Maratonas de Matemática

Mensagem não lidapor **poti** » Dom 25 Set, 2011 12:39 · Mensagem não lida por **poti** » Dom 25 Set, 2011 12:39

Solução do Problema 90

: CIRC.png (5.61 KiB) Exibido 3209 vezes

Pelo enunciado:

[tex3]\frac{1}{3}(x + y + z) = x + z[/tex3] (I)

Pela potência de ponto:

[tex3]x(x + y) = 24[/tex3]

[tex3]x^2 + xy = 24[/tex3]

[tex3]\boxed{y = \frac{24 - x^2}{x}}[/tex3] (II)

Substituindo (II) em (I):

[tex3]\cancel{2x^2} + 48 \cancel{- 2x^2} + \cancel{3xz} = 3x^2 + \cancel{3xz}[/tex3]

[tex3]x^2 = \frac{48}{3}[/tex3]

[tex3]x^2 = 16[/tex3]

[tex3]\boxed{x = 4}[/tex3] (III)

Fazendo (III) em (II):

[tex3]y = \frac{24 - 16}{4}[/tex3]

[tex3]\boxed{y = 2}[/tex3]

Substituindo esses valores em (I), vemos que [tex3]z = 0[/tex3] , então a secante só corta uma vez.

[tex3]\boxed{x + y + z = 6}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------

Problema 91

(IME-97) Considere uma elipse e uma hipérbole centradas na origem, O, de um sistema cartesiano, com eixo focal coincidente com o eixo OX. Os focos da elipse são vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são vértices da elipse. Dados os eixos da elipse como [tex3]10cm[/tex3] e [tex3]\frac{20}{3}cm[/tex3] , determine as equações das parábolas, que passam pelas interseções da elipse e da hipérbole e são tangentes ao eixo OY na origem.

Solução do Problema 91

: IME-97.png (15.11 KiB) Exibido 3194 vezes

Equação Elipse:
[tex3]a=5[/tex3]
[tex3]b=\frac{10}{3}[/tex3]

[tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3]
[tex3]25=\frac{100}{9}+c^2[/tex3]
[tex3]c=\frac{2\sqrt{5}}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{x^2}{25}+\frac{9y^2}{100}=1[/tex3] (i)

Equação Hipérbole:
[tex3]c=5[/tex3]
[tex3]a=\frac{2\sqrt{5}}{3}[/tex3]

[tex3]c^2=a^2+b^2[/tex3]
[tex3]25=\frac{25\cdot 5}{9}+b^2[/tex3]
[tex3]b=\frac{10}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{9x^2}{125}-\frac{9y^2}{100}[/tex3] (ii)

Somando (i) e (ii)
[tex3]\frac{x^2}{25}+\frac{9x^2}{125}=2[/tex3]
[tex3]x=\pm\frac{5\sqrt{35}}{7}[/tex3]

Substituindo em (i)
[tex3]y=\pm\frac{10\sqrt{14}}{21}[/tex3]

Assim temos os seguintes pontos,
[tex3]A\left(-\frac{5\sqrt{35}}{7},-\frac{10\sqrt{14}}{21}\right)[/tex3]
[tex3]B\left(\frac{5\sqrt{35}}{7},\frac{10\sqrt{14}}{21}\right)[/tex3]

Sabemos que a parábola será dada da seguinte forma,
[tex3]y^2=2px[/tex3]

Temos que A,B pertentc à parábola. Substituindo os valores do ponto B,temos:

[tex3]\left(\frac{10\sqrt{14}}{21}\right)^2=2p\frac{5\sqrt{35}}{7}[/tex3]
[tex3]p=\frac{20}{9\sqrt{35}}[/tex3]

Portanto, a equação desejada é:

[tex3]\boxed{y^2=\pm\frac{40}{9\sqrt{35}}x}[/tex3]

--------------------------------------------------

Problema 92

(IME-98/99) Determine as raízes de [tex3]z^2+2iz+2-4i=0[/tex3] e localize-as no plano complexo,sendo [tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3] .

Mensagem não lidapor **poti** » Dom 25 Set, 2011 20:32 · Mensagem não lida por **poti** » Dom 25 Set, 2011 20:32

Solução do Problema 92

[tex3]z_{1,2} = \frac{-2i \pm \sqrt{(2i)^2 - 4(2 - 4i)}}{2} = -i \pm \sqrt{-3 + 4i}[/tex3]

Só que:

[tex3]\sqrt{-3 + 4i} = \sqrt{(1+2i)^2} = 1 + 2i[/tex3]

Sendo assim:

[tex3]z_{1} = -i + 1 + 2i = \boxed{1 + i}[/tex3]
[tex3]z_{2} = -i - 1 - 2i = \boxed{-1 - 3i}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------

Problema 93

(IME-87) Calcule o lado [tex3]c[/tex3] de um triângulo [tex3]ABC[/tex3] , em função de sua área [tex3]S[/tex3] , do ângulo [tex3]C[/tex3] e de [tex3]k = a + b - c[/tex3] .

