Maratonas de Matemática

30 Jun 2013, 22:47

Solução do Problema 30

Sabendo das relações:
[tex3]\sen a \pm \sen b=2\sen\frac{ a \pm b}{2}\cdot \cos \frac{a \mp b}{2}[/tex3]
[tex3]\sen (2a)=2\sen a \cdot \cos a[/tex3]
[tex3]\sen a = -\sen(-a)[/tex3]
[tex3]\cos a=\cos (-a)[/tex3]

[tex3]\begin{cases}\sen 0-\cancel{\sen 2x} =-2\sen x \cdot \cos x\\\sen x-\cancel{\sen 3x}=-2\sen x \cdot \cos 2x\\\cancel{\sen 2x}-\cancel{\sen4x}=-2\sen x \sen x\cdot \cos 3x\\\cancel{\sen 3x}-\cancel{\sen 5x}=-2\sen x \cdot \cos 4x\\\vdots\\\cancel{\sen(n-2)x}-\sen nx=-2\sen x\cdot \cos(n-1)x\\\cancel{\sen(n-1)x}-\sen(n+1)x=-2\sen x\cdot \cos nx\end{cases}[/tex3]

Somando tudo obtemos:

[tex3]\sen x -\sen nx-\sen (n+1)x=-2\sen x\cdot (\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx)[/tex3]
[tex3]-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sen x}\cdot [\sen nx+\sen (n+1)x]=\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx[/tex3]

Somando [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] em ambos lados obtemos:

[tex3]\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx=\frac{\cancel{2}\sen\frac{(2n+1)x}{2}\cdot \cancel{\cos \frac{x}{2}}}{\cancel{2}\cdot \left(2\sen \frac{x}{2}\cdot \cancel{\cos \frac{x}{2}}\right)}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx=\frac{\sen \frac{(2n+1)x}{2}}{2\sen \frac{x}{2}}}[/tex3] . CQD.

Solução Alternativa

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Problema 31

(IME - 1997/98) Determine [tex3]a,\beta[/tex3] e [tex3]\gamma[/tex3] de modo que o polinômio, [tex3]\alpha x^{\gamma+1}+\beta x^{\gamma}+1[/tex3] , racional em [tex3]x[/tex3] seja divisível por [tex3](x-1)^2[/tex3] e que o valor numérico do quociente seja igual a [tex3]120[/tex3] para [tex3]x=1[/tex3] .

Resposta

[tex3]\alpha=15;\,\,\beta=-16;\,\,\gamma=15[/tex3]

05 Jul 2013, 16:25

Solução do Problema 31

O polinômio é divisível por [tex3]x-1[/tex3] duas vezes. Se uma função tem raiz dupla, então esta é raiz também da derivada da unção.

[tex3]f(1)=f'(1)=0[/tex3]

[tex3]\alpha+\beta+1=0[/tex3]

[tex3]\alpha\cdot (\gamma+1)+ \beta \gamma[/tex3]
[tex3]\gamma\cdot (\alpha+\beta)+\alpha=0[/tex3]
[tex3]-\gamma-\alpha=0\,\,\therefore\,\,\gamma=\alpha[/tex3]

[tex3]P(x)=\alpha \cdot x^{\alpha+1}-(\alpha+1)\cdot x^{\alpha}+1[/tex3]

Se fizer a divisão do polinômio por [tex3](x-1)[/tex3] duas vezes (perceberemos um padrão logo no início) chegaremos em:
[tex3]Q(x)=\alpha \cdot x^{\alpha-1}+(\alpha-1)\cdot x^{\alpha-2}+...+3\cdot x^2+2x+1[/tex3]
[tex3]Q(1)=\alpha + (\alpha-1)+ (\alpha-2)+...+(3+2+1)=120[/tex3]

Onde temos uma soma de PA de razão [tex3]1[/tex3] e [tex3](\alpha)[/tex3] termos
[tex3]\frac{(\alpha+1)\cdot \alpha}{2}=120\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{\alpha=15}\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{\beta=-16}\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{\gamma=15}[/tex3]

OBS.: Se pegarmos a outra raiz da equação do 2º grau do [tex3]\alpha[/tex3] teríamos um valor negativo, logo não poedriamos considerar um polinômio racional.

