Olá caros usuários.

Primeiramente, peço-lhes desculpas pelo ocorrido.

Fui fazer a atualização do software do fórum e, como se eu fosse um novato, cometi um erro crasso que derrubou o fórum.

Novato pois não havia feito o backup imediatamente antes.

O único backup disponível era do dia 21 pela manhã.

Ou seja, todas mensagens enviadas durante o dia 21 e dia 22 foram perdidas 😞 Incluindo os novos usuários registrados nesses dias.

Estou extremamente chateado com o ocorrido e peço a vocês, novamente, mil desculpas por uma mancada enorme dessas.

Grande abraço,
Prof. Caju

Maratonas de MatemáticaIII Maratona de Matemática IME/ITA

Avatar do usuário
FilipeCaceres
5 - Mestre
Mensagens: 2504
Registrado em: 16 Nov 2009, 20:47
Última visita: 24-01-20
Agradeceu: 79 vezes
Agradeceram: 957 vezes
Nov 2013 06 17:54

Re: III Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem por FilipeCaceres »

Solução do Problema 90

Do enunciado tiramos [tex3]A+B+C=\pi[/tex3], logo

[tex3]\tan (A+B)=\tan (\pi-C)[/tex3]

[tex3]\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \cdot \tan B}=-\tan C[/tex3]

[tex3]\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \cdot \tan B\cdot \tan C[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{\tan A \cdot \tan B\cdot \tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}=1}[/tex3]

-------------------------------------------------------------------

Problema 91

(IME - 1954/1955) Uma circunferência de círculo passa pelo foco da parábola [tex3]x^2=-8y[/tex3], é tangente ao semi-eixo negativo dos [tex3]x[/tex3] e tem o centro sobre a reta [tex3]x-y-4 = 0[/tex3]. Pedem-se:

a) Achar a equação da circunferência.
b) Achar as equações das tangentes à circunferência tiradas pela origem.
Resposta

a)[tex3](x + 6)^2 + (y + 10)^2 = 100[/tex3]
b)[tex3]y=0[/tex3] e [tex3]y+\frac{15}{8}x=0[/tex3]

Editado pela última vez por FilipeCaceres em 06 Nov 2013, 17:54, em um total de 2 vezes.
Avatar do usuário
theblackmamba
6 - Doutor
Mensagens: 3723
Registrado em: 23 Ago 2011, 15:43
Última visita: 20-11-19
Localização: São Paulo - SP
Agradeceu: 806 vezes
Agradeceram: 2282 vezes
Nov 2013 12 00:53

Re: III Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem por theblackmamba »

Solução do Problema 91

a)
Equação da parábola:
[tex3]x^2=4py[/tex3]

Equação do círculo:

[tex3]4p=-8\,\,\Rightarrow\,\,p=-2[/tex3]

De modo que o foco se encontra no ponto [tex3](0,-2)[/tex3]

Equação do círculo:
[tex3](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex3]

Se o círculo é tangente no eixo [tex3]x[/tex3] então o raio equivale também ao valor do módulo da ordenada do centro, ou seja, [tex3]r=|b|[/tex3].

Usando o fato que [tex3]a-b-4=0\,\,\Rightarrow\,\,a=b+4[/tex3], pois o centro pertence a reta. Vamos substituir essa relação e o ponto [tex3](0,-2).[/tex3]

[tex3](0-(b+4))^2+(-2-b)^2=|b|^2[/tex3]
[tex3]b^2+8b+16+4+4b+b^2=b^2[/tex3]
[tex3]b^2+12b+20=0[/tex3]
[tex3]b=-2\,\,\Rightarrow\,\,a=2[/tex3] ou [tex3]b=-10\,\,\Rightarrow\,\,a=-6[/tex3].

Mas como o círculo é tangente ao semieixo da abcissa então a coordenada deve ser negativa. Assim escolhemos a segunda opção.
Temos a equação do círculo:
[tex3]\boxed{(x+6)^2+(y+10)^2=100}[/tex3]

b)


A equação da tangente é em geral [tex3]y=mx[/tex3] pois passa pela origem.

