Solução do Problema 290
Se [tex3]\frac{\text{hipotenusa}}{\text{menor cateto}} = \sqrt{5}[/tex3]
, designando com [tex3]\alpha[/tex3]
o ângulo oposto a esse cateto, temos que [tex3]\sen \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}[/tex3]
Como é um triângulo retângulo, podemos afirmar que [tex3]\sen \beta = \cos \alpha[/tex3]
[tex3]\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1[/tex3]
[tex3]\cos^2 \alpha = \frac{5}{5} - \frac{1}{5}[/tex3]
[tex3]\cos \alpha = \sen \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex3]
[tex3]\sen \alpha + \sen\beta = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{3\sqrt{5}}{5}[/tex3]
Letra B.
------------------------------------------------------------------------------
Problema 291
(ITA-2001) Se [tex3]z = 1 + i\sqrt{3}[/tex3]
, [tex3]z \cdot \overline{w} = 1[/tex3]
e [tex3]\alpha \in [0,2\pi][/tex3]
é um argumento de de [tex3]z \times w[/tex3]
, então [tex3]\alpha[/tex3]
é igual a:
a) [tex3]\frac{\pi}{3}[/tex3]
b) [tex3]\pi[/tex3]
c) [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{5\pi}{3}[/tex3]
e) [tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Maratonas de Matemática ⇒ II Maratona de Matemática IME/ITA
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Set 2012
08
16:50
Re: II Maratona de Matemática IME/ITA
Editado pela última vez por felps em 08 Set 2012, 16:50, em um total de 2 vezes.
"É melhor lançar-se à luta em busca do triunfo,mesmo expondo-se ao insucesso,do que ficar na fila dos pobres de espírito,que nem gozam muito nem sofrem muito,por viverem nessa penumbra cinzenta de não conhecer vitória e nem derrota" F. Roosevelt
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Set 2012
09
16:59
Re: II Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 291
[tex3]\overline{w}=\frac{1}{1+i\sqrt{3}}\times \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\overline{w}=\frac{1-i\sqrt{3}}{1^2-\(i\sqrt{3}\)^2}[/tex3]
[tex3]\overline{w}=\frac{1-i\sqrt{3}}{4}\,\,\Rightarrow \,\,w=\frac{1}{4}+\frac{i\sqrt{3}}{4}[/tex3]
Portanto,
[tex3]z\times w=\(1+i\sqrt{3}\)\cdot \(\frac{1}{4}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\)=-\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]z \times w=\cos\frac{2\pi}{3}+i\cdot \sen\frac{2\pi}{3}[/tex3]
Com isso temos, [tex3]\boxed{\alpha=\frac{2\pi}{3}}[/tex3] . Letra C
------------------------
Problema 292
(AFA - 2008) Seja [tex3]S[/tex3] a região do plano dada por [tex3]\begin{cases}2x+y \leq 16\\ x-y \leq 2\\x-2 \geq 0\end{cases}[/tex3]
O volume do sólido gerado pela rotação de [tex3]360^{\circ}[/tex3] de [tex3]S[/tex3] em torno da reta [tex3]x+1=0[/tex3] é, em unidade de volume, igual a:
a) [tex3]208\pi[/tex3]
b) [tex3]235\pi[/tex3]
c) [tex3]252\pi[/tex3]
d) [tex3]316\pi[/tex3]
[tex3]\overline{w}=\frac{1}{1+i\sqrt{3}}\times \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\overline{w}=\frac{1-i\sqrt{3}}{1^2-\(i\sqrt{3}\)^2}[/tex3]
[tex3]\overline{w}=\frac{1-i\sqrt{3}}{4}\,\,\Rightarrow \,\,w=\frac{1}{4}+\frac{i\sqrt{3}}{4}[/tex3]
Portanto,
[tex3]z\times w=\(1+i\sqrt{3}\)\cdot \(\frac{1}{4}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\)=-\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]z \times w=\cos\frac{2\pi}{3}+i\cdot \sen\frac{2\pi}{3}[/tex3]
Com isso temos, [tex3]\boxed{\alpha=\frac{2\pi}{3}}[/tex3] . Letra C
------------------------
Problema 292
(AFA - 2008) Seja [tex3]S[/tex3] a região do plano dada por [tex3]\begin{cases}2x+y \leq 16\\ x-y \leq 2\\x-2 \geq 0\end{cases}[/tex3]
O volume do sólido gerado pela rotação de [tex3]360^{\circ}[/tex3] de [tex3]S[/tex3] em torno da reta [tex3]x+1=0[/tex3] é, em unidade de volume, igual a:
a) [tex3]208\pi[/tex3]
b) [tex3]235\pi[/tex3]
c) [tex3]252\pi[/tex3]
d) [tex3]316\pi[/tex3]
Editado pela última vez por theblackmamba em 09 Set 2012, 16:59, em um total de 2 vezes.
