Maratonas de Matemática

Mensagem não lida por **felps** » 08 Set 2012, 16:50

Solução do Problema 290

Se [tex3]\frac{\text{hipotenusa}}{\text{menor cateto}} = \sqrt{5}[/tex3] , designando com [tex3]\alpha[/tex3] o ângulo oposto a esse cateto, temos que [tex3]\sen \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}[/tex3]

Como é um triângulo retângulo, podemos afirmar que [tex3]\sen \beta = \cos \alpha[/tex3]

[tex3]\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1[/tex3]
[tex3]\cos^2 \alpha = \frac{5}{5} - \frac{1}{5}[/tex3]
[tex3]\cos \alpha = \sen \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex3]

[tex3]\sen \alpha + \sen\beta = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{3\sqrt{5}}{5}[/tex3]

Letra B.

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Problema 291

(ITA-2001) Se [tex3]z = 1 + i\sqrt{3}[/tex3] , [tex3]z \cdot \overline{w} = 1[/tex3] e [tex3]\alpha \in [0,2\pi][/tex3] é um argumento de de [tex3]z \times w[/tex3] , então [tex3]\alpha[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{\pi}{3}[/tex3]
b) [tex3]\pi[/tex3]
c) [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{5\pi}{3}[/tex3]
e) [tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3]

Solução do Problema 291

[tex3]\overline{w}=\frac{1}{1+i\sqrt{3}}\times \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\overline{w}=\frac{1-i\sqrt{3}}{1^2-\(i\sqrt{3}\)^2}[/tex3]
[tex3]\overline{w}=\frac{1-i\sqrt{3}}{4}\,\,\Rightarrow \,\,w=\frac{1}{4}+\frac{i\sqrt{3}}{4}[/tex3]

Portanto,

[tex3]z\times w=\(1+i\sqrt{3}\)\cdot \(\frac{1}{4}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\)=-\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]z \times w=\cos\frac{2\pi}{3}+i\cdot \sen\frac{2\pi}{3}[/tex3]

Com isso temos, [tex3]\boxed{\alpha=\frac{2\pi}{3}}[/tex3] . Letra C

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Problema 292

(AFA - 2008) Seja [tex3]S[/tex3] a região do plano dada por [tex3]\begin{cases}2x+y \leq 16\\ x-y \leq 2\\x-2 \geq 0\end{cases}[/tex3]
O volume do sólido gerado pela rotação de [tex3]360^{\circ}[/tex3] de [tex3]S[/tex3] em torno da reta [tex3]x+1=0[/tex3] é, em unidade de volume, igual a:

a) [tex3]208\pi[/tex3]
b) [tex3]235\pi[/tex3]
c) [tex3]252\pi[/tex3]
d) [tex3]316\pi[/tex3]

Solução do Problema 292

Calculando a intersecção das retas encontramos os seguintes pontos
[tex3]\begin{cases}2x+y \leq 16\\ x-y \leq 2\\x-2 \geq 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}A=(2,0)\\B=(6,4)\\C=(2,12)\end{cases}[/tex3]

Podemos ver que A e C tem a mesma abcissas. Sendo [tex3]AC[/tex3] a base do triângulo, temos que a altura vale [tex3]h=B_x-A_x=6-2=4[/tex3]
[tex3]S=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{(12-0)\cdot 4}{2}=24\,u.a[/tex3]

Agora é só utilizarmos o Teorema de Pappus-Guldin,
[tex3]V=A\cdot d\cdot \theta[/tex3] ,

Onde
[tex3]\theta :[/tex3] é o ângulo de rotação, neste cado vale [tex3]2\pi\,\,(360^{\circ})[/tex3]
[tex3]d:[/tex3] distância do eixo de rotação ao centro de massa.