[tex3](x+6)^2+(mx+10)^2=100[/tex3]
[tex3]x^2+12x+36+m^2x^2+20mx+100=100[/tex3]
[tex3]x^2\cdot (m^2+1)+x\cdot (20m+12)+36=0[/tex3]

Como temos apenas um ponto em comum na reta tangente o delta é nulo:

[tex3](20m+12)^2-4\cdot (m^2+1)\cdot 36=0[/tex3]
[tex3]400m^2+480m+144-144m^2-144=0[/tex3]
[tex3]m\cdot (256m+480)=0[/tex3]
[tex3]m=0[/tex3] ou [tex3]m=\frac{480}{256}=\frac{15}{8}[/tex3]

Assim temos as retas tangentes:
[tex3]\boxed{y=0}[/tex3] e [tex3]\boxed{y=\frac{15}{8}x}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------

Problema 92

(IME - 1982/83) Mostre que o lado do icoságono regular convexo é igual a diferença, dividida por [tex3]\sqrt{2}[/tex3], entre o lado do decágono regular estrelado e o lado do pentágono regular convexo. Todos os três polígonos estão inscritos em um mesmo círculo de raio [tex3]r[/tex3].

Editado pela última vez por theblackmamba em 12 Nov 2013, 00:53, em um total de 3 vezes.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein
Avatar do usuário
FilipeCaceres
5 - Mestre
Mensagens: 2504
Registrado em: 16 Nov 2009, 20:47
Última visita: 24-01-20
Agradeceu: 79 vezes
Agradeceram: 957 vezes
Nov 2013 12 18:05

Re: III Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem por FilipeCaceres »

Solução do Problema 92
IME_82-83.png
IME_82-83.png (17.91 KiB) Exibido 10206 vezes
Os ângulos da figura valem
[tex3]\alpha =2\left(180-\frac{180\cdot(10-2)}{10}\right)=72^{\circ}[/tex3]
[tex3]\beta =3\left(180-\frac{180\cdot(10-2)}{10}\right)=108^{\circ}[/tex3]

Da lei dos cossenos temos
[tex3]\ell_{10}^2=2r^2(1-\cos 108^{\circ})[/tex3]
[tex3]\ell_{10}^2=\frac{r^2(3+\sqrt{5})}{2}[/tex3]
[tex3]\ell_{10}=\frac{r(1+\sqrt{5})}{2}[/tex3]

[tex3]\ell_{5}^2=2r^2(1-\cos 72^{\circ})[/tex3]
[tex3]\ell_{5}^2=\frac{r^2(5-\sqrt{5})}{2}[/tex3]
[tex3]\ell_{5}=r\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}[/tex3]

O ângulo interno do icoságono vale,
[tex3]\gamma =180-\frac{180(20-2)}{20}=18^{\circ}[/tex3]

Usando a lei dos cossenos novamente,
[tex3]\ell_{20}^2=2r^2(1-\cos 18^{\circ})[/tex3]
[tex3]\ell_{20}^2=r^2\left(2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\right)[/tex3]

Do enunciado temos,
[tex3]\ell_{20}=\frac{\ell_{10}-\ell_{5}}{\sqrt{2}}[/tex3]

Elevando ao quadrado,
[tex3]\ell_{20}^2=\frac{\ell_{10}^2-2\ell_{10}\ell_{5}+\ell_{5}^2}{2}[/tex3]

Substituindo,
[tex3]\ell_{20}^2=\frac{1}{2}\left(\frac{r^2(3+\sqrt{5})}{2}-2\cdot \frac{r(1+\sqrt{5})}{2}\cdot r\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}+\frac{r^2(5-\sqrt{5})}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\ell_{20}^2=\frac{1}{2}\left(4r^2-r^2(1+\sqrt{5})\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\right)[/tex3]
[tex3]\ell_{20}^2=r^2\left(2-\sqrt{\frac{(1+\sqrt{5})^2(5-\sqrt{5})}{8}}\right)[/tex3]
[tex3]\ell_{20}^2=r^2\left(2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\right)[/tex3]. C.Q.D

Observações:
[tex3]\cos 108^{\circ}=-\cos 72^{\circ}=-\sen 18^{\circ}[/tex3]