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Problema 32

(IME - 1994-95) Dado [tex3]Z=\frac{1}{\sqrt{7+24i}}[/tex3] , calcule as partes real e imaginária de [tex3]Z[/tex3] .

Resposta

[tex3]\text{Re}(Z)=-\frac{4}{25};\,\,\text{Im}(Z)=\frac{3}{25}i[/tex3]

17 Jul 2013, 22:23

Solução do Problema 32
[tex3]\sqrt{7+24i}=\sqrt{7+\sqrt{-576}}=\pm\left(\sqrt{\frac{7+\sqrt{49+576}}{2}}+\sqrt{\frac{7-\sqrt{49+576}}{2}}\right)[/tex3]
[tex3]\sqrt{7+24i}=\pm(4+3i)[/tex3]

Assim Temos,
[tex3]\frac{1}{\sqrt{7+24i}}=\pm\frac{1}{4+3i}=\pm \frac{4-3i}{25}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\text{Re}(z)=\pm \frac{4}{25}[/tex3]
[tex3]\text{Im}(z)=\mp\frac{3}{25}[/tex3]

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Problema 33

(ITA - 1958) Provar que o determinante D é múltiplo de [tex3]11[/tex3] , sem desenvolver:
[tex3]D=\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
1 & 4 & 3 \\
1 & 6 & 5\\
\end{vmatrix}[/tex3]

23 Jul 2013, 20:10

Solução do Problema 33

Seja [tex3]C_1,C_2,C_3[/tex3] as colunas, fazendo [tex3]C'_3=100C_1+10C_2+C_3[/tex3] temos,
[tex3]D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 121 \\ 1 & 4 & 143 \\ 1 & 6 & 165\\ \end{vmatrix}[/tex3]
[tex3]D=11\times \begin{vmatrix}1 & 2 & 11 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 15\\ \end{vmatrix}[/tex3]

Portanto o determinante de [tex3]D[/tex3] é múltiplo de [tex3]11[/tex3] .

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Problema 34

(IME - 1964/1965) Dada a equação: [tex3]3x^2 + 2xy + 3y^2 = 4[/tex3] ; determine a equação resultante da eliminação do termo retângulo (termo em [tex3]xy[/tex3] ), mediante transformação de coordenadas conveniente.

Resposta

[tex3]2x^2+y^2=2[/tex3]

23 Jul 2013, 21:49

Solução do Problema 34

Utilizando o método de rotação de eixos de uma curva geral [tex3]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0[/tex3] sob um ângulo [tex3]\theta[/tex3] .

Achando o melhor ângulo de rotação pela expressão:

[tex3]\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}[/tex3] , sendo [tex3]A=C[/tex3] temos que: [tex3]\cos (2\theta)=0\,\,\Rightarrow\,\,2\theta=90^{\circ}\,\,\therefore\,\,\theta=45^{\circ}[/tex3]

Após a rotação teremos:
[tex3]\begin{cases}x=x'\cos \theta-y'\sin \theta \\y=x'\sin \theta+y\cos \theta\end{cases}[/tex3]

[tex3]x=\frac{x'-y'}{\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]y=\frac{x'+y'}{\sqrt{2}}[/tex3]
Substituindo na equação original:

[tex3]\frac{3}{2}\cdot(x'-y')^2+2\cdot (x'-y')(x'+y')+\frac{3}{2}\cdot (x'+y')^2=4[/tex3]
[tex3]3\cdot [(x'+y')^2+(x'-y')^2]+2\cdot (x'^2-y'^2)=8[/tex3]
[tex3]3\cdot 2x'^2+3\cdot 2y'^2+2x'^2-2y'^2=8[/tex3]
[tex3]8x'^2+4y'^2=8[/tex3]

Logo a equação resultante é:
[tex3]\boxed{2x'^2+y'^2=2}[/tex3]

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Problema 35

(IME - 1963/1964) Quantas cores diferentes se podem formar, usando as sete cores do espectro fundamental?

Resposta

[tex3]127[/tex3]

26 Jul 2013, 10:55

Solução do Problema 35

Vamos chamar as cores fundamentais de [tex3]1,2 ...7[/tex3] .

