Maratonas de Matemática ⇒ II Maratona de Matemática IME/ITA

[theblackmamba]

Solução do Problema 310

Se um número complexo é raiz dupla então seu conjugado também tem multiplicidade 2. Como há 5 raízes então [tex3]2[/tex3] é raiz simples, [tex3]i[/tex3] e [tex3]-i[/tex3] são raízes duplas.

Podemos reescrever o polinômio desta maneira:

[tex3]P(x)=(x-i)^2 \cdot (x+i)^2 \cdot (x-2)[/tex3]

Para achar a soma dos coeficientes basta fazer [tex3]x=1[/tex3] e achar o valor de [tex3]P(1)[/tex3]:

[tex3]P(1)=(1-i)^2 \cdot (1+i)^2 \cdot (1-2)[/tex3]
[tex3]P(1)=[(1-i)(1+i)]^2 \cdot (-1)[/tex3]
[tex3]P(1)=-(1^2 -i^2)^2[/tex3]
[tex3]P(1)=-(1+1)^2\,\,\Leftrightarrow \,\,\boxed{P(1)=-4}[/tex3]. Letra A

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Problema 311

(ITA - 2002) Mostre que [tex3]\left(\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}\right)^4 > C_{8}^4[/tex3] para quaisquer [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] positivos.

OBS.: [tex3]C_{n}^p[/tex3] denota a combinação de [tex3]n[/tex3] elementos tomados de [tex3]p[/tex3] a [tex3]p[/tex3].

[caju]

Solução do problema 311

Sabemos que [tex3]C_{8}^4=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2}=70[/tex3].

Como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são reais e positivos, podemos fazer a troca de variável [tex3]\frac{x}{y}=k[/tex3]:

[tex3]\left(k+2+\frac{1}{k}\right)^4 > 70[/tex3]

Agora devemos ver que, quando [tex3]k[/tex3] está crescendo, temos que [tex3]\frac 1k[/tex3] está decrescendo, e vice-versa.

Ou seja, quando [tex3]k>1[/tex3], temos que [tex3]\frac 1k<1[/tex3] e quando [tex3]k<1\rightarrow \frac 1k>1[/tex3].

Sendo assim, podemos concluir que um dos valores (ou [tex3]k[/tex3] ou [tex3]\frac 1k[/tex3]) sempre será maior do que [tex3]1[/tex3]. E o outro estará entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3], pois o enunciado diz que estamos trabalhando apenas com números positivos.

Com o raciocínio acima, podemos escrever:

[tex3]\left(k+2+\frac{1}{k}\right)>3[/tex3]

[tex3]\left(k+2+\frac{1}{k}\right)^4>3^4[/tex3]

[tex3]\left(k+2+\frac{1}{k}\right)^4>81>70[/tex3]

Ou seja, voltando às variáveis [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3]:

[tex3]\left(\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}\right)^4 > 81>70=C_8^4[/tex3]

Como queríamos demonstrar...

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Problema 312

(EN - 2002/2003) De um ponto [tex3]P[/tex3] do cais, João observa um barco AB ancorado. Para um sistema de eixos ortogonais os pontos A e B têm coordenadas respectivamente iguais a (0, 20) e (0, 40), enquanto [tex3]P[/tex3] encontra-se no semi-eixo positivo das abscissa de. Se o ângulo APB de observação é máximo, então a abscissa de [tex3]P[/tex3] é igual a:

a) [tex3]20\sqrt 2[/tex3]
b) [tex3]20\sqrt 3[/tex3]
c) [tex3]20[/tex3]
d) [tex3]15[/tex3]
e) [tex3]10[/tex3]

[PedroB]

Solução do problema 312

Desenhando um esquema no plano cartesiano podemos ver que ira se formar o triangulo APB e o triangulo BOP.

