Maratonas de Matemática

27 Jun 2013, 19:05

Solução do problema 20

1º Solução: Lógica.

Basicamente, podemos dividir os entrevistados em dois conjuntos, os pilotos e os não pilotos. Sabemos que [tex3]50[/tex3] oficiais não são pilotos, devido a isto, concluímos que 50 oficiais são. Porém, se somarmos os pilotos de Tucanos e de Esquilos, veremos que dará [tex3]60[/tex3] oficiais. Então, logicamente, [tex3]10[/tex3] oficiais pilotam tanto Tucano quanto Esquilo.

Letra: b

2º Solução: Diagrama de Euler - Venn

Seja o nosso conjunto universo todos os entrevistados. Destacamos os conjuntos de pilotos do Tucano e pilotos do Esquilo. Sendo [tex3]x[/tex3] o número de oficiais que pilotam ambos, podemos representar a situação da seguinte forma:

: as.png (8.9 KiB) Exibido 3369 vezes

Logo: [tex3](40-x)+x+(20-x)+50=100\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,x=10[/tex3]

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Problema 21

(ITA - 1979) Considere o triângulo [tex3]ABC[/tex3] , onde [tex3]AD[/tex3] é a mediana relativa ao lado [tex3]BC[/tex3] . Por um ponto arbitrário [tex3]M[/tex3] do segmento [tex3]BD[/tex3] , tracemos o segmento [tex3]MP[/tex3] paralelo a [tex3]AD[/tex3] , onde [tex3]P[/tex3] é o ponto de interseção desta paralela com o prolongamento do lado [tex3]AC[/tex3] . Se [tex3]N[/tex3] é o ponto de interseção de [tex3]AB[/tex3] com [tex3]MP[/tex3] , podemos afirmar que:

: as.png (8.9 KiB) Exibido 3369 vezes

[tex3]a)\,\,\,MN+MP=2\,BM[/tex3]
[tex3]b)\,\,\,MN+MP=2\,CM[/tex3]
[tex3]c)\,\,\,MN+MP=2\,AB[/tex3]
[tex3]d)\,\,\,MN+MP=2\,AD[/tex3]
[tex3]e)\,\,\,MN+MP=2\,AC[/tex3]

Resposta

Gabarito: d

27 Jun 2013, 19:43

Solução do Problema 21

Usando as relações de semelhança:

[tex3]\Delta BMN \sim\Delta ABD[/tex3]

[tex3]\frac{MN}{BM}=\frac{AD}{BD}[/tex3]
[tex3]MN=\frac{AD\cdot BM}{BD}[/tex3]

[tex3]\Delta ACD \sim \Delta CPM[/tex3]
[tex3]\frac{AD}{CD}=\frac{MP}{CM}[/tex3]
[tex3]MP=\frac{AD\cdot CM}{CD}[/tex3]

[tex3]MP+MN=AD\cdot \left(\frac{BM}{BD}+\frac{CM}{CD}\right)[/tex3] . Mas, [tex3]BD=CD:[/tex3]
[tex3]MP+MN=AD\cdot \left(\frac{BM+CM}{BD}\right)[/tex3] . Também temos que [tex3]BM+CM=BC=2BD[/tex3]
[tex3]MP+MN=AD\cdot \frac{2BD}{BD}[/tex3]
[tex3]\boxed{MP+MN=2\cdot AD}[/tex3] . Letra D

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Problema 22

(IME - 1951) Simplificar a expressão: [tex3]A=\frac{(\log_4\,16)\cdot 10^{\log_{10}\,x}\cdot \cos x}{e^{-2\cdot \ln\,x}\cdot e^{\ln\,(x^3\cdot \cos x)}}[/tex3]

Em que designamos: [tex3]\log_{10}[/tex3] é logaritmo na base dez;[tex3]\log_4[/tex3] é logaritmo na base quatro; [tex3]\ln[/tex3] é logaritmo neperiano.

