Maratonas de Matemática

Solução do Problema 30

Temos,
[tex3]S=\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\sum_{k=1}^n 4k^2-4k+1=4\sum_{k=1}^nk^2-4\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n 1[/tex3]
[tex3]S=\frac{4n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{4n(n+1)}{2}+n[/tex3]

Substituindo [tex3]n=40[/tex3]
[tex3]S=\frac{4\cdot 40(40+1)(2\cdot 40+1)}{6}-\frac{4\cdot 40(40+1)}{2}+40[/tex3]
[tex3]\boxed{S=85320}[/tex3] . Letra C

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Problema 31

(EN - 2011) Considere [tex3]S[/tex3] a soma das raízes da equação trigonométrica [tex3]4\sin^3x-5\sin x+4\cos^3x+5\cos x=0[/tex3] , no intervalo [tex3]\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/tex3] . Qual o valor de [tex3]\tan S+\operatorname{cossec}2S[/tex3] ?

a) [tex3]2[/tex3]
b) [tex3]1[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]-1[/tex3]
e) [tex3]-2[/tex3]

Solução do Problema 31

[tex3]4(\sin^2 x-\cos^3 x)-5(\sin x-\cos x)=0[/tex3]
[tex3]4(\sin x-\cos x)(\underbrace{\sin^2x+\cos^2x}_{1}+\sin x\cdot\cos x)-5(\sin x-\cos x)=0[/tex3]
[tex3](\sin x-\cos x)\cdot \left[4\left(1+\frac{1}{2}\sin 2x\right)-5\right]=0[/tex3]
[tex3](\sin x-\cos x)(4+2\sin 2x-5)=0[/tex3]

Assim temos dois casos:

1.
[tex3]2\sin(2x)-1=0[/tex3]
[tex3]\sin2x=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]2x=\frac{\pi}{6}\,\,\rightarrow\,\,\boxed{x = \frac{\pi}{12}}[/tex3]
[tex3]2x=\frac{5\pi}{6}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{x=\frac{5\pi}{12}}[/tex3]

2.
[tex3]\sin x=\cos x[/tex3]
[tex3]\tan x=1[/tex3]

[tex3]\boxed{x=\frac{\pi}{4}}[/tex3]

[tex3]S=\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\tan S+\operatorname{cossec}2S=\tan\frac{3\pi}{4}+\operatorname{cossec}\frac{3\pi}{2}=-1-1=\boxed{\boxed{-2}}[/tex3]

Letra E

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Problema 32

(EN - 2010) Considere [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] retas do [tex3]\mathbb{R} ^3[/tex3] definidas por:
[tex3]r:\begin{cases}x=2t \\ y = 1-t \\ z=2+3t\end{cases}[/tex3] [tex3]t \,\in \,\mathbb{R}[/tex3] e [tex3]s:\begin{cases}x+y-z+1=0 \\ 2x-y+z=0\end{cases}[/tex3] . Se [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo formado peas retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] , então [tex3]\operatorname{cossec}\theta[/tex3] vale:

a) [tex3]\sqrt7[/tex3]
b) [tex3]\sqrt6[/tex3]
c) [tex3]\frac{2 \sqrt{14}}{7}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{42}}{6}[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{42}}{7}[/tex3]

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Solução do problema 32

Para avaliar o angulo entre duas retas precisamos de suas respectivas direções. Na primeira reta a direção está explícita
: [tex3]\boxed{d_1=(2,\, -1,\, 3)}[/tex3]

quando a segunda reta, note que ela é dada pela interseção entre os planos [tex3]x+y-z=-1\, e\, 2x-y+z=0.[/tex3] Para obter a sua forma paramétrica como está a outra reta precisamos resolver o sistema:

[tex3]\begin{cases}
x+y-z=-1 \\ 2x-y+z=0
\end{cases}[/tex3] escalonando:

[tex3]\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 & -1 & -1\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right) \rightarrow ... \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{2}{3} \end{array}\right)[/tex3]

voltando ao sistema:

[tex3]\begin{cases}
x=-\frac{1}{3} \\ y=-\frac{2}{3}+k \\ z=k
\end{cases}[/tex3]

agora fica óbvio que a direção é dada pelo vetor: [tex3]\boxed{d_2=(0,\, 1,\, 1)}[/tex3]

da álgebra linear, o cosseno do angulo entre duas retas é dado por:

[tex3]\cos \theta =\frac{d_1.d_2}{|d_1|.|d_2|}=\frac{((2,\, -1,\, 3))((0,\, 1,\, 1))}{|(2,\, -1,\, 3)||(0,\, 1,\, 1)|}=\sqrt{\frac{1}{7}} \\ \cossec \theta =\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 \theta}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{7}}}=\frac{\sqrt{42}}{6}.[/tex3] [tex3]\boxed{d}[/tex3]

......................................................................................................................................................

Problema 33

(EN-2005) Um recipiente cilíndrico que deve ter [tex3]1m^3[/tex3] de volume vai ser construído nas oficinas do Arsenal da Marinha, para atender a um dos navios da MB. Na lateral a na tampa, será utilizado um material cujo preço é de R$ 1.000,00 por [tex3]m^2[/tex3] e, no fundo, um material cujo preço é R$ 2.000,00 por [tex3]m^2[/tex3] . Que dimensões deve ter o recipiente, para que a MB tenha a menor despesa possível?

[tex3]a)\, \frac{1}{\sqrt[3]{3 \pi}}m\, e\, \frac{1}{3 \pi^2} \\ b)\, \frac{1}{3 \sqrt[3]{ \pi}}m\, e\, \frac{1}{9 \pi \sqrt[3]{ \pi^2}}m \\ c)\, \frac{1}{\pi \sqrt[3]{3}}m\, e\, \frac{1}{\sqrt[3]{9 \pi^2}}m \\ d)\, \frac{1}{\sqrt[3]{3 \pi}}\, e\, \sqrt[3]{\frac{9}{ \pi }}m \\ e)\, \frac{1}{\sqrt[3]{3 \pi}}\, e\, \frac{1}{\pi \sqrt[3]{9 \pi^2}}m[/tex3]

Solução do Problema 33

Do enunciado tiramos,
[tex3]A=(\pi r^2+2\pi rh)1000+(\pi r^2)2000[/tex3]
[tex3]V=\pi r^2h=1\rightarrow h=\frac{1}{\pi r^2}[/tex3]

Substituindo,
[tex3]A=3000\pi r^2+\frac{2000}{r}[/tex3]

Como queremos o valor mínimo da função, devemos fazer [tex3]A'=0[/tex3]
[tex3]6000\pi r-\frac{2000}{r^2}=0\Rightarrow \boxed{r=\frac{1}{\sqrt[3]{3\pi}}m}[/tex3]

Logo,
[tex3]h=\frac{1}{\pi r^2}=\frac{\sqrt[3]{9\pi ^2}}{\pi}[/tex3]
[tex3]\boxed{h=\sqrt[3]{\frac{9}{\pi}}m}[/tex3] . Letra D

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Problema 34

(EN -2005) No intervalo [tex3][0,\pi][/tex3] a equação [tex3]\sen^4x +\cos^4x=\frac{5}{8}[/tex3] possui soma dos inversos das raízes igual à

[tex3]a)\frac{15}{2\pi}[/tex3]
[tex3]b)\frac{117}{10\pi}[/tex3]
[tex3]c)\frac{15}{\pi}[/tex3]
[tex3]d)2\pi[/tex3]
[tex3]e)\frac{117}{5\pi}[/tex3]

Solução do Problema 34

[tex3]\sen^4 x + \cos^4 x = (\sen^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\cdot \sen^2 x \cdot \cos^2 x[/tex3]
[tex3]\sen^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{\sen^2 (2x)}{2}[/tex3]

Assim temos:

[tex3]1 - \frac{\sen^2 (2x)}{2}=\frac{5}{8}[/tex3]
[tex3]8 - 4\sen^2 (2x) = 5[/tex3]
[tex3]4\sen^2 (2x) = 3[/tex3]
[tex3]\sen(2x) = \frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

[tex3]2x = \frac{\pi}{3} + k\pi[/tex3]
[tex3]x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}[/tex3]

