Maratonas de Matemática

Solução do Problema 40

Pelo teorema do resto:

[tex3]P(-2)=-6[/tex3]
[tex3]-16 - 4 -2m+8 = -6[/tex3]
[tex3]\boxed{m=-3}[/tex3]

Por Briot-Ruffini:

[tex3]\begin{array}{l|ccc|r} & 4 & 0 & -7 & 3 \\\hline -\frac{3}{2} & 4 & -6 & 2 & 0 \end{array}[/tex3]

[tex3]P(x) = (x + \frac{3}{2})(4x^2 -6x + 2)[/tex3]
[tex3]P(x) = (2x+3)(2x^2 - 3x + 1)[/tex3]

Logo,
[tex3]\boxed{Q(x)=2x^2 - 3x +1}[/tex3] Letra E

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Problema 41

(IME - 2009) Seja ABC um triângulo equilátero de lado [tex3]2\,\text{cm}[/tex3] e r uma reta situada no seu plano, distante [tex3]3\,\text{cm}[/tex3] de seu baricentro. Calcule a área da superfície gerada pela rotação deste triângulo em torno da reta [tex3]r[/tex3] .

a) [tex3]8\pi\,\,\text{cm}^3[/tex3]
b) [tex3]9\pi\,\,\text{cm}^3[/tex3]
c) [tex3]12\pi\,\,\text{cm}^3[/tex3]
d) [tex3]16\pi\,\,\text{cm}^3[/tex3]
e) [tex3]36\pi \,\,\text{cm}^3[/tex3]

Solução do Problema 41

Uma forma fácil para resolver a questão é usando Teorema Pappus-Guldin
[tex3]A=\theta \cdot d\cdot l[/tex3]

Onde:
[tex3]\theta :[/tex3] é o ângulo de rotação.
[tex3]d:[/tex3] é a distância do centro de massa do corpo até o eixo de rotação.
[tex3]l:[/tex3] é o comprimento da curva.

Assim temos,
[tex3]A=2\pi \cdot 3\cdot 6[/tex3] , neste caso [tex3]l[/tex3] é o valor do perímetro.
[tex3]\boxed{A=36\pi \,cm^3}[/tex3] . Letra E

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Problema 42

(EN -1987) A diferença entre as áreas das esferas circunscrita e inscrita em um cubo é [tex3]a[/tex3] . A área do cubo vale:
[tex3]a)\frac{a}{\pi}[/tex3]
[tex3]b)\frac{3a}{\pi}[/tex3]
[tex3]c)\frac{6a}{\pi}[/tex3]
[tex3]d)a\pi[/tex3]
[tex3]e)6a[/tex3]

Solução do Problema 42

Seja R e R' os raios das esferas e x a resta do cubo.

Esfera circunscrita ao cubo:

: esf.png (8.41 KiB) Exibido 4097 vezes

Na figura, [tex3]BE[/tex3] a aresta do cubo e [tex3]BD[/tex3] é a diagonal do cubo e [tex3]ED[/tex3] é o diâmetro da esfera.
Por Pitágoras:
[tex3](2R)^2 = (x \sqrt2)^2 + a^2[/tex3]
[tex3]R = \frac{x \sqrt3}{2}[/tex3]

Com a esfera inscrita no cubo, seu raio equivale a metade da aresta do cubo:
[tex3]R' = \frac{x}{2}[/tex3]

Pelo enunciado:
[tex3]4\pi \left(\frac{3x^2}{4}\right) - 4 \pi \left(\frac{x^2}{4}\right) = a[/tex3]
[tex3]3x^2 \pi - x^2 \pi=a[/tex3]
[tex3]x^2 = \frac{a}{2 \pi}[/tex3]

Mas a área do cubo é dada por [tex3]6x^2[/tex3]

Logo,
[tex3]\boxed{A_c = \frac{3a}{\pi}}[/tex3] Letra B

OBS.: Área de uma esfera = [tex3]4\pi R^2[/tex3]