Sendo as tangentes dos angulos APB e BPO respectivamente tga e tgb e x sendo a abscissa, temos:

[tex3]\tan (a+b) = \frac{40}{x}[/tex3]

[tex3]\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a\cdot \tan b}=\frac{40}{x}[/tex3]

[tex3]\frac{\tan a + \frac{20}{x} }{ 1 - \tan a\left(\frac{20}{x}\right)} = \frac{40}{x}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{x\tan a + 20}{x} }{ \frac{x - 20\tan a}{x}} = \frac{40}{x}[/tex3]

[tex3]\frac{x \tan a + 20}{x - 20\tan a}=\frac{40}{x}[/tex3]

[tex3]x^{2} \tan a + 20x = 40x - 800\tan a[/tex3]

[tex3]\tan a(x^{2} + 800) = 20x[/tex3]

[tex3]\tan a = \frac{20x}{x^2 + 800}[/tex3]

Maximizando a função encontrada e igualando a zero para achar o
ponto de máximo:

[tex3]20\cdot(x^{2} + 800) - (20x)(2x) = 0[/tex3]

[tex3]20x^{2} + 16000 - 40x^{2} = 0[/tex3]

[tex3]20x^{2} = 16000[/tex3]

[tex3]x^{2} = 800[/tex3]

[tex3]x = 20\sqrt{2}[/tex3]

Alternativa A

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Problema 313

(ITA - 1985) Num triângulo ABC considere conhecidos os ângulos BAC e CBA e a medida d do lado AB. Nestas condições, a área S deste triângulo é dado pela relação:

[tex3]\begin{array}{ll}\text{a)}\,\,\,\,\, S = \frac{d^{2}}{2\sen (BAC + CBA)} & \text{b)}\,\,\,\,\, S = \frac{d^{2}(\sen BAC)(\sen CBA)}{2\sen (BAC + CBA)}\\\\ \text{c)}\,\,\,\,\, S = \frac{d^{2}(\sen CBA)}{2\sen (BAC + CBA)} & \text{d)}\,\,\,\,\, S = \frac{d^{2}(\sen CBA)}{2\cos (BAC + CBA)}\\\\ \text{e)}\,\,\,\,\,S = \frac{d^{2}(\sen BAC)(\sen CBA)}{2\cos (BAC + CBA)}\end{array}[/tex3]

[theblackmamba]

Solução do Problema 313

Seja:

[tex3]\angle BAC=\alpha[/tex3]
[tex3]\angle CBA=\beta[/tex3]

Por consequência, [tex3]\angle ACB=\pi-(\alpha+\beta)[/tex3]

Pela Regra dos senos:

[tex3]\frac{\overline{AB}}{\sen (\pi - (\alpha+\beta))}=\frac{\overline{BC}}{\sen \alpha}[/tex3]
[tex3]\frac{d}{\sen (\alpha+\beta)}=\frac{\overline{BC}}{\sen \alpha}\,\,\Leftrightarrow \,\,\boxed{\overline{BC}=\frac{d\cdot \sen \alpha}{\sen (\alpha+\beta)}}[/tex3]

Área do triângulo:

[tex3]A=\frac{\overline{AB}\cdot \overline{BC}\cdot \sen \beta}{2}[/tex3]

Portanto,

[tex3]\boxed{\boxed{A=\frac{d^2 \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta}{2\cdot \sen (\alpha+\beta)}}}[/tex3]. Letra B

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Problema 314

(AFA - 2004) Sendo [tex3]P(x)=x+3x^3+5x^5+7x^7+9x^9+...+999x^{999}[/tex3], o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x-1)[/tex3] é:

a) 249.500
b) 250.000
c) 250.500
d) 251.000

[Nat]

Solução do Problema 314

Os coeficientes de [tex3]P(x)[/tex3] formam uma PA de razão [tex3]2[/tex3], onde [tex3]a_1 = 1[/tex3] e [tex3]a_n= 999[/tex3].

[tex3]a_n = a_1 + (n-1)\cdot r\,\,\,\,\,\,\,\, \therefore \,\,\,\,\,\,\,\,\,999 = 1 + (n -1)\cdot 2 \,\,\,\,\,\,\,\, \therefore \,\,\,\,\,\,\,\,\, \boxed{n = 500}[/tex3]

Ao dividir [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x-1)[/tex3] .:. O resto será a soma dos coeficientes

Somando os coeficientes tem-se:
[tex3]S_n = (a_1 + a_n)\cdot \frac n2\,\,\,\,\,\,\,\, \therefore \,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{resto} = (1 + 999)\frac{500}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \therefore \,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{\text{resto}=25000}}[/tex3]

Aternativa b)