Podemos formar conjuntos como: [tex3]1,2[/tex3] ou [tex3]3,4,6[/tex3] [tex3]2,3,4,6[/tex3] etc.

Número de combinações com uma cor: [tex3]C_7^1[/tex3]
Número de combinações com duas cores: [tex3]C_7^2[/tex3]
Número de combinações com três cores: [tex3]C_7^3[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
Número de combinações com sete cores: [tex3]C_7^7[/tex3]

Logo o número [tex3]n[/tex3] de combinações totais é:
[tex3]n=C_7^1+C_7^2+C_7^3+...+C_7^7[/tex3]
[tex3]n=(C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+...+C_7^7)-C_7^0[/tex3]
[tex3]n= 2^7-1[/tex3]
[tex3]\boxed{ n=127 }[/tex3]

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Problema 36

(IME - 1963/64) Um tronco de cone de resolução, de bases paralelas, tem a sua geratriz igual à soma dos raios das suas bases. Sabendo-se que a sua área lateral é igual a [tex3]66,56 \,cm^2[/tex3] , e que a sua altura é de [tex3]4 \,cm[/tex3] , calcular o seu volume. Considerar [tex3]\pi=3,14[/tex3] .

Resposta

[tex3]72\,cm^3[/tex3]

29 Jul 2013, 20:27

Solução do Problema 36

Figura do enunciado.

: IME_63-64.png (3.62 KiB) Exibido 5730 vezes

Do enunciado tiramos,
[tex3]g=R+r[/tex3]
[tex3]A_{\ell}=66.56\,cm^2[/tex3]

Sabemos que,
[tex3]A_{\ell}=\pi(R+r)g=\pi(R+r)^2[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)[/tex3]
[tex3]g^2=h^2+(R-r)^2[/tex3]

Assim temos,
[tex3](R+r)^2=16+(R-r)^2[/tex3]
[tex3]Rr=4[/tex3]

[tex3]\pi(R+r)^2=66,56[/tex3]
[tex3](R+r)^2=\frac{66,56}{\pi}[/tex3]

[tex3]V=\frac{4\pi}{3}[(R+r)^2-Rr][/tex3]
[tex3]V=\frac{4\pi}{3}(\frac{66,56}{\pi}-4)[/tex3]
[tex3]\boxed{V=72\,cm^3}[/tex3]

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Problema 37

(IME - 1963/1964) Prolonga-se o raio [tex3]AO[/tex3] de um círculo, de um comprimento [tex3]AB=OA[/tex3] ; traça-se uma tangente ao círculo, sobre a qual se levantam as perpendiculares [tex3]AN[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] . Supondo que o ângulo [tex3]\widehat{OAC}=126^{\circ}[/tex3] , qual o valor do ângulo [tex3]\widehat{ACB}[/tex3] ?

Resposta

[tex3]42^{\circ}[/tex3]

31 Jul 2013, 16:09

Solução do Problema 37

: ime.png (13.49 KiB) Exibido 5717 vezes

Denotando o ângulo dado de [tex3]\beta[/tex3] .

A reta tangente à circunferência é uma projeção ortogonal da reta AB. Como [tex3]AO=AB[/tex3] então [tex3]AN[/tex3] é bissetriz. Logo o triângulo [tex3]\triangle ADC[/tex3] é isósceles, assim como o triângulo [tex3]\triangle ADO[/tex3] .

Os ângulo [tex3]\angle ADC=\angle ACD=90^{\circ}-\alpha[/tex3] . Além disso os ângulos [tex3]\angle ADC[/tex3] e [tex3]DAO[/tex3] são complementares (alternos internos), logo [tex3]\alpha=\theta[/tex3] .

No triângulo [tex3]\triangle ACD[/tex3] :

[tex3](\beta-\theta)+2\cdot (90^{\circ}-\alpha)=180^{\circ}[/tex3] . Substituindo [tex3]\theta=\alpha[/tex3] :
[tex3]\beta=3\alpha[/tex3]
[tex3]\alpha=\frac{126^{\circ}}{3}\,\,\therefore\,\,\boxed{\alpha=42^{\circ}}[/tex3]

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Problema 38

(IME - 1967/68) Consideram-se três esferas tangentes a um plano [tex3]P[/tex3] em três pontos [tex3]A, B, C[/tex3] , e tangentes duas a duas. Calcular os raios [tex3]X, Y, Z[/tex3] das esferas em função das distâncias mútuas [tex3]a, b, c[/tex3] dos três pontos [tex3]A, B, C[/tex3] .