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Set 2012
12
22:20
Re: II Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 292
Calculando a intersecção das retas encontramos os seguintes pontos
[tex3]\begin{cases}2x+y \leq 16\\ x-y \leq 2\\x-2 \geq 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}A=(2,0)\\B=(6,4)\\C=(2,12)\end{cases}[/tex3]
Podemos ver que A e C tem a mesma abcissas. Sendo [tex3]AC[/tex3] a base do triângulo, temos que a altura vale [tex3]h=B_x-A_x=6-2=4[/tex3]
[tex3]S=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{(12-0)\cdot 4}{2}=24\,u.a[/tex3]
Agora é só utilizarmos o Teorema de Pappus-Guldin,
[tex3]V=A\cdot d\cdot \theta[/tex3] ,
Onde
[tex3]\theta :[/tex3] é o ângulo de rotação, neste cado vale [tex3]2\pi\,\,(360^{\circ})[/tex3]
[tex3]d:[/tex3] distância do eixo de rotação ao centro de massa.
O centro do triângulo vale,
[tex3]G=\left(\frac{A_x+B_x+C_x}{3},\frac{A_y+B_t+C_y}{3}\right)[/tex3]
[tex3]G=\left(\frac{10}{3},\frac{16}{3}\right)[/tex3]
Logo o valor de d é
[tex3]d=1+\frac{10}{3}=\frac{13}{3}[/tex3]
Portanto,
[tex3]V=2\pi\cdot 24\cdot \frac{13}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{V=208\pi\,u.v}[/tex3] . Letra A
------------------------------------------------------------
Problema 293
(EFOMM - 2009) [tex3]A,\, B\, e\, C[/tex3] são pontos consecutivos no sentido anti-horário de uma circunferência de raio [tex3]r[/tex3] . O menor arco [tex3]AB[/tex3] tem comprimento igual a [tex3]r[/tex3] . Tomando-se como unidade [tex3]u[/tex3] a medida do ângulo agudo [tex3]\hat{ACB}[/tex3] , qual é o valor do seno de [tex3]\frac{\pi}{6}u[/tex3]
a) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac {1}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
Calculando a intersecção das retas encontramos os seguintes pontos
[tex3]\begin{cases}2x+y \leq 16\\ x-y \leq 2\\x-2 \geq 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}A=(2,0)\\B=(6,4)\\C=(2,12)\end{cases}[/tex3]
Podemos ver que A e C tem a mesma abcissas. Sendo [tex3]AC[/tex3] a base do triângulo, temos que a altura vale [tex3]h=B_x-A_x=6-2=4[/tex3]
[tex3]S=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{(12-0)\cdot 4}{2}=24\,u.a[/tex3]
Agora é só utilizarmos o Teorema de Pappus-Guldin,
[tex3]V=A\cdot d\cdot \theta[/tex3] ,
Onde
[tex3]\theta :[/tex3] é o ângulo de rotação, neste cado vale [tex3]2\pi\,\,(360^{\circ})[/tex3]
[tex3]d:[/tex3] distância do eixo de rotação ao centro de massa.