Resposta

[tex3]2[/tex3] : não oficial (corrigido)

27 Jun 2013, 20:50

Solução do Problema 22

Reescrevendo [tex3]A[/tex3] ,
[tex3]A=\frac{2\cdot x\cdot \cos x}{x^{-2}\cdot x^3\cdot \cos x}=\boxed{2}[/tex3]

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Problema 23

(IME -1959/1960) Demonstrar a identidade
[tex3]\sin a +\sin b+\sin c-\sin (a+b+c)=4\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{b+c}{2}\sin\frac{a+c}{2}[/tex3]

28 Jun 2013, 10:56

Solução do Problema 23

Utilizando as relações:
[tex3]\sin x \pm \sin y=2\cdot \sin \frac{x \pm y}{2}\cdot \cos \frac{x\mp y}{2}[/tex3]
[tex3]\cos x -\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\cdot \sin \frac{x-y}{2}[/tex3] e sabendo que [tex3]\sin(-x)=-\sin x[/tex3] :

[tex3]\left[2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)\right]+\left[2\sin \left(\frac{-(a+b)}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{a+b}{2}+c\right)\right]=[/tex3]
[tex3]2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\cdot \left[\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)-\cos \left(\frac{a+b}{2}+c\right)\right]=[/tex3]
[tex3]2\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\cdot \left[-2\sin \left(\frac{a+c}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{-(b+c)}{2}\right)\right]=[/tex3]
[tex3]\boxed{4\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cdot \sin\left(\frac{b+c}{2}\right)\cdot \sin\left(\frac{a+c}{2}\right)}[/tex3] . CQD.

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Problema 24

(IME - 1965/66) Determine o valor numérico do determinante abaixo:

[tex3]\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\ \log\,7&\log\,70&\log\,700&\log\,7000\\ (\log\,7)^2&(\log\,70)^2&(\log\,700)^2&(\log\,7000)^2\\(\log\,7)^3&(\log\,70)^3&(\log\,700)^3&(\log\,7000)^3 \end{array}\right|[/tex3]

Obs: [tex3]\log\,A[/tex3] significa logaritmo decimal de [tex3]A[/tex3]

Resposta

[tex3]12[/tex3]

Mensagem não lida por **felps** » 28 Jun 2013, 12:14

Solução do Problema 24

A matriz em questão é uma matriz de Vandermonde, então sua determinante é dada por:

[tex3]D = (\log 70 - \log 7) \cdot (\log 700 - \log 7) \cdot (\log 7000 - \log 7) \cdot (\log 700 - \log 70) \cdot (\log 7000 - \log 70) \cdot (\log 7000 - \log 700)[/tex3]

[tex3]D = \log 10 \cdot \log 100 \cdot \log 1000 \cdot \log 10 \cdot \log 100 \cdot \log 10[/tex3]

[tex3]D = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1[/tex3]

[tex3]D = 12[/tex3]

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Problema 25

(ITA-90) Sejam [tex3]A[/tex3] , [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] matrizes quadradas [tex3]n \times n[/tex3] tais que [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são inversíveis e [tex3]ABCA = A^t[/tex3] , onde [tex3]A^t[/tex3] é a transposta da matriz [tex3]A[/tex3] . Então podemos afirmar que:

a) [tex3]C[/tex3] é inversível e [tex3]\det C = \det(AB)^{-1}[/tex3] ;
b) [tex3]C[/tex3] não é inversível pois [tex3]\det C = 0[/tex3] ;
c) [tex3]C[/tex3] é inversível e [tex3]\det C = \det B[/tex3] ;
d) [tex3]C[/tex3] é inversível e [tex3]\det C = (\det A)^2 \cdot \det B[/tex3] ;
e) [tex3]C[/tex3] é inversível e [tex3]\det C =\frac{\det A}{\det B}[/tex3]

Resposta

[tex3]a)[/tex3]

28 Jun 2013, 14:56

Solução do problema 25

Se [tex3]ABCA=A^t\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\det(ABCA)=\det A^t[/tex3]