O centro do triângulo vale,
[tex3]G=\left(\frac{A_x+B_x+C_x}{3},\frac{A_y+B_t+C_y}{3}\right)[/tex3]
[tex3]G=\left(\frac{10}{3},\frac{16}{3}\right)[/tex3]

Logo o valor de d é
[tex3]d=1+\frac{10}{3}=\frac{13}{3}[/tex3]

Portanto,
[tex3]V=2\pi\cdot 24\cdot \frac{13}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{V=208\pi\,u.v}[/tex3] . Letra A

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Problema 293

(EFOMM - 2009) [tex3]A,\, B\, e\, C[/tex3] são pontos consecutivos no sentido anti-horário de uma circunferência de raio [tex3]r[/tex3] . O menor arco [tex3]AB[/tex3] tem comprimento igual a [tex3]r[/tex3] . Tomando-se como unidade [tex3]u[/tex3] a medida do ângulo agudo [tex3]\hat{ACB}[/tex3] , qual é o valor do seno de [tex3]\frac{\pi}{6}u[/tex3]

a) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac {1}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/tex3]

Solução do Problema 293

Sendo [tex3]\angle ACB=u[/tex3] (ângulo inscrito do arco [tex3]\widehat{AB}[/tex3] ), o ângulo central [tex3]\angle AOB=2u[/tex3] .

[tex3]m(\widehat{AB})=\theta \cdot r[/tex3]
[tex3]r=2u\cdot r[/tex3]
[tex3]u=\frac{1}{2}\,\text{rad}[/tex3]

[tex3]\sen \frac{\pi}{6}u=\sen \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3] .

Que é justamente igual a [tex3]\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/tex3] .

Usando radical duplo: [tex3]\sqrt{A\pm \sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}[/tex3] .

[tex3]C=\sqrt{A^2-B}=1[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{2}-\frac{\sqrt{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3] .

Portanto ficamos com a Letra E.

OBS.: [tex3]\sen (a-b)=\sen a\cdot \cos b -\sen b \cdot \cos b[/tex3] . Utilizei [tex3]\sen \frac{\pi}{12}=\sen \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)[/tex3] .

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Problema 294

(AFA - 1990) Numa urna temos [tex3]7[/tex3] bolas pretas e [tex3]5[/tex3] bolas brancas. De quantas maneiras podemos tirar [tex3]6[/tex3] bolas da urna, das quais [tex3]2[/tex3] são brancas ?

a) 132
b) 210
c) 350
d) n.r.a

Mensagem não lida por **felps** » 15 Set 2012, 10:26

Solução do Problema 294

Temos [tex3]C_{5,2}[/tex3] para escolher as bolas brancas:

[tex3]\frac{5!}{2!(5-2)!} = 10[/tex3]

Temos [tex3]C_{7,4}[/tex3] para escolher as bolas pretas:

[tex3]\frac{7!}{4!(7-4)!} = 35[/tex3]

Multiplicando:

[tex3]M = 10 \times 35 = \boxed{350 \, \text{maneiras}}[/tex3]

Letra C.

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Problema 295

(ITA-2001) Sabendo que é de [tex3]1024[/tex3] a soma dos coeficientes do polinômio em [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] , obtido pelo desenvolvimento do binômio [tex3](x + y)^m[/tex3] , temos que o número de arranjos sem repetição de [tex3]m[/tex3] elementos, tomados [tex3]2[/tex3] a [tex3]2[/tex3] , é:

a) [tex3]80[/tex3]
b) [tex3]90[/tex3]
c) [tex3]70[/tex3]
d) [tex3]100[/tex3]
e) [tex3]60[/tex3]

Mensagem não lida por **Alexander** » 16 Set 2012, 14:47

Solução do Problema 295

O problema diz que a soma dos coeficientes é 1024. Podemos usar o teorema das linhas:

[tex3]\binom {n} {0} + \binom {n} {1} + ... + \binom {n} {n} = 2^{n}[/tex3]

[tex3]2^{m} = 1024[/tex3]

[tex3]2^{m} = 2^{10}[/tex3]

[tex3]m = 10[/tex3]

Fazendo o Arranjo 2 a 2 de 10.