O centro do triângulo vale,
[tex3]G=\left(\frac{A_x+B_x+C_x}{3},\frac{A_y+B_t+C_y}{3}\right)[/tex3]
[tex3]G=\left(\frac{10}{3},\frac{16}{3}\right)[/tex3]
Logo o valor de d é
[tex3]d=1+\frac{10}{3}=\frac{13}{3}[/tex3]
Portanto,
[tex3]V=2\pi\cdot 24\cdot \frac{13}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{V=208\pi\,u.v}[/tex3] . Letra A
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Problema 293
(EFOMM - 2009) [tex3]A,\, B\, e\, C[/tex3] são pontos consecutivos no sentido anti-horário de uma circunferência de raio [tex3]r[/tex3] . O menor arco [tex3]AB[/tex3] tem comprimento igual a [tex3]r[/tex3] . Tomando-se como unidade [tex3]u[/tex3] a medida do ângulo agudo [tex3]\hat{ACB}[/tex3] , qual é o valor do seno de [tex3]\frac{\pi}{6}u[/tex3]
a) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac {1}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/tex3]
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 12 Set 2012, 22:20, em um total de 2 vezes.
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Set 2012
14
19:24
Re: II Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 293
Sendo [tex3]\angle ACB=u[/tex3] (ângulo inscrito do arco [tex3]\widehat{AB}[/tex3] ), o ângulo central [tex3]\angle AOB=2u[/tex3] .
[tex3]m(\widehat{AB})=\theta \cdot r[/tex3]
[tex3]r=2u\cdot r[/tex3]
[tex3]u=\frac{1}{2}\,\text{rad}[/tex3]
[tex3]\sen \frac{\pi}{6}u=\sen \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3] .
Que é justamente igual a [tex3]\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/tex3] .
Usando radical duplo: [tex3]\sqrt{A\pm \sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}[/tex3] .
[tex3]C=\sqrt{A^2-B}=1[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{2}-\frac{\sqrt{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3] .
Portanto ficamos com a Letra E.
OBS.: [tex3]\sen (a-b)=\sen a\cdot \cos b -\sen b \cdot \cos b[/tex3] . Utilizei [tex3]\sen \frac{\pi}{12}=\sen \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)[/tex3] .
-----------------------
Problema 294
(AFA - 1990) Numa urna temos [tex3]7[/tex3] bolas pretas e [tex3]5[/tex3] bolas brancas. De quantas maneiras podemos tirar [tex3]6[/tex3] bolas da urna, das quais [tex3]2[/tex3] são brancas ?
a) 132
b) 210
c) 350
d) n.r.a
Sendo [tex3]\angle ACB=u[/tex3] (ângulo inscrito do arco [tex3]\widehat{AB}[/tex3] ), o ângulo central [tex3]\angle AOB=2u[/tex3] .
[tex3]m(\widehat{AB})=\theta \cdot r[/tex3]
[tex3]r=2u\cdot r[/tex3]
[tex3]u=\frac{1}{2}\,\text{rad}[/tex3]
[tex3]\sen \frac{\pi}{6}u=\sen \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3] .
Que é justamente igual a [tex3]\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/tex3] .
Usando radical duplo: [tex3]\sqrt{A\pm \sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}[/tex3] .
[tex3]C=\sqrt{A^2-B}=1[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{2}-\frac{\sqrt{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3] .
Portanto ficamos com a Letra E.
OBS.: [tex3]\sen (a-b)=\sen a\cdot \cos b -\sen b \cdot \cos b[/tex3] . Utilizei [tex3]\sen \frac{\pi}{12}=\sen \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)[/tex3] .
-----------------------
Problema 294
(AFA - 1990) Numa urna temos [tex3]7[/tex3] bolas pretas e [tex3]5[/tex3] bolas brancas. De quantas maneiras podemos tirar [tex3]6[/tex3] bolas da urna, das quais [tex3]2[/tex3] são brancas ?
a) 132
b) 210
c) 350
d) n.r.a
Editado pela última vez por theblackmamba em 14 Set 2012, 19:24, em um total de 2 vezes.
