Maratonas de Matemática

Solução do Problema 280

A área de qualquer quadrilátero pode ser calculado da seguinte forma
[tex3]A=\frac{d_1\cdot d_2\cdot \sen\theta}{2}[/tex3] , onde [tex3]\theta[/tex3] é o ângulo entre as diagonais.

Agora fica fácil de cálcular.
[tex3]S=\frac{d_1\cdot d_2\cdot \sen\frac{\pi}{6}}{2}[/tex3]
[tex3]2S=d_1\cdot d_2\cdot \frac{1}{2}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{d_1\cdot d_2=4S}[/tex3] . Letra D

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Problema 281

(AFA - 1989) Se [tex3]x = 1[/tex3] é raiz da equação [tex3]x^4 + px^3 + px^2 + px + p = 0[/tex3] , então:

a) [tex3]p = -\frac{1}{4}[/tex3]
b) [tex3]p = \frac{1}{2}[/tex3]
c) [tex3]p =0\,\, ou\,\, p = -1[/tex3]
d) [tex3]p = 1 \,\,ou\,\, p = -1[/tex3]

Mensagem não lida por **felps** » 07 Set 2012, 19:15

Solução do Problema 281

Quando um polinômio tem uma raiz igual a [tex3]1[/tex3] , a soma de seus coeficientes é igual a [tex3]0[/tex3] .

[tex3]1 + p + p + p + p = 0[/tex3]
[tex3]4p = -1[/tex3]
[tex3]p = -\frac{1}{4}[/tex3]

Letra A.

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Problema 282

(ITA-2001) Sendo dado [tex3]\ln(2\sqrt{4}\sqrt[3]{6}\sqrt[4]{8}...\sqrt[n]{2n}) = a_n[/tex3] e [tex3]\ln(\sqrt{2}\sqrt[3]{3}\sqrt[4]{4}...\sqrt[2n]{2n}) = b_n[/tex3] então,

[tex3]\frac{\ln 2}{2} - \frac{\ln 3}{3} + \frac{\ln 4}{4} - \frac{\ln 5}{5} + ... + \frac{\ln 2n}{2n}[/tex3] é igual a:

a) [tex3]a_n - 2b_n[/tex3]
b) [tex3]2^a_n - b_n[/tex3]
c) [tex3]a_n - b_n[/tex3]
d) [tex3]b_n - a_n[/tex3]
e) [tex3]a_n + b_n[/tex3]

Solução do Problema 282

Temos,
[tex3]a_n=\ln 2+ \frac{\ln 4}{2} + \frac{\ln 6}{3} + \cdots + \frac{\ln 2n}{n}[/tex3]
[tex3]b_n=\frac{\ln 2}{2}+ \frac{\ln 3}{3} + \frac{\ln 4}{4} +\frac{\ln 5}{5} +\cdots + \frac{\ln 2n}{2n}[/tex3]

Subtraindo,
[tex3]a_n-b_n=\ln2-\frac{\ln 3}{3}+\left(\frac{\ln 4}{2}-\frac{\ln 4}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{\ln 2n}{n}-\frac{\ln 2n}{2n}\right)[/tex3]

Assim temos,
[tex3]a_n-b_n=\frac{\ln 2}{2} - \frac{\ln 3}{3} + \frac{\ln 4}{4} - \frac{\ln 5}{5} + ... + \frac{\ln 2n}{2n}[/tex3] que é justamente o que desejamos. Letra C

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Problema 283

(AFA - 1989) Sabendo-se que [tex3]0 < \alpha < \beta< \frac{\pi}{2}[/tex3] , [tex3]sen \alpha = a[/tex3] e [tex3]sen \beta = b[/tex3] , então o valor da expressão [tex3]\sin (\pi +\alpha) - \cos (2\pi -\beta)[/tex3] será igual a:

a) [tex3]a+\sqrt{1-b^2}[/tex3]
b) [tex3]-a+\sqrt{1-b^2}[/tex3]
c) [tex3]a-\sqrt{1-b^2}[/tex3]
d) [tex3]-a-\sqrt{1-b^2}[/tex3]

