Maratonas de MatemáticaII Maratona de Matemática IME/ITA

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felps
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Re: II Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por felps »

Solução do Problema 320

Podemos observar que a base se trata de uma hexágono regular de lado [tex3]R[/tex3] .

Sua área é dada por [tex3]S_b = \frac{6R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} u.a.[/tex3] .

As arestas laterais, também conhecidas como apótemas, tem a seguinte relação com a altura:

[tex3]L^2 = h^2 + R^2[/tex3]
[tex3]h = \sqrt{L^2 - R^2}[/tex3] , da fórmula das pirâmides:

[tex3]V = \frac{S_b \times h}{3}[/tex3]
[tex3]V = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{L^2 - R^2} \times \frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]V = \frac{R^2\sqrt{3(L^2 - R^2)}}{2}[/tex3]
[tex3]V = \frac{R^2}{2}\cdot \sqrt{3(L^2-R^2)} \, u.v.[/tex3]

Letra D.

-----------------------------------------------------------------------------------------

Problema 321

(ITA) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é:

a) [tex3]12![/tex3]
b) [tex3](8!)(5!)[/tex3]
c) [tex3]12!-(8!)(5!)[/tex3]
d) [tex3]12! - 8![/tex3]
e) [tex3]12! - (7!)(5!)[/tex3]

Última edição: felps (Seg 22 Out, 2012 19:10). Total de 2 vezes.


"É melhor lançar-se à luta em busca do triunfo,mesmo expondo-se ao insucesso,do que ficar na fila dos pobres de espírito,que nem gozam muito nem sofrem muito,por viverem nessa penumbra cinzenta de não conhecer vitória e nem derrota" F. Roosevelt

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Alexander
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Re: II Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Alexander »

Solução do Problema 321

Permutações totais: [tex3]12![/tex3]

Situação indesejada: [tex3]5!\cdot 8![/tex3]

Contaremos as vogais como um só elemento, mas que pode fazer permutações internas([tex3]5![/tex3] ) e depois fazemos as permutações entre as consoantes e o elemento([tex3]8![/tex3] ).

R: [tex3]12! - 5!\cdot 8![/tex3]

Letra C

------------------------------------------------------------------------------------

Problema 322:

(ITA - 1979) Se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são ângulos complementares e [tex3]0 < a < \frac{\pi}{2}[/tex3] , [tex3]0 < b< \frac{\pi}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{\sen a + \sen b}{\sen a - \sen b} = \sqrt{3}[/tex3] , então [tex3]\sen \left(\frac{3a}{5}\right) + \cos(3b)[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
e) [tex3]1[/tex3]

Última edição: Alexander (Ter 23 Out, 2012 13:06). Total de 3 vezes.


...I've seen things you people wouldn't believe. Attack ships on fire off the shoulder of Orion. I watched C-beams glitter in the dark near the Tannhauser gate. All those moments will be lost in time... like tears in rain... Time to die.

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Juniorsjc
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Re: II Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Juniorsjc »

Solução do Problema 322:

Para resolver essa questão deveriamos lembrar que:

[tex3]\sen a + \sen b = 2\sen \left(\frac{a+b}{2}\right)\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\sen a - \sen b = 2\sen \left(\frac{a-b}{2}\right)\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{\sen a + \sen b}{\sen a - \sen b} = \frac{2\sen \left(\frac{a+b}{2}\right)\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)}{2\sen \left(\frac{a-b}{2}\right)\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)} = \sqrt{3}[/tex3]

Percebemos então que:

[tex3]\frac{\tg \(\frac{a+b}{2}\)}{\tg \(\frac{a-b}{2}\)} = \sqrt{3}[/tex3]

Ora, perceba que

[tex3]\frac {\tg \left(\frac{\pi}{4}\right)}{\tg {\left(\frac{\pi}{6}\right)}} = \sqrt{3}[/tex3]

O que nos fornece as seguintes relações:

[tex3]\frac{a+b}{2} = \frac{\pi}{4}[/tex3] e

[tex3]\frac{a-b}{2} = \frac{\pi}{6}[/tex3]

Perceba que ainda temos mais uma relação dada do enunciado:

[tex3]a + b = \frac{\pi}{2}[/tex3]

Resolvendo o sistema acima encontraremos facilmente que

[tex3]a = \frac{5\pi}{12}\ ; \ b = \frac{\pi}{12}[/tex3]

Jogando em [tex3]\sen \left(\frac{3a}{5}\right) + \cos (3b) = \sen \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}[/tex3]

Então a alternativa correta é a C.