Vamos fazer [tex3]x=18[/tex3] assim temos,
[tex3]\sen 2x=\cos 3x[/tex3]
[tex3]2\sen x \cdot \cos x=4\cos^3 x-3\cos x[/tex3]
[tex3]2\sen x=4-4\sen^2 x - 3[/tex3]
[tex3]4\sen^2 x+2\sen x -1=0[/tex3]
[tex3]\sen x =\frac{-1-\sqrt{5}}{4}[/tex3], não serve, pois [tex3]\sen 18^{\circ}[/tex3] está no 1º quadrante.
[tex3]\boxed{\sen 18^{\circ} =\frac{\sqrt{5}-1}{4}}[/tex3]

Da relação fundamental,
[tex3]\sen^2 x +\cos^2 x=1[/tex3]
[tex3]\boxed{\cos 18^{\circ} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt 5}{2}}}[/tex3]

--------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 93

(IME - 1990/1991) Sejam [tex3]A,\, B\, e\, C[/tex3] os ângulos de um triângulo. Mostre que
[tex3]\sen \,2A + \sen \,2B + \sen \,2C = 4 \sen \,A\cdot \sen \,B\cdot \sen \,C[/tex3]
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 12 Nov 2013, 18:05, em um total de 3 vezes.
Avatar do usuário
theblackmamba
6 - Doutor
Mensagens: 3723
Registrado em: 23 Ago 2011, 15:43
Última visita: 20-11-19
Localização: São Paulo - SP
Agradeceu: 806 vezes
Agradeceram: 2282 vezes
Nov 2013 26 12:31

Re: III Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem por theblackmamba »

Solução do Problema 93

[tex3]A+B+C=180^{\circ}[/tex3]

Usando as relações:
[tex3]\sen 2x=2\sen x \cdot \cos x[/tex3]
[tex3]\sen a-\sen b=2\sen \frac{a-b}{2}\cdot \cos \frac{a+b}{2}[/tex3]
[tex3]\cos a-\cos b=-2\sen \frac{a+b}{2}\cdot \sen \frac{a-b}{2}[/tex3]
[tex3]\sen (180-x)=\sen x[/tex3]
[tex3]\cos (180-x)=\cos x[/tex3]

Temos:
[tex3]\sen 2A+\sen 2B+\sen 2C=[/tex3]
[tex3]2\sen A\cdot \cos A+2\sen (B+C)\cdot \cos (B-C)=[/tex3]

Mas [tex3]B+C=180-A\,\,\therefore\,\,\sen (B+C)=\sen A[/tex3]

[tex3]2\sen A\cdot (\cos A+\cos (B-C))=[/tex3]

Mas, [tex3]A=180-(B+C)\,\,\cos A=-\cos (B+C)[/tex3]

[tex3]2\sen A\cdot (\cos(B-C)-\cos (B+C))=[/tex3]
[tex3]2\sen A \cdot (-2\sen B\cdot \sen(-C))=\boxed{4\sen A\cdot \sen B\cdot \sen C}[/tex3]. CQD

-------------------------------------------------------

Problema 94

(IME - 2001/02) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro da base do cilindro. Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total do cone é [tex3]\frac{7}{4}[/tex3].
Resposta

[tex3]\arccos \frac{4}{5}[/tex3]
Editado pela última vez por theblackmamba em 26 Nov 2013, 12:31, em um total de 2 vezes.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein
Avatar do usuário
FilipeCaceres
5 - Mestre
Mensagens: 2504
Registrado em: 16 Nov 2009, 20:47
Última visita: 24-01-20
Agradeceu: 79 vezes
Agradeceram: 957 vezes
Nov 2013 28 10:33

Re: III Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem por FilipeCaceres »

Solução do Problema 94
IME_2001-2002.png
IME_2001-2002.png (14.33 KiB) Exibido 10131 vezes
Do encunciado temos que:
[tex3]\frac{A_{T_{cil}}}{A_{T_{cone}}}=\frac{7}{4}[/tex3]
[tex3]\frac{2\pi r^2 +2\pi h}{\pi r^2 +\pi rg}=\frac{7}{4}[/tex3]
[tex3]8h+r=7g[/tex3]
[tex3]8\frac{h}{g}+\frac{r}{g}=7[/tex3]