[tex3]A_{10,2} = 10.9 = \boxed{90}[/tex3]

Letra B.

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Problema 296

(ITA - 1995) Seja [tex3]A = \frac{(-1)^{n}}{n!} + \sen\left(\frac{n!\cdot\pi}{6}\right);\,\,n \in \mathbb{N}[/tex3] .

Qual conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A dá o próprio A?

a) [tex3](-\infty ,-2] \cup [2, +\infty )[/tex3]
b) [tex3](-\infty ,-2][/tex3]
c) [tex3][-2,2][/tex3]
d) [tex3][-2,0][/tex3]
d) [tex3][0,2)[/tex3]

Solução do Problema 296

Facilmente podemos ver que para [tex3]n\geq 3[/tex3] teremos seno do tipo [tex3]\sen(k\pi)[/tex3] que é sempre zero, o mesmo acontece para [tex3]\frac{(-1)^{n}}{n!}[/tex3] , quanto maior o valor de [tex3]n[/tex3] menor será a fração.

Agora vamos calular os extremos,
Para [tex3]n=0[/tex3] temos,
[tex3]A(0)=1+\sen\left(\frac{\pi}{6}\right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}[/tex3]

Para [tex3]n=1[/tex3] temos,
[tex3]A(1)=-1+\sen\left(\frac{\pi}{6}\right)=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}[/tex3]

Para [tex3]n=2[/tex3] temos,
[tex3]A(2)=\frac{1}{2}+\sen\left(\frac{2\pi}{6}\right)=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Para [tex3]n=3[/tex3] temos,
[tex3]A(3)=-\frac{1}{6}+\sen\left(\frac{6\pi}{6}\right)=-\frac{1}{6}+0=-\frac{1}{6}[/tex3]

Logo, os valores de [tex3]A[/tex3] estão no seguinte intervalo,
[tex3]-\frac{1}{2}\leq A(n)\leq \frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Como queremos que a intersecção de um conjunto com A resulte no próprio A, isso implica que A deve estar contido no conjunto. Sendo assim a alternativa correta é a Letra C.

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Problema 297

(AFA - 2002) Se o polinômio [tex3]P(x)=x^m-2b^nx^{m-n}+b^m[/tex3] é divisível por [tex3]x+b[/tex3] , sendo [tex3]n<m,\,n\, e\, m \in \mathbb{N}^*[/tex3] e [tex3]b\neq 0[/tex3] , então, ocorrerá necessariamente

a) [tex3]m[/tex3] par e [tex3]n[/tex3] ímpar
b) [tex3]m[/tex3] ímpar e [tex3]n[/tex3] par
c) [tex3]m[/tex3] ímpar e [tex3]n[/tex3] ímpar
d) [tex3]m[/tex3] par e [tex3]n[/tex3] par

Mensagem não lida por **felps** » 21 Set 2012, 14:09

Solução do Problema 297

[tex3]P(x)=x^m-2b^nx^{m-n}+b^m[/tex3]

Do enunciado tiramos que [tex3]p(-b)=0[/tex3]
[tex3](-b)^m-2b^n(-b)^{m-n}+b^m=0[/tex3]
[tex3](-b)^m+b^m=2b^n(-b)^{m-n}[/tex3]
[tex3](-b)^m+b^m=2b^n(-1)^{m-n}b^{m-n}[/tex3]
[tex3](-b)^m+b^m=2(-1)^{m-n}b^m[/tex3]

Para a igualdade ser verdadeira devemos ter tanto [tex3]m[/tex3] quanto [tex3]n[/tex3] par. Letra D