Sabendo que [tex3]\det A^t=\det A[/tex3] e usando o teorema de Binet:
[tex3]\det A\cdot \det B\cdot \det C\cdot \det A=\det A\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\det C=\frac{1}{\det B\cdot \det A}[/tex3]

Usamos Binet novamente e que [tex3]\det X^{-1}=\frac{1}{\det X}[/tex3] :
[tex3]\det C\,\,=\,\,\frac{1}{\det BA}\,\,=\,\,\det (BA)^{-1}[/tex3]

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Problema 26

(ITA - 1992) Considere o número complexo [tex3]z = a + 2i[/tex3] cujo argumento está no intervalo [tex3]\left(0,\,\frac{\pi}{2}\right)[/tex3] . Sendo [tex3]S[/tex3] o conjunto dos valores de [tex3]a[/tex3] para os quais [tex3]z^6[/tex3] é um número real, podemos afirmar que o produto dos elementos de [tex3]S[/tex3] vale:

[tex3]a)\,\,4[/tex3]
[tex3]b)\,\,\frac{4}{\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]c)\,\,8[/tex3]
[tex3]d)\,\,\frac{8}{\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]e)\,\,n.d.a[/tex3]

Resposta

Gabarito: a

Mensagem não lida por **Radius** » 28 Jun 2013, 16:27

Solução do problema 26

Primeiramente temos do enunciado que [tex3]a\geq 0[/tex3] .

[tex3]z=a+2i=\sqrt{a^2+4}\cdot \left(\frac{a}{\sqrt{a^2+4}}+\frac{2i}{\sqrt{a^2+4}}\right)[/tex3]

[tex3]z=\sqrt{a^2+4}\cdot (\cos \theta +i\sin \theta)[/tex3]

[tex3]z^6=(a^2+4)^3\cdot (\cos 6\theta +i\sin 6\theta)[/tex3]

para [tex3]z^6[/tex3] ser real, devemos ter

[tex3]\sin 6\theta=0 \\\\ 6\theta=k\pi \\\\ \theta=\frac{k\pi}{6}[/tex3]

Como temos [tex3]0^\circ<\theta<90^\circ[/tex3] , temos apenas as possibilidades [tex3]\theta=30^\circ, 60^\circ[/tex3]

Portanto

[tex3]\begin{cases}
\sin 30^\circ=\frac{2}{\sqrt{a^2+4}} \\
\sin 60^\circ=\frac{2}{\sqrt{a^2+4}}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\sqrt{a^2+4}=4 \\
\sqrt{a^2+4}=\frac{4}{\sqrt{3}}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
a=\sqrt{12} \\
a=\frac{2}{\sqrt{3}}
\end{cases}[/tex3]

Portanto o produto dos valores possíveis de [tex3]a[/tex3] é

[tex3]\sqrt{12}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\boxed{4}[/tex3]

Letra A.

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Problema 27

(ITA-91) Seja [tex3]r[/tex3] a mediatriz do segmento de reta de extremos [tex3]M = (-4 , -6)[/tex3] e [tex3]N = (8 , -2)[/tex3] . Seja [tex3]R[/tex3] o raio da circunferência com centro na origem e que tangencia a reta [tex3]r[/tex3] . Então:

a) [tex3]R =\frac{\sqrt{7}}{3}[/tex3]
b) [tex3]R=\frac{\sqrt{15}}{3}[/tex3]
c) [tex3]R=\frac{\sqrt{10}}{3}[/tex3]
d) [tex3]R=\frac{\sqrt{10}}{5}[/tex3]
e) [tex3]n.d.a.[/tex3]

Resposta

[tex3]d)[/tex3]

28 Jun 2013, 18:11

Solução do Problema 27

Seja [tex3]s[/tex3] a reta que contém o segmento [tex3]MN[/tex3] , assim o coeficiente de [tex3]s[/tex3] vale [tex3]m_s=\frac{-2-(-6)}{8-(-4)}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}[/tex3]

Como a reta [tex3]r[/tex3] é perpendicular a [tex3]s[/tex3] , o coefiente será [tex3]m_r=-\frac{1}{m_s}=-3[/tex3]

O ponto médio de [tex3]MN[/tex3] vale [tex3]A=(2,-4)[/tex3] , assim a reta [tex3]r[/tex3] é

[tex3]y+4=-3(x-2)[/tex3]

[tex3]3x+y-2=0[/tex3]

A distância da origem até a reta [tex3]r[/tex3] é igual ao raio desejado.