Da figura tiramos
[tex3]\cos\alpha =\frac{h}{g}[/tex3]
[tex3]\sen\alpha =\frac{r}{g}[/tex3]

Assim temos
[tex3]8\cos \alpha+\sen \alpha=7[/tex3]
[tex3]64\cos^2 =49-14\sen\alpha +\sen ^2\alpha[/tex3]
[tex3]64(1-\sen ^2\alpha)=49-14\sen\alpha +\sen ^2\alpha[/tex3]
[tex3]65\sen ^2 \alpha -14\sen \alpha -15=0[/tex3]
[tex3]\sen \alpha =-\frac{5}{13}[/tex3], não convém pois [tex3]\alpha[/tex3] pertence ao primeiro quadrante.
[tex3]\sen \alpha =\frac{3}{5}\Longrightarrow \alpha =\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)[/tex3]

Ou,
[tex3]\cos \alpha =\frac{4}{5}\Longrightarrow \boxed{\alpha =\arccos\left(\frac{4}{5}\right)}[/tex3]

-----------------------------------------------------------------------

Problema 95

(IME - 1990/1991) A coleção de selos de Roberto está dividida em três volumes. Dois décimos do total de selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do total estão no segundo volume e 303 selos estão no terceiro volume. Quantos selos Roberto tem?
Resposta

3535
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 28 Nov 2013, 10:33, em um total de 2 vezes.
Avatar do usuário
theblackmamba
6 - Doutor
Mensagens: 3723
Registrado em: 23 Ago 2011, 15:43
Última visita: 20-11-19
Localização: São Paulo - SP
Agradeceu: 806 vezes
Agradeceram: 2282 vezes
Nov 2013 29 11:48

Re: III Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem por theblackmamba »

Solução do Problema 95

Seja [tex3]x[/tex3] quantidade total de selos.

No primeiro volume: [tex3]\frac{2x}{10}[/tex3]
No segundo volume: [tex3]\frac{nx}{7}[/tex3]
No terceiro volume: [tex3]x-\left(\frac{2x}{10}+\frac{nx}{7}\right)=303[/tex3]

Resolvendo na terceira:
[tex3]\frac{4x}{5}-\frac{nx}{7}=303[/tex3]
[tex3]28x-5nx=10605[/tex3]
[tex3]x\cdot (28-5n)=10605[/tex3]
[tex3]x=\frac{10605}{28-5n}[/tex3]. Tal que [tex3]28-5n>0\,\,\Rightarrow\,\, n<5,6[/tex3].

Assim [tex3]n[/tex3] pode ser [tex3]1,2,3,4,5[/tex3]. Mas a fração deve ser inteira. Substituindo os valores de [tex3]n[/tex3] encontraremos apenas um valor inteiro para [tex3]x[/tex3] com [tex3]n=5[/tex3].

Portanto o número total de selos é [tex3]\boxed{x=3535}[/tex3].

---------------------------------------------------

Problema 96

(IME - 1989/90) Ligando as cidades A e B existem duas estradas principais. Dez estradas secundárias de mão dupla, ligam as duas estradas principais, como mostra a figura. Quantos caminho, sem auto-intersecções, existem de A até B ?
Obs.: Caminho sem auto-intersecções é um caminho que não passa por um ponto duas ou mais vezes.
ime_math_89-90-disc2.png
ime_math_89-90-disc2.png (6.09 KiB) Exibido 10121 vezes
Resposta

[tex3]2048[/tex3]
Editado pela última vez por theblackmamba em 29 Nov 2013, 11:48, em um total de 2 vezes.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein
Avatar do usuário
FilipeCaceres
5 - Mestre
Mensagens: 2504
Registrado em: 16 Nov 2009, 20:47
Última visita: 24-01-20
Agradeceu: 79 vezes
Agradeceram: 957 vezes
Dez 2013 02 14:40

Re: III Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem por FilipeCaceres »

