Solução do Problema 63
Temos [tex3]Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0[/tex3]
1) Fazendo translação de eixos para eliminar os termos lineares
[tex3]x=x'+x_o[/tex3]
[tex3]y=y'+y_o[/tex3]
Vamos encontrar
[tex3]Ax'^2+2Bx'y'+Cy'^2+2(Ax_o+By_o+D)x'+2(Bx_o+Cy_o+E)y'+(Ax_o^2+2Bx_oy_o+Cy_o^2+2Dx_o+2Ey_o+F)=0[/tex3]
Fazendo
[tex3]D'=Ax_o+By_o+D[/tex3]
[tex3]E'=Bx_o+Cy_o+E[/tex3]
[tex3]F'=Ax_o^2+2Bx_oy_o+Cy_o^2+2Dx_o+2Ey_o+F[/tex3]
[tex3]Ax'^2+2Bx'y'+Cy'^2+2D'x'+2E'y'+F'=0[/tex3]
Eliminando os termos de primeiro grau
[tex3]\begin{cases}
D'=0\\E'=0
\end{cases}[/tex3]
Assim temos,
[tex3]\begin{cases}
Ax_o+By_o+D=0\\
Bx_o+Cy_o+E=0
\end{cases}[/tex3]
De onde tiramos,
[tex3]\begin{vmatrix}A&B\\B&C\end{vmatrix}=AC-B^2[/tex3]
Se [tex3]AC-B^2\neq 0[/tex3]
, então o sistema tem solução e o valor de [tex3](x_o,y_o)[/tex3]
é o centro da curva.
Encontramos
[tex3]Ax'^2+2Bx'y'+Cy'^2+F'=0[/tex3]
Obs1.: Na translação dos eixos
os coeficientes dos termos do segundo grau permanecem inalterados.
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2) Fazendo rotação de eixos para eliminar o termo retangular
Seja a equação
[tex3]Ax'^2+2Bx'y'+Cy'^2+F'=0[/tex3]
Para tirar o termo retangular façamos
[tex3]x'=x\cos\alpha -y\sen\alpha[/tex3]
[tex3]y'=x\sen\alpha+y\cos\alpha[/tex3]
Substituindo
[tex3]A(x\cos\alpha -y\sen\alpha)^2+2B(x\cos\alpha -y\sen\alpha)(x\cos\alpha -y\sen\alpha)+C(x\cos\alpha -y\sen\alpha)^2+F'=0[/tex3]
Assim temos,
[tex3]A''=A\cos^2\alpha+2B\sen\alpha\cos\alpha+C\sen^2\alpha\hspace{80pt}(1)[/tex3]
[tex3]B''=-A\sen\alpha\cos\alpha+B\cos^2\alpha -B\sen^2\alpha+C\sen\alpha\cos\alpha\hspace{10pt}(2)[/tex3]
[tex3]C''=A\sen^2\alpha-2B\sen\alpha\cos\alpha+C\cos^2\alpha\hspace{80pt}(3)[/tex3]
Para eliminando o termo retangular devemos fazer [tex3]B''=0[/tex3]
.
E a equação se torna da seguinte forma:
[tex3]A''x^2+C''y^2+F'=0[/tex3]
Obs2.: Na rotação dos eixos
o coeficiente independente permanece inalterado, ou seja, [tex3]F'=F[/tex3]
.
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De posse de [tex3](1),(2)\,e\,(3)[/tex3]
podemos demonstrar que
[tex3]A''C''-B''^2=AC-B^2\hspace{10pt}(4)[/tex3]
[tex3]A''+C''=A+C\hspace{20pt}(5)[/tex3]
são invariantes a mudança de coordenadas.
Demonstração:
Reescrevendo [tex3](1),(2)\,e\,(3)[/tex3]
[tex3]2A''=A+C +[(A+C)\cos 2\alpha +2B\sen 2\alpha][/tex3]
[tex3]2B''=-(A-C)\sen 2\alpha +2B\cos 2\alpha[/tex3]
[tex3]2C''=(A+C) -[(A-C)\cos2\alpha +2B\sen2\alpha][/tex3]
Substituindo em [tex3](4)[/tex3]
[tex3]4A''C''-4B''^2=(A+C)^2-[(A-C)\cos2\alpha+2B\sen2\alpha]^2-[(A-C)\sen2\alpha-2B\cos2\alpha]^2[/tex3]
[tex3]4A''C''-4B''^2=(A+C)^2-(A-C)^2-4B^2[/tex3]
[tex3]\boxed{A''C''-B''^2=AC-B^2}[/tex3]
.
C.Q.D
Somando [tex3](1)\,e(3)[/tex3]
[tex3]A''+C''=A(\cos^2\alpha+\sen^2\alpha)+C(\cos^2\alpha+\sen^2\alpha)[/tex3]
[tex3]\boxed{A''+C''=A+C}[/tex3]
C.Q.D
Continua...
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Problema 64
(IME -1970/1971) Determine os valores de [tex3]x[/tex3]
que satisfazem a equação
[tex3]\arcsen(x\sqrt{3})=\arcsen 2x -\arcsen x[/tex3]
a) [tex3]x=0[/tex3]
b) [tex3]x=\pm 1[/tex3]
c) [tex3]x=0,x=\pm 1[/tex3]
d) [tex3]x=0, x=\pm \sqrt{3}[/tex3]
e) [tex3]x=0,x=\pm 1/2[/tex3]
f) [tex3]\text{N.R.A}[/tex3]
)