--------------------------------------------------------------------------------

Problema 323

(ITA-2003) Considere a seguinte situação baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes [tex3]v_A[/tex3] e [tex3]v_T[/tex3] , com [tex3]0 < v_T < v_A[/tex3] . Como a tartaruga é mais lenta, é-lhe dada uma vantagem inicial, de modo a começar a corrida no instante [tex3]t = 0[/tex3] a uma distância [tex3]d_1 > 0[/tex3] na frente de Aquiles. Calcule os tempos [tex3]t_1 , t_2 , t_3 , . . .[/tex3] que Aquiles precisa para percorrer as distâncias [tex3]d_1 , d_2 , d_3, . . .[/tex3] , respectivamente, sendo que, para todo [tex3]n \geq 2[/tex3] , [tex3]d_n[/tex3] denota a distância entre a tartaruga e Aquiles no instante [tex3]\sum_{k=1}^{n-1}t_k[/tex3] da corrida. Verifique que os termos [tex3]t_k , \ k = 1, 2, 3, . . .[/tex3] , formam uma progressão geométrica infinita, determine sua soma e dê o significado desta soma.
Resposta

PG infinita de primeiro termo [tex3]\frac{d_1}{v_A}[/tex3] , razão [tex3]\frac{v_A}{v_T}[/tex3] e soma [tex3]\frac{d_1}{v_A-v_T}[/tex3] , que é o tempo necessário para Aquiles alcançar a tartaruga.
Última edição: Juniorsjc (Qui 25 Out, 2012 14:53). Total de 8 vezes.


"Ainda que eu falasse a língua dos homens e falasse a língua dos anjos, sem amor eu nada seria."

LPavaNNN
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Re: II Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por LPavaNNN »

Solução problema 323

[tex3]Vr=Va-Vt\\T=\frac{d1}{Va-Vt}[/tex3]

esse será o tempo necessário para a tartaruga ser alcançada.

os tempos, são determinados como tempo necessário para aquiles alcançar a posição que a tartaruga estava no instante anterior.

O primeiro instante então, é o instante que aquiles chega à posição que a tartaruga estava em [tex3]\begin{cases}t=0\\t1=\frac{d1}{Va}\end{cases}[/tex3]

acredito que a resposta dada esteja errada, pois a razão tem que ser menor que 1, ja que o tempo para ocorrer o que eu disse , vai sempre diminuindo.

[tex3]V=\frac{d}{t}[/tex3]

isso significa que a velocidade é inversamente proporcional ao tempo.
A velocidade de Aquiles é [tex3]X[/tex3] vezes maior, tal que : [tex3]X=\frac{Va}{Vt}[/tex3]

Como eu disse, a velocidade é inversamente proporcional ao tempo, então, a razão da PG , é inversamente proporcional á quantidade de vezes que a velocidade de Áquiles é maior : [tex3]q=\frac{Vt}{Va}[/tex3]


jogando na fórmula de Pg infinita temos .

[tex3]\frac{a1}{1-q}=\frac{d1}{Va-Vt}\\ \frac{d1}{Va\left(1-\frac{Vt}{Va}\right)}[/tex3] = [tex3]\frac{d1}{Va-Vt}[/tex3]

[tex3]Va-Vt=Va-Vt[/tex3]

sentença verdadeira, portanto, os tempos formam uma P.g infinita com soma = [tex3]\frac{d1}{Va+Vt}[/tex3]

------------------------------------------------------------

Problema 324

(ITA-2002)Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] dois números complexos não-nulos, tais [tex3]a^2+b^2=0[/tex3] . Se [tex3]z,w\in \mathbb{C}[/tex3] satisfazem a
[tex3]\begin{cases}\vec{z}w+z\vec{w}=6a\\\vec{z}w-z\vec{w}=8b\end{cases}[/tex3]

Determine o valor de determine o valor de [tex3]|a|[/tex3] de forma que [tex3]|zw|=1[/tex3]
Última edição: LPavaNNN (Dom 04 Nov, 2012 03:24). Total de 3 vezes.