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Problema 298

(ITA-2001) O conjunto de todos os valores de [tex3]m[/tex3] para os quais a função [tex3]f(x) = \frac{x^2 + (2m+3)x + (m^2+3)}{\sqrt{x^2 + (2m+1)x + (m^2 + 2)}}[/tex3] está definida e é não negativa para todo [tex3]x[/tex3] real é:

a) [tex3]\left[\frac{1}{4},\,\frac{7}{4}\right[[/tex3]
b) [tex3]\left]\frac{1}{4},\,\infty\right[[/tex3]
c) [tex3]\left]0,\,\frac{7}{4}\right[[/tex3]
d) [tex3]\left]-\infty,\,\frac{1}{4}\right][/tex3]
e) [tex3]\left]\frac{1}{4},\,\frac{7}{4}\right[[/tex3]

Mensagem não lida por **jhonim** » 21 Set 2012, 19:14

Solução do problema 298

Para que f(x) seja sempre maior que zero, duas condições devem ser atendidas:

I) [tex3]x^2 + (2m+3)x + (m^2+3)\geq 0[/tex3] , portanto [tex3]\Delta \leq 0[/tex3] ;

II) [tex3]\sqrt{x^2 + (2m+1)x + (m^2 + 2)}>0[/tex3] , portanto [tex3]\Delta <0[/tex3]

Desenvolvendo:

I) [tex3](2\,m+3)^2-4(m^2+3)\leq0\,\,\rightarrow\,\,m\leq\frac{1}{4}[/tex3]

II) [tex3](2m+1)^2-4(m^2+2)<0\,\,\rightarrow\,\,m<\frac{7}{4}[/tex3]

Pela interseção entre os valores obtidos, conclui-se que [tex3]\left\{m \in \mathbb{R} \,\,\bigg|\,\,m\leq\frac{1}{4}\right\}[/tex3] .

Alternativa D.

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Problema 299

(ITA - 2002) - Dada a função quadrática [tex3]f(x)=x^2\,\ln\left(\frac{2}{3}\right)+x\,\,\ln(6)-\left(\frac{1}{4}\right)\ln\left(\frac{3}{2}\right)[/tex3] , temos que:

a) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] não possui raízes reais.
b) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] possui duas raízes reais distintas e o gráfico de [tex3]f[/tex3] possui concavidade para cima.
c) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] possui duas raízes reais iguais e o gráfico de [tex3]f[/tex3] possui concavidade para baixo.
d) o valor máximo de [tex3]f[/tex3] é [tex3]\frac{(\ln 2)(\ln 3)}{(\ln 3)-(\ln 2)}[/tex3] .
e) o valor máximo de [tex3]f[/tex3] é [tex3]\frac{2\,\,(\ln2)(\ln3)}{(\ln3)-(\ln2)}[/tex3] .

Solução do problema 299

Analizando o [tex3]\Delta[/tex3] da função:
[tex3]\Delta= \ln^26+\ln\left(\frac{2}{3}\right)\cdot\ln\left(\frac{3}{2}\right)\,=[/tex3]
[tex3]\small\ln^26-(\ln3-\ln2)^2\,=\,(\ln3+\ln2)^2-(\ln^23+\ln^22)+2\ln2\cdot\ln3\,=\,4(\ln2\cdot\ln3)[/tex3]

Sua amplitude máxima:[tex3]\frac{4(\ln2\cdot\ln3)}{4(\ln3-\ln2)}=\frac{(\ln2\cdot\ln3)}{(\ln3-\ln2)}[/tex3]

Alternativa d

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Questão 300

(Escola Naval - 2009) Ao escrevermos [tex3]\frac{x^2}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\frac{Cx+D}{a_2x^2+b_2x+c_2}[/tex3] onde [tex3]a_i,\,b_i,\,c_i\,\,(1\leq i\leq2)[/tex3] e [tex3]A,\,B,\,C\,\,e\,\,D[/tex3] são constantes reais, podemos afirmar que [tex3]A^2+C^2[/tex3] vale:

a) [tex3]\frac{3}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]
e) [tex3]0[/tex3]

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