PedroB · Mensagem não lida por **PedroB** » 07 Set 2012, 21:45

Solução do Problema 283

Fazendo a distributiva temos:
[tex3]\sen \pi + \sen \alpha - \cos 2\pi + \cos \beta[/tex3]
[tex3]0 + \sen \alpha - 1 + \cos \beta[/tex3]
[tex3]\sen \alpha + \cos \beta -1[/tex3]

Sabendo que [tex3]\cos ^{2}\beta + \sen ^{2}\beta = 1[/tex3] temos que [tex3]\sqrt{1 - b^{2}} = \cos \beta[/tex3]

Portanto, substituindo temos que a expressão vale [tex3]a + \sqrt{1 - b^{2}}[/tex3] Resposta: A

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Problema 284

(ITA-1973)Suponhamos que p e q são os catetos de um triângulo retângulo e h a altura relativa à hipotenusa do mesmo, nestas condições, podemos afirmar que a equação:
[tex3]\frac{2}{p}x^{2} - \frac{2}{h}x + \frac{1}{q}=0[/tex3] ([tex3]\mathbb{R}[/tex3] é o conjunto de numeros reais)

a) Não adimite raizes reais
b) Admite uma raiz em forma de [tex3]m\sqrt{-1}[/tex3] , onde [tex3]m\in\mathbb{R}[/tex3] m > 0
c) Admite sempre raizes reais
d) Admite uma raiz em forma de [tex3]-m\sqrt{-1}[/tex3] , onde [tex3]m\in\mathbb{R}[/tex3] m > 0
e) N.R.A

Solução do Problema 284

Vamos analisar o valor de delta da expressão
[tex3]\Delta =\frac{4}{h^2}-4\cdot \frac{2}{p\cdot q}[/tex3]
[tex3]\Delta =4\left(\frac{1}{h^2}-\frac{2}{p\cdot q}\right)[/tex3]

A área do triângulo pode ser calculado da seguinte forma,
[tex3]S=\frac{p\cdot q}{2}=\frac{h\cdot \sqrt{p^2+q^2}}{2}[/tex3]
[tex3]h^2=\frac{p^2\cdot q^2}{p^2+q^2}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{h^2}=\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}[/tex3]

Usando MA-MG (Média Aritmética - Média Geométrica)
[tex3]\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}\geq2\sqrt{\frac{1}{p^2}\cdot\frac{1}{q^2}}=\frac{2}{p\cdot q}[/tex3]

Então temos,
[tex3]\frac{1}{h^2}\geq \frac{2}{p\cdot q}[/tex3]

Assim temos que [tex3]\Delta \geq 0[/tex3] ,portanto sempre teremos raízes reais. Letra C

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Problema 285

(EN - 1984) Num círculo de raio [tex3]6\,cm[/tex3] , as cordas [tex3]AB[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] são, respectivamente, o lado do quadrado e o lado do hexágono regular inscritos no círculo. A corda [tex3]AC > AB[/tex3] mede, então, em cm:

a) [tex3]6\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]6\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt{3}(\sqrt{2} + 1)[/tex3]
d) [tex3]11[/tex3]
e) [tex3]6\sqrt{6}[/tex3]

PedroB · Mensagem não lida por **PedroB** » 08 Set 2012, 12:01

Solução do Problema 285

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PS: No ponto a o vertice do hexagono não se encontra nescessariamente com o vertice do quadrado.

Segundo a ilustração, sendo O o centro da circunferencia percebe-se que AO = CO = R, sendo R = 6cm.
Portanto podemos aplicar o teorema dos cossenos para achar a corda AC:

[tex3]AC^{2} = AO^{2} +CO^{2} - 2.AO.CO.Cos150[/tex3]
[tex3]AC^{2} = 6^{2} +6^{2} - 2.6.6.\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]AC^{2} = 3.36[/tex3]
[tex3]AC = 6.\sqrt{3}[/tex3] Resposta: A

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Problema 286

(IME-65) Dado o trapézio de bases [tex3]b = 20[/tex3] , [tex3]B = 30[/tex3] e lados [tex3]a = 12[/tex3] , [tex3]c = 10[/tex3] , dividir a área desse trapézio por uma reta paralela às bases, de modo que as áreas resultantes sejam proporcionais a [tex3]3[/tex3] e [tex3]7[/tex3] , sendo B a base da área maior. Calcular a distância [tex3]y[/tex3] da reta divisora à base menor [tex3]b[/tex3] .