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Set 2012
15
10:26
Re: II Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 294
Temos [tex3]C_{5,2}[/tex3] para escolher as bolas brancas:
[tex3]\frac{5!}{2!(5-2)!} = 10[/tex3]
Temos [tex3]C_{7,4}[/tex3] para escolher as bolas pretas:
[tex3]\frac{7!}{4!(7-4)!} = 35[/tex3]
Multiplicando:
[tex3]M = 10 \times 35 = \boxed{350 \, \text{maneiras}}[/tex3]
Letra C.
--------------------------
Problema 295
(ITA-2001) Sabendo que é de [tex3]1024[/tex3] a soma dos coeficientes do polinômio em [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] , obtido pelo desenvolvimento do binômio [tex3](x + y)^m[/tex3] , temos que o número de arranjos sem repetição de [tex3]m[/tex3] elementos, tomados [tex3]2[/tex3] a [tex3]2[/tex3] , é:
a) [tex3]80[/tex3]
b) [tex3]90[/tex3]
c) [tex3]70[/tex3]
d) [tex3]100[/tex3]
e) [tex3]60[/tex3]
Temos [tex3]C_{5,2}[/tex3] para escolher as bolas brancas:
[tex3]\frac{5!}{2!(5-2)!} = 10[/tex3]
Temos [tex3]C_{7,4}[/tex3] para escolher as bolas pretas:
[tex3]\frac{7!}{4!(7-4)!} = 35[/tex3]
Multiplicando:
[tex3]M = 10 \times 35 = \boxed{350 \, \text{maneiras}}[/tex3]
Letra C.
--------------------------
Problema 295
(ITA-2001) Sabendo que é de [tex3]1024[/tex3] a soma dos coeficientes do polinômio em [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] , obtido pelo desenvolvimento do binômio [tex3](x + y)^m[/tex3] , temos que o número de arranjos sem repetição de [tex3]m[/tex3] elementos, tomados [tex3]2[/tex3] a [tex3]2[/tex3] , é:
a) [tex3]80[/tex3]
b) [tex3]90[/tex3]
c) [tex3]70[/tex3]
d) [tex3]100[/tex3]
e) [tex3]60[/tex3]
Editado pela última vez por felps em 15 Set 2012, 10:26, em um total de 2 vezes.
"É melhor lançar-se à luta em busca do triunfo,mesmo expondo-se ao insucesso,do que ficar na fila dos pobres de espírito,que nem gozam muito nem sofrem muito,por viverem nessa penumbra cinzenta de não conhecer vitória e nem derrota" F. Roosevelt
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Set 2012
16
14:47
Re: II Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 295
O problema diz que a soma dos coeficientes é 1024. Podemos usar o teorema das linhas:
[tex3]\binom {n} {0} + \binom {n} {1} + ... + \binom {n} {n} = 2^{n}[/tex3]
[tex3]2^{m} = 1024[/tex3]
[tex3]2^{m} = 2^{10}[/tex3]
[tex3]m = 10[/tex3]
Fazendo o Arranjo 2 a 2 de 10.
[tex3]A_{10,2} = 10.9 = \boxed{90}[/tex3]
Letra B.
---------------------------------------------------------------------
Problema 296
(ITA - 1995) Seja [tex3]A = \frac{(-1)^{n}}{n!} + \sen\left(\frac{n!\cdot\pi}{6}\right);\,\,n \in \mathbb{N}[/tex3] .
Qual conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A dá o próprio A?
a) [tex3](-\infty ,-2] \cup [2, +\infty )[/tex3]
b) [tex3](-\infty ,-2][/tex3]
c) [tex3][-2,2][/tex3]
d) [tex3][-2,0][/tex3]
d) [tex3][0,2)[/tex3]
O problema diz que a soma dos coeficientes é 1024. Podemos usar o teorema das linhas:
[tex3]\binom {n} {0} + \binom {n} {1} + ... + \binom {n} {n} = 2^{n}[/tex3]
[tex3]2^{m} = 1024[/tex3]
[tex3]2^{m} = 2^{10}[/tex3]
[tex3]m = 10[/tex3]
Fazendo o Arranjo 2 a 2 de 10.