[tex3]2x = \frac{2\pi}{3} + k\pi[/tex3]
[tex3]x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}[/tex3]

Valores possíveis de x: [tex3]\frac{\pi}{6},\,\,\frac{2\pi}{3},\,\,\frac{\pi}{3},\,\, \frac{5\pi}{6}[/tex3]

Portanto,
[tex3]S = \frac{6}{\pi} + \frac{3}{\pi} + \frac{3}{2\pi} + \frac{6}{5\pi}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=\frac{117}{10\pi}}[/tex3] Letra B

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Problema 35

(EN - 2006) Considere a matriz [tex3]\|\begin{array}{ccc} -1 & -i & 0 \\ 1 & -1 & -i \\ i^3 & 1 & -i \end{array}\|[/tex3] com elementos em [tex3]\mathbb{C}[/tex3] . Sendo [tex3]z,\,\,z_1\,\in\,\mathbb{C}[/tex3] , e [tex3]z=detA[/tex3] , então a forma trigonométrica de [tex3]z_1 = z - \frac{1}{z} + \frac{\overline{z}}{2}[/tex3] é:

[tex3]\sqrt2 \left(cos \,\frac{5\pi}{4} + i\cdot \sen\frac{5\pi}{4}\right)[/tex3]
[tex3]\sqrt2 \left(cos \,\frac{7\pi}{4} + i \cdot \sen \frac{7\pi}{4}\right)[/tex3]
[tex3]2 \left(cos \frac{\pi}{2} + i \cdot \sen\frac{\pi}{2}\right)[/tex3]
[tex3]2 \left(\cos \,\frac{3\pi}{2} + i \cdot \sen \frac{3\pi}{2}\right)[/tex3]
[tex3]1[/tex3]

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Solução do problema 35

[tex3]Det \|\begin{array}{ccc} -1 & -i & 0 \\ 1 & -1 & -i \\ i^3 & 1 & -i \end{array}\| =-2i+1+1=1-i[/tex3]

calculando [tex3]z_1:[/tex3]

[tex3]z_1=1-i-\frac{1}{1-i}+\frac{1+i}{2}=1-i[/tex3]

[tex3]|z_1| =\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2[/tex3] daí [tex3]\begin{cases}
\cos \theta =\frac{\sqrt2}{2} \\ \sen \theta =-\frac{\sqrt2}{2}\, \therefore\, \theta = \frac{7 \pi}{4}
\end{cases}[/tex3]

e finalmente: [tex3]z_1= |z_1|( \cos \theta +i \sen \theta)=\sqrt2 \left(\cos \,\frac{7\pi}{4} + i \cdot \sen \frac{7\pi}{4}\right)[/tex3]

Letra [tex3]\boxed{b}[/tex3]

....................................................................................................................................................

Problema 36

(ITA-2008) Determine as raízes em [tex3]\mathbb{C}[/tex3] de [tex3]4z^6+256=0,[/tex3] na forma algébrica que pertençam a [tex3]S= \left\{ z\, \in\, \mathbb{C};\, 1<|z+2|<3 \right\}[/tex3]

Solução do Problema 36

[tex3]z^6=-64[/tex3]
[tex3]z_k=2\left[\text{cis}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{6}\right)\right]\,k=0,1,2,3,4,5[/tex3]

As raízes são:
[tex3]z_0=\sqrt{3}+i[/tex3]
[tex3]z_1=2i[/tex3]
[tex3]z_2=-\sqrt{3}+i[/tex3]
[tex3]z_3=-\sqrt{3}-i[/tex3]
[tex3]z_4=-2i[/tex3]
[tex3]z_5=\sqrt{3}-i[/tex3]

Do encunciado também temos [tex3]1<|z+2|<3[/tex3] que representa uma coroa circular centrada em [tex3]-2[/tex3] .