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Problema 43

(EN - 1998) Sendo M o menor inteiro que pertence ao domínio da função: [tex3]f(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{16}- \left(\frac{4}{3}\right)^{1-x}}}[/tex3] . Podemos afirmar que [tex3]\log_M \,2 \sqrt{2 \sqrt{2}}[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{7}{4}[/tex3]
b) [tex3]\frac{7}{8}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3}{8}[/tex3]
e) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

Solução do Problema 43

Veja que:
[tex3]\frac{9}{16}-\frac{4}{3}^{1-x}>0[/tex3]
[tex3]\frac{9}{16}>\frac{4}{3}^{1-x}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{3}{4}\right)^2>\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x[/tex3]
[tex3]\left(\frac{3}{4}\right)^3>\left(\frac{3}{4}\right)^x[/tex3]
[tex3]x>3[/tex3]

Logo o menor inteiro vale [tex3]\boxed{x=4}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]S=\log_4 2\sqrt{2 \sqrt{2}}=\frac{1}{2}\log_2 2\cdot2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{2}\log_2 2^{\frac{7}{4}}[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{4}\log_2 2[/tex3]
[tex3]S=\frac{7}{8}[/tex3] . Letra B

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Problema 44

(EN - 1987) [tex3]\cotg\left(\arcotg 2+\frac{5\pi}{6}\right)=[/tex3]

a) [tex3]-8-5\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{-8-5\sqrt{3}}{11}[/tex3]
c) [tex3]8-5\sqrt{3}[/tex3]
d) [tex3]2-\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
e) [tex3]2-\sqrt{3}[/tex3]

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Solução do Problema 44

Usando a fórmula da cotangente da soma:

[tex3]\cotg\left(\arctg 2+\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1-\tg(\arctg 2)\cdot\tg \frac{5\pi}{6}}{\tg(\arctg 2)+\tg \frac{5\pi}{6}}\, (I)[/tex3]

agora vamos obter os valores que apareceram:

[tex3]\tg \frac{5\pi}{6}=-\tg \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

para o outro façamos [tex3]\arctg 2=x\, \Rightarrow\, \cotg x=2\, \Rightarrow\, \tg x=\frac{1}{2}\, \therefore\, x=\arctg \frac{1}{2}[/tex3]

substituindo os valores obtidos em [tex3](I):[/tex3]

[tex3]\frac{1-\frac{1}{2}\cdot\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{6+\sqrt{3}}{3-2\sqrt3}=-8-5 \sqrt 3[/tex3]

com isso Letra [tex3]\boxed{a}[/tex3]

........................................................................................................................................................

Problema 45

(ITA-2010) Mostre que se [tex3]f:\, \Re\, \rightarrow\, \Re[/tex3] é ímpar, então [tex3]f^{-1}:\, \Re\, \rightarrow\, \Re[/tex3] também é ímpar.

Solução do Problema 45

Função bijetora e ímpar:

[tex3]f(x)=y \,\,\in \,\mathbb{R}[/tex3] [tex3]\Rightarrow f^{-1} (y) = x[/tex3] e [tex3]f(-x) = -y[/tex3]

De [tex3]f(-x)=-y[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]f^{-1}(-y) = -x[/tex3]

[tex3]f^{-1}(-y) = -x = -f^{-1}(y)[/tex3] . Logo, [tex3]f^{-1}[/tex3] é ímpar.

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Problema 46

(ITA - 2007) Determine o conjunto A formado por todos os números complexos [tex3]z[/tex3] tais que:

[tex3]\frac{\overline{z}}{z-2i} + \frac{2z}{\overline{z}+2i} = 3[/tex3] e [tex3]0\,<|z-2i|\,\leq 1[/tex3]

Solução do Problema 46

Fazendo,
[tex3]w=\frac{\bar{z}}{z-2i}[/tex3]
[tex3]\bar{w}= \frac{z}{\overline{z}+2i}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]w+2\bar{w}=3[/tex3]