Resposta

Gab: [tex3]\frac{24}{5}(\sqrt{22} - 4)[/tex3]

Solução do Problema 286

Veja a solução do problema. Link

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Problema 287

(EN - 1984)As medidas dos lados de um triângulo [tex3]ABC[/tex3] são três números inteiros e consecutivos e o ângulo maior [tex3]\hat{A}[/tex3] é o dobro do menor, [tex3]C[/tex3] . Os lados deste triângulo são

a) [tex3]2,\, 3\, e\, 4[/tex3]
b) [tex3]3,\, 4\, e\, 5[/tex3]
c) [tex3]8,\, 9\, e\, 10[/tex3]
d) [tex3]4,\, 5\, e\, 6[/tex3]
e) [tex3]5,\, 6\, e\, 7[/tex3]

PedroB · Mensagem não lida por **PedroB** » 08 Set 2012, 15:22

Resolução do problema 287

O maior lado do triangulo é oposto ao maior angulo e o menor lado oposto ao menor angulo. Portanto, sendo o menor angulo [tex3]y[/tex3] e o maior [tex3]2y[/tex3] e os lados [tex3]x, x +1, x + 2[/tex3] , utilizando o teorema dos senos teremos:
[tex3]x +2 / \sen2x = x / \sen x[/tex3]
[tex3]\sen x / \sen2x = x / x +2[/tex3]

Sendo [tex3]\sen2x = 2\cdot \sen x\cdot \cos x[/tex3] temos que:
[tex3]\sen x/ 2\cdot \sen x\cdot \cos x = x/ x +2[/tex3]
[tex3]1 / 2\cdot\cos x = x / x + 2[/tex3]
[tex3]\cos x = x + 2 / 2x[/tex3]

Agora utilizando teorema dos cossenos temos que:
[tex3]x^{2} = (x+1)^{2} + (x+2)^{2} - 2.(x+1).(x+2).(x+2)/2x[/tex3]
[tex3]x^{2} = x^{2} + 2x + 1 + x^{2} + 4x + 4 - (x+1).(x+2).(x + 2)/x[/tex3]
[tex3]x^{2} = x^{2} + 2x + 1 + x^{2}+ 4x + 4 - (x^{2} + 4x + 4 )(x +1)/x[/tex3]
[tex3]x^{2} = x^{2} + 2x + 1 + x^{2} + 4x + 4 - (x^{3} + 4x^{2} + 4x + x^{2} + 4x + 4)/x[/tex3]
[tex3]x^{3} = x.(x^{2} + 2x + 1 + x^{2} + 4x + 4) - x^{3} -4x^{2} -4x -x^{2} -4x -4[/tex3]
[tex3]x^{3} = x^{3} + 2x^{2} + x + x^{3} + 4x^{2} + 4x - x^{3} -4x^{2} -4x -x^{2} -4x -4[/tex3]
[tex3]0 = 2x^{2}+ x + 4x^{2} + 4x -4x^{2} -4x -x^{2} -4x -4[/tex3]
[tex3]0 = x^{2} -3x -4[/tex3]

Aplicando Bhaskara:
[tex3]\Delta = b^{2} - 4.a.c[/tex3]
[tex3]\Delta = 9 + 16[/tex3]
[tex3]\Delta = 25[/tex3]

[tex3]x = -b \pm \sqrt{\Delta }/2.a[/tex3]
[tex3]x = 4 \text{ ou } x = -1[/tex3]

Como tratamos de valores positivos, [tex3]x = 4[/tex3] , portanto os lados [tex3]x, x + 1, x + 2[/tex3] são respectiamente [tex3]4,5,6[/tex3] . Resposta: D