Solução do Problema 96
ime_math_89-90.png
ime_math_89-90.png (6.23 KiB) Exibido 10102 vezes
Da figura podemos perceber que de cada ponto azul temos 2 possibilidades de partir. Desta forma, o total de possibilidades para ir de A até B vale [tex3]\boxed{2^{11}=2048}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 97

(IME - 1991/1992) Encontre todas as soluções de [tex3]\sec x -2\cos x =1[/tex3] em [tex3][0,2\pi][/tex3].
Resposta

[tex3]S=\left\{\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5\pi}{3}\right\}[/tex3]
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 02 Dez 2013, 14:40, em um total de 2 vezes.
Avatar do usuário
theblackmamba
6 - Doutor
Mensagens: 3723
Registrado em: 23 Ago 2011, 15:43
Última visita: 20-11-19
Localização: São Paulo - SP
Agradeceu: 806 vezes
Agradeceram: 2282 vezes
Dez 2013 04 09:46

Re: III Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem por theblackmamba »

Solução do Problema 97

[tex3]\sec x=\frac{1}{\cos x},\,\,\,x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\,\,\,k\in \mathbb{N}[/tex3].

[tex3]\frac{1}{\cos x}-2\cos x=1[/tex3]
[tex3]2\cos^2 x+\cos x-1=0[/tex3]

[tex3]\cos x=\frac{1}{2}\,\,\therefore\,\,x=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}[/tex3]
[tex3]\cos x=-1\,\,\therefore\,\,x=\pi[/tex3]

Portanto o conjunto solução é: [tex3]\boxed{S=\left\{\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5\pi}{3}\right\}}[/tex3]

---------------------------------------------------------------

Problema 98

(IME - 1988/89) Determine o coeficiente de [tex3]x^{-9}[/tex3] no desenvolvimento de [tex3]\left(x^2+\frac{1}{x^5}\right)^2\cdot \left(x^3+\frac{1}{x^4}\right)^5[/tex3]
Resposta

[tex3]35[/tex3]
Editado pela última vez por theblackmamba em 04 Dez 2013, 09:46, em um total de 2 vezes.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein
Avatar do usuário
FilipeCaceres
5 - Mestre
Mensagens: 2504
Registrado em: 16 Nov 2009, 20:47
Última visita: 24-01-20
Agradeceu: 79 vezes
Agradeceram: 957 vezes
Dez 2013 10 10:20

Re: III Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem por FilipeCaceres »

Solução do Problema 98

Poderíamos resolver de forma similar ao Problema 73 desta maratona. Mas percebam que fazer isto daria muito trabalho, pois teríamos que analisar muitos casos.

Podemos observar facilmente que:
[tex3]\left(x^2+\frac{1}{x^5}\right)^2\cdot \left(x^3+\frac{1}{x^4}\right)^5=\frac{(x^7+1)^2}{x^{10}}\cdot \frac{(x^7+1)^5}{x^{20}}=\frac{(x^7+1)^7}{x^{30}}[/tex3]

Desta forma, precisamos encontrarmos o valor de [tex3]x^{21}[/tex3]
[tex3]\frac{(x^7+1)^7}{x^{30}}=\frac{1}{x^{30}}\sum_{k=0}^{7}{7\choose k}(x^7)^{7-k}(1)^k=\frac{1}{x^{30}}\sum_{k=0}^{7}{7\choose k}x^{49-7k}[/tex3]

Logo,
[tex3]49-7k=21[/tex3]
[tex3]k=4[/tex3]

Assim temos,
[tex3]T_5={7\choose 4}x^{21}=35x^{21}[/tex3]

Portanto o valor desejado vale [tex3]\boxed{35}[/tex3].

Com esta questão finalizamos a III Maratona de Matemática.

Um forte abraço e bons estudos.

Editado pela última vez por FilipeCaceres em 10 Dez 2013, 10:20, em um total de 2 vezes.
Movido de IME / ITA para Maratonas de Matemática em 16 Jan 2017, 20:10 por caju

Trancado
  • Tópicos Semelhantes
    Resp.
    Exibições
    Últ. msg

Voltar para “Maratonas de Matemática”