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Problema 315

(IME 2011) Seja [tex3]\text{arcsen} x + \text{arcsen} y + \text{arcsen} z = \frac{3\pi }{2}[/tex3] onde [tex3]x[/tex3], [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] são números reais pertencentes ao intervalo [tex3][-1,\,\,1][/tex3].
Determine o valor de [tex3]x^{100}+y^{100}+z^{100}-\frac{9}{x^{101} + y^{101} + z^{101}}[/tex3].

a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

[FilipeCaceres]

Solução do Problema 315

Devemos saber que [tex3]-\frac{\pi}{2}\leq \arcsen\leq \frac{\pi}{2}[/tex3], a única forma para termos [tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3] será quando os arcos assumirem seu máximo valor. Assim temosvemos ter, [tex3]\arcsen x=\arcsen y=\arcsen z=\frac{\pi}{2}[/tex3].

Logo,
[tex3]x=\sen\frac{\pi}{2}[/tex3]
[tex3]x=1[/tex3]

Desta forma temos,
[tex3]x= y=z=1[/tex3]

Portanto,
[tex3]x^{100}+y^{100}+z^{100}-\frac{9}{x^{101} + y^{101} + z^{101}}=3-\frac{9}{3}=\boxed{0}[/tex3]. Letra C

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Problema 316

(EN - 2000) considere a equação matricial [tex3]\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&-5\\1&2&-3\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}[/tex3]. Se [tex3](a,b,c)[/tex3] é a solução desta equação, podemos afirmar que [tex3](-5a-3b-11c)[/tex3] vale

a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

[theblackmamba]

Solução do Problema 316

[tex3]\begin{cases}x+y+z=0\\x+3y-5z=0\\x+2y-3z=1\end{cases}[/tex3]

Escalonando:

[tex3]\begin{cases}x+y+z=0\\0x+2y-6z=0\\0x+y-4z=1\end{cases}[/tex3]

Substituindo a segunda equação na segunda:

[tex3](3z)-4z=1\,\,\Leftrightarrow \,\,z=-1\,\,\Leftrightarrow \,\,y=-3\,\,\Leftrightarrow \,\,x=4[/tex3]

[tex3](x,y,z)=(a,b,c)[/tex3]

Logo,

[tex3]-(5a+3b+11c)=-[5\cdot 4+3\cdot (-3)+11\cdot (-1)]=\boxed{0}[/tex3]. Letra C

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Problema 317

(AFA - 2004) Se você vai comprar algo que custa cinqüenta e cinco centavos, em uma máquina automática, e dispõe de oito moedas de cinco centavos do mesmo modelo e cinco de dez centavos também do mesmo modelo, então, existem [tex3]n[/tex3] seqüências possíveis de introduzir as moedas, totalizando cinqüenta e cinco centavos. O valor de [tex3]n[/tex3] é:

a) 133
b) 127
c) 24
c) 4

[Juniorsjc]

Solução do problema 317
Podemos fazer:

[tex3]0,05x + 0,1y = 0,55[/tex3] onde x é o número de moedas de 5 centavos e y o número de moedas de 10 centavos.

Multiplcando toda a equação por 20 para ficar melhor:
[tex3]x + 2y = 11 \rightarrow x = 11 -2y[/tex3] Essa equação implica que x deve ser ímpar uma vez que x,y são naturais e diferentes de zero.

Logo [tex3]x[/tex3] pode assumir os seguintes valores: [tex3]{1,3,5,7}[/tex3]

Assim, vamos organizar nossas possibilidades:
1º Caso: [tex3]x = 1 \rightarrow y= 5[/tex3]
O número de permutações com dois elementos repetidos é dado por:

[tex3]P_m^{x_1,x_2 }= \frac{m!}{x_1!x_2!}[/tex3] onde n é o número de elementos, [tex3]x_1[/tex3] é o número de vezes que o elemento 1 se remete, e [tex3]x_2[/tex3] é o número de vezes que o elemento 2 se repete.

Assim, ainda pra primeira possibilidade, temos que [tex3]m = x + y = 1 + 5 = 6[/tex3] moedas, sendo que a moeda de 5 centavos se repetirá 1 vez e a moeda de 10 centavos 5 vezes. Jogando na fórmula:

[tex3]P_m^{x_1,x_2 }= \frac{6!}{5!1!} = 6[/tex3] maneiras diferentes para esse primeiro caso.