[tex3]R=\frac{|-2|}{\sqrt{3^2+1^2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{R=\frac{\sqrt{10}}{5}}[/tex3] . Letra D

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Problema 28

(IME - 1955/56)
Dadas as equações
[tex3](i)\,\,x^4 - 16x^3 + 89x^2 - 206x + 168 = 0[/tex3]
[tex3](ii)\,\,x^4 - 16x^3 + 91x^2 - 216x + 180 = 0[/tex3]
[tex3](iii)\,\,x^4 - mx^3 + nx^2 - 462x + 432 = 0[/tex3]

Determinar:
a) As raízes comuns das equações (i) e (ii).
b) Os valores de m e n da equação (iii), sabendo que ela admite as raízes determinadas no item (a).

Resposta

[tex3]a)2,3[/tex3]
[tex3]b)m=22,n=163[/tex3]

Mensagem não lida por **felps** » 28 Jun 2013, 22:21

Solução do Problema 28

a) Para encontrar as raízes em comum, basta igualar as duas equações:

[tex3]x^4 - 16x^3 + 89x^2 - 206x + 168 = x^4 - 16x^3 + 91x^2 - 216x + 180 = 0[/tex3]
[tex3]2x^2-10x+12 = 0[/tex3]
[tex3]x' = 3[/tex3]
[tex3]x'' = 2[/tex3]

b} Se ela admite os valores encontrados em a), basta substituirmos:
[tex3]x^4 - mx^3 + nx^2 - 462x + 432 = 0[/tex3]

Para [tex3]x = 3[/tex3] :

[tex3]81-27m+9n-1386 + 432 = 0[/tex3]
[tex3]-27m +9n = 873[/tex3]
[tex3]n - 3m = 97[/tex3]

Para [tex3]x = 2[/tex3] :

[tex3]16 - 8m + 4n -924 + 432 = 0[/tex3]
[tex3]4n - 8m = 476[/tex3]
[tex3]n - 2m = 119[/tex3]

Agora basta resolver o sistema:

[tex3]\begin{cases}n - 3m = 97\\n - 2m = 119\end{cases}[/tex3]

[tex3]m = 22[/tex3]

[tex3]n - 44 = 119[/tex3]
[tex3]n = 163[/tex3]

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Problema 29

(IME -1969/70) Calcule [tex3]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}[/tex3]

A) [tex3]4/5[/tex3]
B) [tex3]5/6[/tex3]
C) [tex3]6/7[/tex3]
D) [tex3]7/8[/tex3]
E) [tex3]1[/tex3]
F) [tex3]\infty[/tex3]

29 Jun 2013, 21:27

Solução do problema 29

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\,\,\frac{1}{n(n+1)}\,\,=\,\,-\sum_{n=1}^{\infty}\,\,\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)[/tex3]

Considerando a função [tex3]f(x)=\frac{1}{x}[/tex3] , onde [tex3]x\neq 0[/tex3] , ela apresenta continuidade para todos os elementos do domínio. Devido a este fato a seguinte propriedade é permitida:
[tex3]\sum_{x=a}^b\,f(k+1)-f(k)=f(b+1)-f(a)[/tex3]

Portanto:
[tex3]-\sum_{n=1}^{\infty}\,\,\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)=-\left(\frac{1}{\infty+1}-\frac{1}{1}\right)=1[/tex3]

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Problema 30

(IME - 1991) Mostre que:
[tex3]\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+\cdots+ \cos\,nx=\frac{\sin\frac{(2n+1) x}{2}}{2\,\sin\frac{x}{2}}[/tex3]

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