[tex3]A_{10,2} = 10.9 = \boxed{90}[/tex3]
Letra B.
---------------------------------------------------------------------
Problema 296
(ITA - 1995) Seja [tex3]A = \frac{(-1)^{n}}{n!} + \sen\left(\frac{n!\cdot\pi}{6}\right);\,\,n \in \mathbb{N}[/tex3] .
Qual conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A dá o próprio A?
a) [tex3](-\infty ,-2] \cup [2, +\infty )[/tex3]
b) [tex3](-\infty ,-2][/tex3]
c) [tex3][-2,2][/tex3]
d) [tex3][-2,0][/tex3]
d) [tex3][0,2)[/tex3]
Editado pela última vez por Alexander em 16 Set 2012, 14:47, em um total de 2 vezes.
...I've seen things you people wouldn't believe. Attack ships on fire off the shoulder of Orion. I watched C-beams glitter in the dark near the Tannhauser gate. All those moments will be lost in time... like tears in rain... Time to die.
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Set 2012
20
17:07
Re: II Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 296
Facilmente podemos ver que para [tex3]n\geq 3[/tex3] teremos seno do tipo [tex3]\sen(k\pi)[/tex3] que é sempre zero, o mesmo acontece para [tex3]\frac{(-1)^{n}}{n!}[/tex3] , quanto maior o valor de [tex3]n[/tex3] menor será a fração.
Agora vamos calular os extremos,
Para [tex3]n=0[/tex3] temos,
[tex3]A(0)=1+\sen\left(\frac{\pi}{6}\right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}[/tex3]
Para [tex3]n=1[/tex3] temos,
[tex3]A(1)=-1+\sen\left(\frac{\pi}{6}\right)=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}[/tex3]
Para [tex3]n=2[/tex3] temos,
[tex3]A(2)=\frac{1}{2}+\sen\left(\frac{2\pi}{6}\right)=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Para [tex3]n=3[/tex3] temos,
[tex3]A(3)=-\frac{1}{6}+\sen\left(\frac{6\pi}{6}\right)=-\frac{1}{6}+0=-\frac{1}{6}[/tex3]
Logo, os valores de [tex3]A[/tex3] estão no seguinte intervalo,
[tex3]-\frac{1}{2}\leq A(n)\leq \frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Como queremos que a intersecção de um conjunto com A resulte no próprio A, isso implica que A deve estar contido no conjunto. Sendo assim a alternativa correta é a Letra C.
--------------------------------------------------------------
Problema 297
(AFA - 2002) Se o polinômio [tex3]P(x)=x^m-2b^nx^{m-n}+b^m[/tex3] é divisível por [tex3]x+b[/tex3] , sendo [tex3]n<m,\,n\, e\, m \in \mathbb{N}^*[/tex3] e [tex3]b\neq 0[/tex3] , então, ocorrerá necessariamente
a) [tex3]m[/tex3] par e [tex3]n[/tex3] ímpar
b) [tex3]m[/tex3] ímpar e [tex3]n[/tex3] par
c) [tex3]m[/tex3] ímpar e [tex3]n[/tex3] ímpar
d) [tex3]m[/tex3] par e [tex3]n[/tex3] par
Facilmente podemos ver que para [tex3]n\geq 3[/tex3] teremos seno do tipo [tex3]\sen(k\pi)[/tex3] que é sempre zero, o mesmo acontece para [tex3]\frac{(-1)^{n}}{n!}[/tex3] , quanto maior o valor de [tex3]n[/tex3] menor será a fração.
