Sabendo das relações:
[tex3]\sen a \pm \sen b=2\sen\frac{ a \pm b}{2}\cdot \cos \frac{a \mp b}{2}[/tex3]
[tex3]\sen (2a)=2\sen a \cdot \cos a[/tex3]
[tex3]\sen a = -\sen(-a)[/tex3]
[tex3]\cos a=\cos (-a)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}\sen 0-\cancel{\sen 2x} =-2\sen x \cdot \cos x\\\sen x-\cancel{\sen 3x}=-2\sen x \cdot \cos 2x\\\cancel{\sen 2x}-\cancel{\sen4x}=-2\sen x \sen x\cdot \cos 3x\\\cancel{\sen 3x}-\cancel{\sen 5x}=-2\sen x \cdot \cos 4x\\\vdots\\\cancel{\sen(n-2)x}-\sen nx=-2\sen x\cdot \cos(n-1)x\\\cancel{\sen(n-1)x}-\sen(n+1)x=-2\sen x\cdot \cos nx\end{cases}[/tex3]
Somando tudo obtemos:
[tex3]\sen x -\sen nx-\sen (n+1)x=-2\sen x\cdot (\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx)[/tex3]
[tex3]-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sen x}\cdot [\sen nx+\sen (n+1)x]=\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx[/tex3]
Somando [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] em ambos lados obtemos:
[tex3]\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx=\frac{\cancel{2}\sen\frac{(2n+1)x}{2}\cdot \cancel{\cos \frac{x}{2}}}{\cancel{2}\cdot \left(2\sen \frac{x}{2}\cdot \cancel{\cos \frac{x}{2}}\right)}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx=\frac{\sen \frac{(2n+1)x}{2}}{2\sen \frac{x}{2}}}[/tex3] . CQD.
Solução Alternativa
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Problema 31
(IME - 1997/98) Determine [tex3]a,\beta[/tex3] e [tex3]\gamma[/tex3] de modo que o polinômio, [tex3]\alpha x^{\gamma+1}+\beta x^{\gamma}+1[/tex3] , racional em [tex3]x[/tex3] seja divisível por [tex3](x-1)^2[/tex3] e que o valor numérico do quociente seja igual a [tex3]120[/tex3] para [tex3]x=1[/tex3] .
[tex3]\alpha=15;\,\,\beta=-16;\,\,\gamma=15[/tex3]