: ITA -2008.png (17.33 KiB) Exibido 3438 vezes

Portanto,
[tex3]\boxed{S=\{2i,-\sqrt{3}+i,-\sqrt{3}-i,-2i\}}[/tex3]

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Problema 37

(EN - 1999) Sabendo que [tex3]\log\left(\frac{1-\cos a}{1+\cos a}\right)=4[/tex3] , podemos afirmar que [tex3]\tan\frac{a}{2}[/tex3] é igual a

A) [tex3]1[/tex3]
B) [tex3]\sqrt{10}[/tex3]
C) [tex3]10[/tex3]
D) [tex3]10^2[/tex3]
E) [tex3]10^3[/tex3]

Solução do Problema 37

[tex3]\text{sen}\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}[/tex3]
[tex3]\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}}[/tex3]

[tex3]\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}[/tex3]

Pelo enunciado:
[tex3]\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)} = 10^4[/tex3]

Logo,
[tex3]\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}} = \sqrt{10^4} = \boxed{10^2}[/tex3] Letra d

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Problema 38

(EN - 1997) Seja x a solução da equação
[tex3]\log_7 \, \sqrt{x+1} + \log_7 \, \sqrt{x-1} = \frac{1}{2}\log_7 \,3[/tex3] . O valor de [tex3]z=\log_{2\sqrt2} \left(\frac{1}{64}\right) + \log_x 128[/tex3] é:

a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Mensagem não lidapor **Natan** » Seg 27 Fev, 2012 21:12 · Mensagem não lida por **Natan** » Seg 27 Fev, 2012 21:12

Solução do problema 38

Resolvendo a equação:

[tex3]\log_7 \, \sqrt{x+1} + \log_7 \, \sqrt{x-1} = \frac{1}{2}\log_7 \,3[/tex3]

[tex3]\log_7 \sqrt{x^2-1}=\log_7 \sqrt3\, \Rightarrow\, x= \pm 2[/tex3]

o valor negativo obviamente será descartado, pois este deve servir de base para o logaritmo mais adiante. Agora precisamos do valor de [tex3]\log_{2\sqrt2} \left(\frac{1}{64}\right)[/tex3] :

[tex3](2\sqrt2)^k=\frac{1}{64}\, \Rightarrow\, 2^{\frac{3k}{2}}=2^{-6}\, \therefore\, y=-4[/tex3]

e finalmente:

[tex3]z=-4+log_2 128=-4+7=3[/tex3] e com isso Letra [tex3]\boxed{b}[/tex3]
..........................................................................................................................................................

Problema 39

(ITA-2008) Seja [tex3]f(x)=\ln(x^2+x+1),\, x\, \in\, \Re.[/tex3] Determine funções [tex3]h,\, g:\, \Re\, \rightarrow\, \Re[/tex3] com h par e g ímpar tais que [tex3]f(x)=g(x)+h(x)[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] real.

Solução do Problema 39

Sabemos que função par:
[tex3]p(x)=p(-x)[/tex3]

Sabemos que função ímpar:
[tex3]p(x)=-p(-x)[/tex3]

Do enunciado tiramos,
[tex3]f(x)=g(x)+h(x)[/tex3]
[tex3]f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)[/tex3] , [tex3]g(x)[/tex3] é ímpar e [tex3]h(x)[/tex3] é par.

De onde tiramos,
[tex3]h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}[/tex3]
[tex3]g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]h(x)=\frac{\ln(x^2+x+1)+\ln(x^2-x+1)}{2}=\ln\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)},\,x\in \mathbb{R}[/tex3]
[tex3]g(x)=\frac{\ln(x^2+x+1)-\ln(x^2-x+1)}{2}=\ln\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}},\,x\in \mathbb{R}[/tex3]

Observe que [tex3]x^2-x+1[/tex3] é sempre positivo, sendo assim não temos restrições.

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Problema 40

(EN- 1999) Dividindo-se [tex3]2x^3-x^2+mx+8[/tex3] , onde [tex3]m\in \mathbb{R}[/tex3] , por [tex3]x+2[/tex3] obtém-se resto igual a [tex3]-6[/tex3] . Qual o polinômio que representa o quociente da divisão de [tex3]4x^3-7x+3[/tex3] por [tex3]2x-m[/tex3]

a) [tex3]-2x^2+3x+1[/tex3]
b) [tex3]2x^2-2x-1[/tex3]
c) [tex3]-x^2+2x-1[/tex3]
d) [tex3]x^2+3x+1[/tex3]
e) [tex3]2x^2-3x+1[/tex3]

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