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Problema 288

(ITA-2012) Sabe-se que [tex3](x+2y, 3x-5y, 8x-2y, 11x-7y +2z)[/tex3] é uma progressão aritmética com o último termo igual a [tex3]-127[/tex3] . Então, o produto [tex3]xyz[/tex3] é igual a:

a) -60
b) -30
c) 0
d) 30
e) 60

Mensagem não lida por **felps** » 08 Set 2012, 15:42

Solução do Problema 288

Achando [tex3]r[/tex3] , sabendo que o [tex3]2^o[/tex3] menos o [tex3]1^o[/tex3] termo é igual ao [tex3]4^o[/tex3] menos o [tex3]3^o[/tex3] .

[tex3]3x - 5y - x - 2y = -127 - 8 x + 2y[/tex3]
[tex3]10x - 9y = -127[/tex3]

Achando [tex3]r[/tex3] , sabendo que o [tex3]3^o[/tex3] menos o [tex3]2^o[/tex3] termo é igual ao [tex3]2^o[/tex3] menos o [tex3]1^o[/tex3] .

[tex3]8x - 2y -3x + 5y = 3x - 5y -x - 2y[/tex3]
[tex3]3x + 10 y = 0[/tex3]
[tex3]y = -\frac{3x}{10}[/tex3]

Substituindo:

[tex3]10x - 9\left(-\frac{3x}{10}\right) = -127[/tex3]
[tex3]\frac{127x}{10} = -127[/tex3]
[tex3]x = -10[/tex3]

[tex3]y = -\frac{3(-10)}{10}[/tex3]
[tex3]y = 3[/tex3]

[tex3]11x - 7y + 2z= -127[/tex3]
[tex3]-110 - 21 + 2z = -127[/tex3]
[tex3]z = 2[/tex3]

[tex3]xyz = -60[/tex3]

Letra A.

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Problema 289

(ITA-2001) Se [tex3]a \in \mathbb{R}[/tex3] é tal que [tex3]3y^2-y+a=0[/tex3] tem raiz dupla, então a solução da equação [tex3]3^{2x+1}-3^x+a=0[/tex3]

a) [tex3]\log_26[/tex3]
b) [tex3]-\log_26[/tex3]
c) [tex3]\log_36[/tex3]
d) [tex3]-\log_36[/tex3]
e) [tex3]1-\log_3[/tex3]

Solução do Problema 289

Se a equação de 2º grau tem raiz dupla é porque elas são iguais. Seja [tex3]k[/tex3] esta raiz:

Pelas Relações de Girard:
[tex3]k+k=\frac{1}{3}\,\,\Rightarrow \,\,k=\frac{1}{6}[/tex3]

[tex3]k\cdot k=\frac{a}{3}\,\,\Rightarrow \,\,a=3k^2=\frac{1}{12}[/tex3]

[tex3]3^{2x+1}-3^x+a=0[/tex3]
[tex3]3\cdot 3^{2x}-3^x+\frac{1}{12}=0[/tex3]

[tex3]3^x=n[/tex3]

[tex3]36n^2-12n+1=0\,\,\Rightarrow \,\,n=\frac{1}{6}[/tex3] (raiz dupla)

Logo,
[tex3]3^x=\frac{1}{6}[/tex3]
[tex3]x=\log_3\,\frac{1}{6}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=-\log_3\,6}[/tex3] . Letra D

Solução Alternativa

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Problema 290

(AFA - 1990) Num triângulo retângulo, uma razão entre os catetos é [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e a razão entre a hipotenusa e o menor cateto é [tex3]\sqrt{5}[/tex3] . Se [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são os ângulos agudos desse triângulo, então [tex3]sen \alpha + sen\beta[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3\sqrt{5}}{5}[/tex3]
c) [tex3]\frac{4\sqrt{5}}{5}[/tex3]
d) [tex3]\frac{7\sqrt{5}}{5}[/tex3]
e) [tex3]\text{n.r.a}[/tex3]

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