Lucas Pavan

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Juniorsjc
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Re: II Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Juniorsjc »

Solução do problema 324

[tex3]\begin{cases}\vec{z}w+z\vec{w}=6a\ (1)\\\vec{z}w-z\vec{w}=8b\ (2)\end{cases}[/tex3]

Somando as duas equações membro a membro ficamos:
[tex3]2\vec{z}w = 6a + 8b \ (3)[/tex3]

Multiplicando [tex3](2)[/tex3] por -1 e somando com [tex3](1)[/tex3] , ficamos:
[tex3]2z\vec{w} = 6a - 8b \ (4)[/tex3]

Multiplicando 3 e 4 membro a membro:

[tex3]2\vec{z}w\cdot2z\vec{w} = (6a + 8b)(6a - 8b) \\ \\ 4\vec{z}zw\vec{w} = 36a^2 - 64b^2[/tex3]

Sabemos que [tex3]\vec{z}z = |z|[/tex3] então:

[tex3]4\vec{z}zw\vec{w} = 36a^2 - 64b^2 \ \rightarrow\ 4|z||w| = 36a^2 - 64b^2 \ \rightarrow 4|zw| = 36a^2 - 64b^2[/tex3]

Do enunciado, temos [tex3]|zw| = 1[/tex3] e [tex3]a^2 + b^2 = 0 \rightarrow b^2 = -a^2[/tex3]
Substituindo:

[tex3]4 = 36a^2 + 64a^2 \ \rightarrow \ 4 = 100a^2 \ \rightarrow a^2 = \frac{4}{100} \ \rightarrow a = \pm \frac{2}{10} = \pm \frac{1}{5}[/tex3]

Então

[tex3]\boxed{\boxed{ |a| = \frac{1}{5} }}[/tex3]

------------------------------------------------------------------------

Problema 325

(ITA - 2007) Considere: um retângulo cujos lados medem [tex3]B[/tex3] e [tex3]H[/tex3] , um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, [tex3]B[/tex3] e [tex3]H[/tex3] , e o círculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do círculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então [tex3]\frac{B}{H}[/tex3] é uma raiz do polinômio

a) [tex3]\pi^3x^3 + \pi ^2x^2 + \pi x - 2 = 0[/tex3]
b) [tex3]\pi^2x^3 + \pi ^3x^2 + x +1 = 0[/tex3]
c) [tex3]\pi^3x^3 - \pi ^2x^2 + \pi x +2 = 0[/tex3]
d) [tex3]\pi x^3 - \pi ^2x^2 + 2\pi x - 1 = 0[/tex3]
e) [tex3]x^3 -2 \pi ^2x^2 + \pi x - 1 = 0[/tex3]
Resposta

Alternativa D
Última edição: Juniorsjc (Dom 04 Nov, 2012 10:36). Total de 2 vezes.


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LPavaNNN
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Re: II Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por LPavaNNN »

Resolução do problema 325

[tex3]S=pr[/tex3]

onde [tex3]S[/tex3] é área do triângulo, [tex3]p[/tex3] é semi-perímetro do triângulo e [tex3]r[/tex3] é raio do círculo.

[tex3]L=[/tex3] lado do triângulo do qual não temos informação. Por ser isósceles, existem 2 lados [tex3]L[/tex3] .