Agora vamos calular os extremos,
Para [tex3]n=0[/tex3] temos,
[tex3]A(0)=1+\sen\left(\frac{\pi}{6}\right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}[/tex3]
Para [tex3]n=1[/tex3] temos,
[tex3]A(1)=-1+\sen\left(\frac{\pi}{6}\right)=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}[/tex3]
Para [tex3]n=2[/tex3] temos,
[tex3]A(2)=\frac{1}{2}+\sen\left(\frac{2\pi}{6}\right)=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Para [tex3]n=3[/tex3] temos,
[tex3]A(3)=-\frac{1}{6}+\sen\left(\frac{6\pi}{6}\right)=-\frac{1}{6}+0=-\frac{1}{6}[/tex3]
Logo, os valores de [tex3]A[/tex3] estão no seguinte intervalo,
[tex3]-\frac{1}{2}\leq A(n)\leq \frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Como queremos que a intersecção de um conjunto com A resulte no próprio A, isso implica que A deve estar contido no conjunto. Sendo assim a alternativa correta é a Letra C.
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Problema 297
(AFA - 2002) Se o polinômio [tex3]P(x)=x^m-2b^nx^{m-n}+b^m[/tex3] é divisível por [tex3]x+b[/tex3] , sendo [tex3]n<m,\,n\, e\, m \in \mathbb{N}^*[/tex3] e [tex3]b\neq 0[/tex3] , então, ocorrerá necessariamente
a) [tex3]m[/tex3] par e [tex3]n[/tex3] ímpar
b) [tex3]m[/tex3] ímpar e [tex3]n[/tex3] par
c) [tex3]m[/tex3] ímpar e [tex3]n[/tex3] ímpar
d) [tex3]m[/tex3] par e [tex3]n[/tex3] par
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 20 Set 2012, 17:07, em um total de 2 vezes.
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Set 2012
21
14:09
Re: II Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 297
[tex3]P(x)=x^m-2b^nx^{m-n}+b^m[/tex3]
Do enunciado tiramos que [tex3]p(-b)=0[/tex3]
[tex3](-b)^m-2b^n(-b)^{m-n}+b^m=0[/tex3]
[tex3](-b)^m+b^m=2b^n(-b)^{m-n}[/tex3]
[tex3](-b)^m+b^m=2b^n(-1)^{m-n}b^{m-n}[/tex3]
[tex3](-b)^m+b^m=2(-1)^{m-n}b^m[/tex3]
Para a igualdade ser verdadeira devemos ter tanto [tex3]m[/tex3] quanto [tex3]n[/tex3] par. Letra D
------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 298
(ITA-2001) O conjunto de todos os valores de [tex3]m[/tex3] para os quais a função [tex3]f(x) = \frac{x^2 + (2m+3)x + (m^2+3)}{\sqrt{x^2 + (2m+1)x + (m^2 + 2)}}[/tex3] está definida e é não negativa para todo [tex3]x[/tex3] real é:
a) [tex3]\left[\frac{1}{4},\,\frac{7}{4}\right[[/tex3]
b) [tex3]\left]\frac{1}{4},\,\infty\right[[/tex3]
c) [tex3]\left]0,\,\frac{7}{4}\right[[/tex3]
d) [tex3]\left]-\infty,\,\frac{1}{4}\right][/tex3]
e) [tex3]\left]\frac{1}{4},\,\frac{7}{4}\right[[/tex3]
[tex3]P(x)=x^m-2b^nx^{m-n}+b^m[/tex3]
Do enunciado tiramos que [tex3]p(-b)=0[/tex3]
[tex3](-b)^m-2b^n(-b)^{m-n}+b^m=0[/tex3]
[tex3](-b)^m+b^m=2b^n(-b)^{m-n}[/tex3]
[tex3](-b)^m+b^m=2b^n(-1)^{m-n}b^{m-n}[/tex3]
[tex3](-b)^m+b^m=2(-1)^{m-n}b^m[/tex3]
Para a igualdade ser verdadeira devemos ter tanto [tex3]m[/tex3] quanto [tex3]n[/tex3] par. Letra D
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Problema 298
(ITA-2001) O conjunto de todos os valores de [tex3]m[/tex3] para os quais a função [tex3]f(x) = \frac{x^2 + (2m+3)x + (m^2+3)}{\sqrt{x^2 + (2m+1)x + (m^2 + 2)}}[/tex3] está definida e é não negativa para todo [tex3]x[/tex3] real é:
a) [tex3]\left[\frac{1}{4},\,\frac{7}{4}\right[[/tex3]
b) [tex3]\left]\frac{1}{4},\,\infty\right[[/tex3]
c) [tex3]\left]0,\,\frac{7}{4}\right[[/tex3]
d) [tex3]\left]-\infty,\,\frac{1}{4}\right][/tex3]
e) [tex3]\left]\frac{1}{4},\,\frac{7}{4}\right[[/tex3]
Editado pela última vez por felps em 21 Set 2012, 14:09, em um total de 4 vezes.
