução do Problema 77

Temos,
[tex3]a_4=5[/tex3]
[tex3]n=10[/tex3]
[tex3]\log_5P=10-15\log_52[/tex3]

Sabemos que
[tex3]P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}[/tex3]
[tex3]a_1=\frac{a_4}{q^3}[/tex3]
[tex3]a_{10}=a_4q^6[/tex3]

Assim temos
[tex3]P=\sqrt{\left(\frac{a_4}{q^3}\cdot a_4q^6\right)^{10}}[/tex3]
[tex3]P=a_4^{10}\cdot q^{15}[/tex3]
[tex3]\cancel{10}-15\log_5=\cancel{10\log_5 5} +15\log_q[/tex3]
[tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]

A soma dos infinitos termos vale
[tex3]S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{a_4}{q^3(1-q)}[/tex3]
[tex3]S=\frac{5}{\frac{1}{8}\left(1-\frac{1}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]S=80[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{\log_2S=4+\log_25}[/tex3] . Letra C

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Problema 78

(IME - 1986/1987) Dois números complexos [tex3]Z_1[/tex3] e [tex3]Z_2[/tex3] , não nulos, são tais que [tex3]|Z_1+Z_2|=|Z_1-Z_2|[/tex3] .
Mostre que [tex3]\frac{Z_2}{Z_1}[/tex3] é imaginário puro.

Solução do Problema 78

Seja:
[tex3]Z_1=x+yi[/tex3]
[tex3]Z_2=z+wi[/tex3]

[tex3]|Z_1+Z_2|=|Z_1-Z_2|[/tex3]
[tex3]\sqrt{(x+z)^2+(y+w)^2}=\sqrt{(x-z)^2+(y-w)^2}[/tex3]
[tex3](x+z)^2-(x-z)^2+(y+w)^2+(y-w)^2=0[/tex3]
[tex3]4xz+4yw=0[/tex3]
[tex3]\boxed{xz+yw=0}[/tex3]

Como os números são não-nulos então seus módulos não são nulos:
[tex3]x^2+y^2\neq 0[/tex3] e [tex3]z^2+w^2\neq 0[/tex3]
[tex3]\frac{Z_2}{Z_1}=\frac{x+yi}{z+wi}\times \frac{z-wi}{z-wi}=\frac{\overbrace{(xz+yw)}^{0}+(xw+yz)i}{z^2+w^2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{Z_2}{Z_1}=\frac{(xw+yz)}{(z^2+w^2)}\cdot i}[/tex3] , que é imaginário puro CQD.

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Problema 79

(IME - 1970/71) Sejam [tex3]n[/tex3] circunferências de raio [tex3]R[/tex3] , tangentes entre si duas a duas e tendo seus centros sobre os vértices de um polígono regular. Calcular a área exterior às circunferências e compreendida entre elas, em função de [tex3]R[/tex3] e [tex3]n[/tex3] .

[tex3]a)\,\,R^2\cdot \left(n\cdot \tan \frac{\pi}{2}-\cot \frac{\pi}{n}\right)[/tex3]
[tex3]b)\,\,R^2\cdot \tan \frac{(n-1)\pi}{2}[/tex3]
[tex3]c)\,\,R^2\cdot\left[ n \cdot \cot \frac{\pi}{n}-\left(\frac{n-2}{2}\right)\pi\right][/tex3]
[tex3]d)\,\,R^2\cdot \left(\sin \frac{\pi}{n}-\cos \frac{\pi}{n}\right)[/tex3]
[tex3]e)\,\,R^2\cdot \left(\tan \frac{\pi}{n}-\cos \frac{\pi}{n}\right)[/tex3]
[tex3]f)\,\,\text{N.R.A}[/tex3]

Resposta

c)

Solução do Problema 79

: IME-1971_1970.png (17.63 KiB) Exibido 6207 vezes

A área do [tex3]\Delta OAB[/tex3] vale
[tex3]S_{\Delta}=\frac{\ell^2 \sen\theta}{2}[/tex3] , onde [tex3]\theta=\frac{2\pi}{n}[/tex3] .

Da lei dos cossenos temos,
[tex3]4R^2=2\ell^2-2\ell^2\cos\theta[/tex3]
[tex3]\ell^2=\frac{2R^2}{1-\cos\theta}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]S_{\Delta}=\frac{2R^2}{1-\cos\theta}\cdot\frac{\sen\theta}{2}=\frac{R^2\sen\theta}{1-\cos\theta}[/tex3]

Mas
[tex3]\sen\theta=\sen\left(\frac{2\pi}{n}\right)=2\sen\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)[/tex3]
[tex3]\cos\theta=\sen\left(\frac{2\pi}{n}\right)=cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)-\sen^2\left(\frac{\pi}{n}\right)[/tex3]

Desta forma temos,
[tex3]S_{\Delta}=\frac{R^2\sen\theta}{1-\cos\theta}=\frac{2R^2\sen\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{1-cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)-\sen^2\left(\frac{\pi}{n}\right)}[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{\Delta}=R^2\cot\left(\frac{\pi}{n}\right)}[/tex3]

A área dos setores circulares valem
[tex3]S_{sc}=2\left(\pi R^2\frac{\alpha}{360}\right)=\alpha R^2[/tex3]

[tex3]\alpha+\frac{\theta}{2}=90[/tex3]
[tex3]\alpha=\frac{\pi(n-2)}{2n}[/tex3]

Logo,
[tex3]\boxed{S_{sc}= \frac{\pi(n-2)R^2}{2n}}[/tex3]

Sendo assim a área sombreada vale,
[tex3]S_{somb}=S_{\Delta}-S_{sc}[/tex3]
[tex3]S_{somb}=R^2\cot\left(\frac{\pi}{n}\right)-\frac{\pi(n-2)R^2}{2n}[/tex3]
[tex3]S_{somb}=R^2\left[\cot\left(\frac{\pi}{n}\right)-\frac{\pi(n-2)}{2n}\right][/tex3]

Como teremos [tex3]n[/tex3] triângulos, a soma total vale
[tex3]S_{t}=n\cdot S_{somb}=R^2\left[n\cot\left(\frac{\pi}{n}\right)-\frac{\pi(n-2)}{2}\right][/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{S_{t}=R^2\left[n\cot\left(\frac{\pi}{n}\right)-\frac{\pi(n-2)}{2}\right]}}[/tex3] . Letra C

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Problema 80

(ITA - 2001) O valor da soma [tex3]a + b[/tex3] para que as raízes do polinômio [tex3]4x^4-20x^3+ax^2-25x + b[/tex3] estejam em progressão aritmética de razão [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] é:

a) [tex3]36[/tex3]
b) [tex3]41[/tex3]
c) [tex3]26[/tex3]
d) [tex3]-27[/tex3]
e) [tex3]-20[/tex3]

Resposta

Letra B

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