Resposta

[tex3]X=\frac{bc}{2a};\,\,Y=\frac{ac}{2b};\,\,Z=\frac{ab}{2c}[/tex3]

31 Jul 2013, 21:58

Solução do Problema 38

Seja
[tex3]X=r_1[/tex3]
[tex3]Y=r_2[/tex3]
[tex3]Z=r_3[/tex3]

: IME_67-68_sol.png (13.48 KiB) Exibido 5708 vezes

Da figura temos,
[tex3](r_2+r_3)^2=a^2+(r_2-r_3)^2[/tex3]
[tex3]4r_2r_3=a^2\hspace{10pt}(1)[/tex3]

De forma análoga,
[tex3]4r_1r_3=b^2\hspace{10pt}(2)[/tex3]
[tex3]4r_1r_2=c^2\hspace{10pt}(3)[/tex3]

De [tex3](1),(2)[/tex3] em [tex3](3)[/tex3]
[tex3]4\frac{c^2}{4r_1}\frac{b^2}{4r_1}=a^2[/tex3]
[tex3]r_1=\frac{bc}{2a}[/tex3]

Da mesma forma encontramos,
[tex3]r_2=\frac{ac}{2b}[/tex3]
[tex3]r_3=\frac{ab}{2c}[/tex3]

Portanto,
[tex3]X=\frac{bc}{2a};\,\,Y=\frac{ac}{2b};\,\,Z=\frac{ab}{2c}[/tex3]

------------------------------------------------------------

Problema 39

(IME-68) Calcular o raio das esferas circunscrita e inscrita a uma pirâmide regular que tem por altura [tex3]h[/tex3] e por base um quadrado de lado [tex3]a[/tex3] .

Resposta

[tex3]R=\frac{2h^2+a^2}{4h}\,;\,\,r=\frac{ah}{a+\sqrt{4h^2+a^2}}[/tex3]

Solução do Problema 39

Esfera circunscrita:

: esferacirc1.png (12.23 KiB) Exibido 5705 vezes

Olhando para o triângulo destacado, na linha azul é o segmento que vale a metade da diagonal do quadrado, ou seja, [tex3]\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3] .

Por Pitágoras:

[tex3]\cancel{R^2}=\frac{a^2}{2}+h^2-2Rh+\cancel{R^2}[/tex3]
[tex3]4Rh=2h^2+a^2[/tex3]
[tex3]\boxed{R=\frac{2h^2+a^2}{4h}}[/tex3]

Esfera inscrita:

: esferainsc1.png (14.36 KiB) Exibido 5705 vezes

Relação de semelhança: [tex3]\triangle APT \sim \triangle AOQ[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{AP}}{\overline{AQ}}=\frac{\overline{PT}}{\overline{OQ}}[/tex3]
[tex3]\frac{h-r}{\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}}=\frac{r}{\frac{a}{2}}[/tex3]
[tex3]a\cdot (h-r)=r\cdot \sqrt{4h^2+a^2}[/tex3]
[tex3]ah-ar=r\cdot \sqrt{4h^2+a^2}[/tex3]
[tex3]\boxed{r=\frac{ah}{a+\sqrt{4h^2+a^2}}}[/tex3]

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Problema 40

(IME - 1967/68) Corta-se um cubo de aresta [tex3]a[/tex3] por [tex3]8[/tex3] planos que passam, cada um, pelo meio das arestas que chegam a cada vértice. Considera-se o sólido [tex3]S[/tex3] que resta, se retirados os [tex3]8[/tex3] tetraedros obtidos. No mesmo sólido [tex3]S[/tex3] inscreve-se um octaedro [tex3]P[/tex3] que tem por vértices os centros das faces do cubo original. Calcular a relação entre os volumes do sólido [tex3]S[/tex3] e do octaedro inscrito [tex3]P[/tex3] .

Resposta

[tex3]\frac{V_S}{V_P}=5[/tex3]

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