[tex3]L^2=H^2+\frac{B^2}{4}[/tex3]

[tex3]L=\sqrt{\frac{4H^2+B^2}{4}}[/tex3]

[tex3]s=p\cdot r\rightarrow \frac{BH}{2}=\frac{B+2\sqrt{\frac{4H^2+B^2}4}}2\cdot r\rightarrow \frac{BH}{2}=\frac{B+\sqrt{{4H^2+B^2}}}2\cdot r[/tex3]

[tex3]r=\frac{BH}{B+\sqrt{4H^2+B^2}}[/tex3]

As áreas estão em PG : [tex3]A1=BH,A2=\frac{BH}{2},A3=\frac{BH}{4}[/tex3]

Sendo assim temos:

[tex3]\pi r^2=\frac{BH}{4}\rightarrow \pi\cdot \left(\frac{BH}{B+\sqrt{4H^2+B^2}}\right)^2=\frac{BH}{4}[/tex3]

[tex3]4\pi\cdot BH=(B+\sqrt{4H^2+B^2})^2[/tex3]

[tex3]4\pi\cdot BH=B^2+2B\sqrt{4H^2+B^2}+4H^2+B^2[/tex3]

[tex3]4\pi\cdot BH=2B^2+4H^2+2B\sqrt{4H^2+B^2}[/tex3]

[tex3]2\pi\cdot BH=B^2+2H^2+B\sqrt{4H^2+B^2}[/tex3]

O interesse da questão é [tex3]\frac{B}{H}[/tex3]

Portanto vamos dividir por BH agora:

[tex3]2\pi=\frac{B}{H}+\frac{2H}{B}+\sqrt{4+\frac{B^2}{H^2}}[/tex3]

[tex3]2\pi=x+\frac{2}{x}+\sqrt{x^2+4}[/tex3]

[tex3]\sqrt{x^2+4}=2\pi-x-\frac{2}{x}[/tex3]

[tex3]\pi\cdot x^3-\pi^2x^2+2\pi x-1=0[/tex3]

Resposta D.

------------------------------------------------------------------------------------

Problema 326

(ITA-2006) Determine para quais valores de [tex3]x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2}\right)[/tex3] , vale a desigualdade: [tex3]\log_{(\cos x)}(4\cdot\sen^2x-1)-\log_{(\cos x)}(4-\sec^2x)>2[/tex3]
Resposta

Gabarito:[tex3]\left(-\frac{\pi}{4},-\frac{\pi}{6}\right)U\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right)[/tex3]
Última edição: LPavaNNN (Ter 06 Nov, 2012 05:53). Total de 4 vezes.


Lucas Pavan

Auto Excluído (ID:276)
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Re: II Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:276) »

Solução do Problema 326

Da definição de logaritmo :

[tex3]\frac{4\cdot\sen ^2x-1}{4-\sec^2x} > 0 \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} 4\cdot\sen ^2x - 1 > 0 \\ 4-\sec^2x > 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 4\cdot\sen ^2x - 1 < 0 \\ 4-\sec^2x < 0 \end{cases} \end{cases}[/tex3]

Donde tiramos que [tex3]x \in \left( -\frac{\pi}{2}\, ;\, -\frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{\pi}{6} \,;\, \frac{\pi}{2}\right)[/tex3]

Além disso, para [tex3]x \in \left( -\frac{\pi}{2} ; -\frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{4\cdot\sen ^2x-1}{4-\sec^2x} < \cos^2x \Rightarrow \sen x < |\cos x| \Rightarrow x \in \left(-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}\right)[/tex3] , pois , [tex3]\cos^ax > \cos^b x \Leftrightarrow a < b,\,\, \forall\, a,\,b \in \mathbb{R^+}[/tex3]

Logo, [tex3]x \in \left(-\frac{\pi}{4} ; -\frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{4}\right)[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:276) (Dom 23 Dez, 2012 12:49). Total de 4 vezes.



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caju
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Re: II Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por caju »

Muito obrigado a todos pela participação.

Temos agora um material belo para os que pretendem estudar para estes vestibulares! Aproveitem

Em março/2015 iremos abrir as novas maratonas deste ano. Aguardem!

Espero que tenha sido útil para os estudos.

Grande abraço,
Prof. Caju



"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

Movido de IME / ITA para Maratonas de Matemática em Seg 16 Jan, 2017 20:09 por caju

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