Fazendo [tex3]w=a+bi[/tex3]
[tex3]a+bi+2(a-bi)=3[/tex3]
[tex3]3a=3[/tex3]
[tex3]a=1 \Rightarrow w=1[/tex3]

Logo,
[tex3]1=\frac{\bar{z}}{z-2i}[/tex3]
[tex3]z-\bar{z}=2i[/tex3]

Fazendo [tex3]z=a+bi[/tex3]
[tex3]a+bi-(a-bi)=2i[/tex3]
[tex3]2bi=2i[/tex3]
[tex3]b=1 \Rightarrow \boxed{z=i}[/tex3]

Do enunciado:
[tex3]0<|z-2i|\leq 1[/tex3]
[tex3]0<|i-2i|\leq 1[/tex3]
[tex3]0<1\leq 1[/tex3] , que é verdade.

Portanto o conjunto de soluções é [tex3]\boxed{A=i}[/tex3]

Solução Alternativa

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Problema 47

(EN - 1984)Se o polinômio [tex3]P(x)[/tex3] dividido por [tex3]x-2[/tex3] deixa resto [tex3]6[/tex3] , dividido por [tex3]x + 1[/tex3] deixa resto [tex3]2[/tex3] e dividido por [tex3]x-1[/tex3] deixa resto [tex3]4[/tex3] , então o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x-2) (x + 1) (x-1)[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{x^3}{3}+x+\frac{8}{3}[/tex3]
b) [tex3]x^2-x-8[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]48[/tex3]
e) [tex3]\frac{x^3}{3}+x+1[/tex3]

Mensagem não lidapor **Natan** » Qua 29 Fev, 2012 01:23 · Mensagem não lida por **Natan** » Qua 29 Fev, 2012 01:23

Solução do problema 47

Do Teorema do resto vem que: [tex3]\begin{cases}P(2)=6\, (I) \\ P(-1)=2\, (II) \\ P(1)=4\, (III)\end{cases}[/tex3]

Ao ser dividido pelo produto [tex3](x-2) (x + 1) (x-1) \, P(x)[/tex3] produzirá um quociente que chamaremos [tex3]q(x)[/tex3] e um resto que será no máximo do grau 2, já que o divisor é do grau 3. Com isso [tex3]R(x)=ax^2+bx+c[/tex3] e podemos escrever:

[tex3]P(x)=(x-2) (x + 1) (x-1) q(x)+ax^2+bx+c[/tex3]

Aplicando sucessivamente [tex3](I)\, (II)\, e\, (III)[/tex3] chagamos ao sistema:

[tex3]\begin{cases} 4a+2b+c=6\, (1) \\ a-b+c=2\, (2) \\ a+b+c=4\, (3)\end{cases}[/tex3]

fazendo [tex3](3)-(2)[/tex3] temos [tex3]b=1[/tex3] que substituindo em [tex3](1)\, e\, (2)[/tex3] produz:

[tex3]\begin{cases} a+c=3 \\ 4a+c=4\end{cases}[/tex3] cuja solução é [tex3]a=\frac{1}{3}\, \text{ e }\, c=\frac{8}{3}[/tex3]

Com isso [tex3]R(x)=\frac{1}{3}x^2+x+\frac{8}{3}[/tex3] e não há alternativa correspondente!!

.....................................................................................................................................................
Problema 48

(ITA-2008) Um triángulo acutangulo de vértices A, B e C está inscrito numa circunferencia de raio [tex3]\frac{5 \sqrt2}{3}.[/tex3] Sabe-se que [tex3]\overline{AB}[/tex3] mede [tex3]2 \sqrt5[/tex3] e [tex3]\overline{BC}[/tex3] mede [tex3]2 \sqrt2[/tex3] . Determine a área do triângulo ABC.