2º Caso: [tex3]x = 3 \rightarrow y = 4[/tex3] Repetindo o raciocinio anterior, podemos ser mais diretos:
[tex3]m = x + y = 3 + 4 = 7[/tex3] moedas, onde 3 são de 5 centavos e 4 de 10 centavos
[tex3]P_m^{x_1,x_2 }= \frac{7!}{3!4!} = 35[/tex3] maneiras diferentes para esse segundo caso.

3º Caso: [tex3]x = 5 \rightarrow y = 3[/tex3]
[tex3]m = x + y = 8[/tex3] moedas, onde 5 são de 5 centavos e 3 são de 10 centavos.
[tex3]P_m^{x_1,x_2 }= \frac{8!}{5!3!} = 56[/tex3] maneiras diferentes para esse terceiro caso.

4º Caso: [tex3]x = 7 \rightarrow y = 2[/tex3]
[tex3]m = x + y = 9[/tex3] moedas, onde 7 são de 5 centavos e 2 são de 10 centavos.
[tex3]P_m^{x_1,x_2}= \frac{9!}{7!2!}=36[/tex3] maneiras diferentes para esse quarto e último caso.

Logo o número de possibilidades diferentes com que ele pode inserir as moedas na máquina é:
n = 6 + 35 + 56 + 36 = 133 [tex3]\rightarrow[/tex3] Alternativa A

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Problema 318

(ITA - 2004) Considere a equação [tex3]x^3 + 3x^2 - 2x + d = 0[/tex3], em que [tex3]d[/tex3] é uma constante real. Para qual valor de [tex3]d[/tex3] a equação admite uma raiz dupla no intervalo [tex3]]0,1[[/tex3] ?

Resposta

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Gabarito: [tex3]d=\frac{10\sqrt{15} - 36}{9}[/tex3]

[poti]

Solução do Problema 318

Uma raiz de um polinômio será dupla quando também for raiz da derivada do polinômio em questão.

[tex3]f'(x) = 3x^2 + 6x - 2 = 0[/tex3]

[tex3]\boxed{x = - 1 \pm \frac{\sqrt{15}}{3}}[/tex3]

Como o intervalo dado é ]0,1[, servirá para o problema apenas [tex3]- 1 + \frac{\sqrt{15}}{3} \approx 0,2[/tex3]:

[tex3]\left(-1 + \frac{\sqrt{15}}{3}\right)^3 + 3\left(-1 + \frac{\sqrt{15}}{3}\right)^2 - 2\left(-1 + \frac{\sqrt{15}}{3}\right) + d = 0[/tex3]

Que após expandido e resolvido, nos dá:

[tex3]\boxed{d = \frac{10 \sqrt{15}}{9} - 4}[/tex3]

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Problema 319

(ITA-1980) O número de soluções inteiras e não negativas de [tex3]x + y + z + w = 5[/tex3] é:

a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56

[theblackmamba]

Solução do Problema 319

Podemos aplicar diretamente a fórmula obtida neste exercício: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... 22&p=52232&

Número de soluções:

[tex3]N=CR_{n}^p=C_{n+p-1}^p[/tex3]
[tex3]N=CR_{4}^5=C_8^5[/tex3]
[tex3]N=\frac{8!}{5!\cdot 3!}[/tex3]
[tex3]N=\frac{8\cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot \cancel{6}}\,\,\Leftrightarrow \,\,\boxed{N=56}[/tex3]. Letra E

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Problema 320

(AFA - 2004) Uma pirâmide regular de [tex3]6[/tex3] faces laterais tem sua base inscrita num círculo de raio [tex3]R[/tex3]. Sabendo-se que suas arestas laterais têm comprimento [tex3]L[/tex3], então o volume desta pirâmide é:

a) [tex3]R^2 \cdot \sqrt{3(L^2-R^2)}[/tex3]
b) [tex3]\frac{R^2}{2}\cdot \sqrt{L^2-R^2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{R^2}{3}\cdot \sqrt{2(L^2-R^2)}[/tex3]
d) [tex3]\frac{R^2}{2}\cdot \sqrt{3(L^2-R^2)}[/tex3]