"É melhor lançar-se à luta em busca do triunfo,mesmo expondo-se ao insucesso,do que ficar na fila dos pobres de espírito,que nem gozam muito nem sofrem muito,por viverem nessa penumbra cinzenta de não conhecer vitória e nem derrota" F. Roosevelt
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Set 2012
21
19:14
Re: II Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do problema 298
Para que f(x) seja sempre maior que zero, duas condições devem ser atendidas:
I) [tex3]x^2 + (2m+3)x + (m^2+3)\geq 0[/tex3] , portanto [tex3]\Delta \leq 0[/tex3] ;
II) [tex3]\sqrt{x^2 + (2m+1)x + (m^2 + 2)}>0[/tex3] , portanto [tex3]\Delta <0[/tex3]
Desenvolvendo:
I) [tex3](2\,m+3)^2-4(m^2+3)\leq0\,\,\rightarrow\,\,m\leq\frac{1}{4}[/tex3]
II) [tex3](2m+1)^2-4(m^2+2)<0\,\,\rightarrow\,\,m<\frac{7}{4}[/tex3]
Pela interseção entre os valores obtidos, conclui-se que [tex3]\left\{m \in \mathbb{R} \,\,\bigg|\,\,m\leq\frac{1}{4}\right\}[/tex3] .
Alternativa D.
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Problema 299
(ITA - 2002) - Dada a função quadrática [tex3]f(x)=x^2\,\ln\left(\frac{2}{3}\right)+x\,\,\ln(6)-\left(\frac{1}{4}\right)\ln\left(\frac{3}{2}\right)[/tex3] , temos que:
a) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] não possui raízes reais.
b) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] possui duas raízes reais distintas e o gráfico de [tex3]f[/tex3] possui concavidade para cima.
c) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] possui duas raízes reais iguais e o gráfico de [tex3]f[/tex3] possui concavidade para baixo.
d) o valor máximo de [tex3]f[/tex3] é [tex3]\frac{(\ln 2)(\ln 3)}{(\ln 3)-(\ln 2)}[/tex3] .
e) o valor máximo de [tex3]f[/tex3] é [tex3]\frac{2\,\,(\ln2)(\ln3)}{(\ln3)-(\ln2)}[/tex3] .
Para que f(x) seja sempre maior que zero, duas condições devem ser atendidas:
I) [tex3]x^2 + (2m+3)x + (m^2+3)\geq 0[/tex3] , portanto [tex3]\Delta \leq 0[/tex3] ;
II) [tex3]\sqrt{x^2 + (2m+1)x + (m^2 + 2)}>0[/tex3] , portanto [tex3]\Delta <0[/tex3]
Desenvolvendo:
I) [tex3](2\,m+3)^2-4(m^2+3)\leq0\,\,\rightarrow\,\,m\leq\frac{1}{4}[/tex3]
II) [tex3](2m+1)^2-4(m^2+2)<0\,\,\rightarrow\,\,m<\frac{7}{4}[/tex3]
Pela interseção entre os valores obtidos, conclui-se que [tex3]\left\{m \in \mathbb{R} \,\,\bigg|\,\,m\leq\frac{1}{4}\right\}[/tex3] .