Solução do Problema 48

: tri.png (12.35 KiB) Exibido 4234 vezes

Os pontos G e H são o pontos médios lados lados AC e BC:

Pelo enunciado: [tex3]OC = \frac{5\sqrt2}{3}[/tex3]

No triângulo OCG:
[tex3]\cos\theta = \frac{\sqrt5}{\frac{5\sqrt2}{3}} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}[/tex3] . Logo, [tex3]\sen\theta=\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex3]

No triângulo OCH:
[tex3]\cos\alpha = \frac{\sqrt2}{\frac{5 \sqrt2}{3}} = \frac{3}{5}[/tex3] . Logo, [tex3]\sen\alpha = \frac{4}{5}[/tex3] .

Pela relação fundamental:
[tex3]\sen(\alpha + \theta) = \sen\alpha \cdot \cos \theta + \sen\theta \cdot \cos \alpha[/tex3]

[tex3]\sen(\alpha + \theta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} + \frac{\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{3}{5}[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha + \theta) = \frac{12 \sqrt{10} + 3 \sqrt{10}}{50} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}[/tex3]

Área do triângulo ABC:
[tex3]A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sen(\alpha + \theta)[/tex3]
[tex3]A = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3 \sqrt{10}}{10}[/tex3]
[tex3]\boxed{A = 6\,\text{u.a}}[/tex3]

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Problema 49

(ITA - 2006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão [tex3]S=\sum_{k=0}^{101} \log_8\,(4^k\sqrt{2}):[/tex3]

[tex3](I).\,\,[/tex3] [tex3]S[/tex3] é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita.
[tex3](II).\,\,[/tex3] [tex3]S[/tex3] é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] .
[tex3](III).\,\,[/tex3] [tex3]S=3451[/tex3]
[tex3](IV).\,\,[/tex3] [tex3]S\leq 3434 + \log_8 \,\sqrt{2}[/tex3]

Então pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas:

a) I e III
b) II e III
c) II e IV
d) II
e) III

Solução do Problema 49

Temos,
[tex3]S=\sum_{k=0}^{101} \log_8\,(4^k\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]S=\sum_{k=0}^{101} \log_{2^3}\,(2^{2k}\cdot 2^{\frac{1}{2}})[/tex3]
[tex3]S=\sum_{k=0}^{101} \frac{1}{3}\log_2\,2^{\frac{4k+1}{2}}[/tex3]
[tex3]S=\sum_{k=0}^{101} \frac{4k+1}{6}[/tex3]

[tex3](I)[/tex3] Esta alternativa é está correta, veja que:
S é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, ou seja, podemos pegar qualquer PG que tenha a mesma soma. Provavelmente a banca queria dizer que a soma representa uma PG.

[tex3](II)[/tex3] Correto.
[tex3]S=\sum_{k=0}^{101} \frac{4k+1}{6}[/tex3] representa uma para com [tex3]a_1=\frac{1}{6}[/tex3] e razão [tex3]r=\frac{2}{3}[/tex3]

[tex3](III)[/tex3] Correto.
[tex3]S=\sum_{k=0}^{101} \frac{4k+1}{6}=\frac{(\frac{1}{6}+\frac{405}{3})102}{2}[/tex3]
[tex3]S=3451[/tex3]

[tex3](IV)[/tex3] Falso.
[tex3]3451>S\leq 3434 + \log_8 \,\sqrt{2}=3434+\frac{1}{6}[/tex3]

Desta forma, a melhor resposta é a Letra B, mas a letra A também esta correta.

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Problema 50

(EN - 03/04) Considere o trapézio [tex3]MNPQ[/tex3] de Bases [tex3]MN=m[/tex3] e [tex3]PQ=4[/tex3] , com [tex3]m>4[/tex3] e altura igual a [tex3]6[/tex3] , conforme figura abaixo.

: EN 03_04.png (4.12 KiB) Exibido 4217 vezes

Sendo [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] os pontos médios dos lados [tex3]MP[/tex3] e [tex3]NQ[/tex3] , respectivamente, e sabendo que [tex3]AB=10[/tex3] , então a área do trapézio [tex3]MCDN[/tex3] vale:

a) [tex3]28[/tex3]
b) [tex3]33[/tex3]
c) [tex3]37[/tex3]
d) [tex3]42[/tex3]
e) [tex3]45[/tex3]

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