Alternativa D.
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Problema 299
(ITA - 2002) - Dada a função quadrática [tex3]f(x)=x^2\,\ln\left(\frac{2}{3}\right)+x\,\,\ln(6)-\left(\frac{1}{4}\right)\ln\left(\frac{3}{2}\right)[/tex3] , temos que:
a) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] não possui raízes reais.
b) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] possui duas raízes reais distintas e o gráfico de [tex3]f[/tex3] possui concavidade para cima.
c) a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] possui duas raízes reais iguais e o gráfico de [tex3]f[/tex3] possui concavidade para baixo.
d) o valor máximo de [tex3]f[/tex3] é [tex3]\frac{(\ln 2)(\ln 3)}{(\ln 3)-(\ln 2)}[/tex3] .
e) o valor máximo de [tex3]f[/tex3] é [tex3]\frac{2\,\,(\ln2)(\ln3)}{(\ln3)-(\ln2)}[/tex3] .
Editado pela última vez por jhonim em 21 Set 2012, 19:14, em um total de 2 vezes.
"Eppur si muove" - Galileo Galilei em 1633, depois de ser forçado a renegar a ideia heliocêntrica perante o tribunal da Inquisição.
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Set 2012
22
22:18
Re: II Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do problema 299
Analizando o [tex3]\Delta[/tex3] da função:
[tex3]\Delta= \ln^26+\ln\left(\frac{2}{3}\right)\cdot\ln\left(\frac{3}{2}\right)\,=[/tex3]
[tex3]\small\ln^26-(\ln3-\ln2)^2\,=\,(\ln3+\ln2)^2-(\ln^23+\ln^22)+2\ln2\cdot\ln3\,=\,4(\ln2\cdot\ln3)[/tex3]
Sua amplitude máxima:[tex3]\frac{4(\ln2\cdot\ln3)}{4(\ln3-\ln2)}=\frac{(\ln2\cdot\ln3)}{(\ln3-\ln2)}[/tex3]
Alternativa d
-------------------------------------------------------------------------
Questão 300
(Escola Naval - 2009) Ao escrevermos [tex3]\frac{x^2}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\frac{Cx+D}{a_2x^2+b_2x+c_2}[/tex3] onde [tex3]a_i,\,b_i,\,c_i\,\,(1\leq i\leq2)[/tex3] e [tex3]A,\,B,\,C\,\,e\,\,D[/tex3] são constantes reais, podemos afirmar que [tex3]A^2+C^2[/tex3] vale:
a) [tex3]\frac{3}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]
e) [tex3]0[/tex3]
Analizando o [tex3]\Delta[/tex3] da função:
[tex3]\Delta= \ln^26+\ln\left(\frac{2}{3}\right)\cdot\ln\left(\frac{3}{2}\right)\,=[/tex3]
[tex3]\small\ln^26-(\ln3-\ln2)^2\,=\,(\ln3+\ln2)^2-(\ln^23+\ln^22)+2\ln2\cdot\ln3\,=\,4(\ln2\cdot\ln3)[/tex3]
Sua amplitude máxima:[tex3]\frac{4(\ln2\cdot\ln3)}{4(\ln3-\ln2)}=\frac{(\ln2\cdot\ln3)}{(\ln3-\ln2)}[/tex3]
Alternativa d
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Questão 300
(Escola Naval - 2009) Ao escrevermos [tex3]\frac{x^2}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\frac{Cx+D}{a_2x^2+b_2x+c_2}[/tex3] onde [tex3]a_i,\,b_i,\,c_i\,\,(1\leq i\leq2)[/tex3] e [tex3]A,\,B,\,C\,\,e\,\,D[/tex3] são constantes reais, podemos afirmar que [tex3]A^2+C^2[/tex3] vale:
a) [tex3]\frac{3}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]
e) [tex3]0[/tex3]
Editado pela última vez por jrneliodias em 22 Set 2012, 22:18, em um total de 2 vezes.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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