Solução do Problema 93

: IME 87.png (7.46 KiB) Exibido 3118 vezes

A área é dado por,
[tex3]S=\frac{ab\sen C}{2}\Rightarrow ab=\frac{2S}{\sen C}[/tex3]

Pelo lei dos cosenos temos,
[tex3]c^2=b^2+a^2-2ab\cos C\Rightarrow a^2+b^2=c^2+2ab\cos C[/tex3]

Do enunciado temos,
[tex3]k+c=a+b[/tex3]

Elevando ao quadrado temos,
[tex3]k^2+2kc+c^2=a^2+2ab+b^2[/tex3]

Fazendo as substituições,
[tex3]k^2+2kc+\cancel{c^2}=\cancel{c^2}+2ab\cos C+2ab[/tex3]
[tex3]k^2+2kc=\frac{4S}{\sen C}(1+\cos C)[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{c=\frac{2S(1+\cos C)}{k\sen C}-\frac{k}{2}}[/tex3]

-------------------------------------------------------------------

Problema 94

(IME - 66) DEtermine a bissetriz do ângulo maior de um triângulo cujo perímetro é 38m e cujos lados são proporcionais a 4,6 e 9.

Resposta

Gabarito:[tex3]\frac{2\sqrt{114}}{5}[/tex3]

Mensagem não lidapor **poti** » Seg 26 Set, 2011 01:16 · Mensagem não lida por **poti** » Seg 26 Set, 2011 01:16

Solução do Problema 94

: TRI.png (4.18 KiB) Exibido 3119 vezes

Teorema da Bissetriz Interna:

[tex3]\frac{8}{18 - m} = \frac{12}{m}[/tex3]

[tex3]8m = 216 - 12m[/tex3]

[tex3]20m = 216[/tex3]

[tex3]\boxed{m = \frac{54}{5}}[/tex3]

[tex3]\boxed{18 - m = \frac{36}{5}}[/tex3]

Relação de Stewart:

[tex3]18B^2 + 18m(18 - m) = 144(18 - m) + 64m[/tex3]

Substituindo:

[tex3]18B^2 + 18 . \frac{54}{5} . \frac{36}{5} = 144 . \frac{36}{5} + 64 . \frac{54}{5}[/tex3]

[tex3]\boxed{B = \frac{2\sqrt{114}}{5}}[/tex3]

----------------------------------------------

Problema 95

(IME-87) Considere a sequência de Fibonacci. Seja [tex3]a_n[/tex3] seu n-ésimo termo. Mostre que:

[tex3]a_n < \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n[/tex3] , [tex3]\forall \ n \geq 2[/tex3] .

Solução do Problema 95

Vai um pif adaptado:

Tese: Se [tex3]a_k < \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k[/tex3] e [tex3]a_{k-1}<\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}[/tex3] então [tex3]a_{k+1}<\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k+1}[/tex3] .
Teste:
[tex3]a_2 = 1 <\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2\;\;\surd[/tex3]

[tex3]a_3 = 2 < \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3\;\;\surd[/tex3]

Hipótese: Suponha que, de fato, [tex3]a_k < \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k[/tex3] e [tex3]a_{k-1}<\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}[/tex3] . Então. pela lei de formação da sequência, temos:

[tex3]a_{k+1} = a_{k} + a_{k-1} \;< \;\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k +\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}[/tex3]

[tex3]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}\cdot\left(1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}\cdot\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}\cdot\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}[/tex3]

[tex3]\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k+1}[/tex3]

Concluindo a demonstração.

--------------------------------------------------------------------------------

Problema 96

(ITA 2002) Quantos anagramas com 4 letras distinats podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b e c?

Resposta

[tex3]1512[/tex3]

Mensagem não lidapor **poti** » Seg 26 Set, 2011 18:56 · Mensagem não lida por **poti** » Seg 26 Set, 2011 18:56

Solução da Problema 96

Caso 1) Escolhendo 2 em 3 [a,b,c]: [tex3]C_2^3 = 3[/tex3]

Caso 2) Escolhendo as outras 2 (e formando as 4) dentre as 7 letras restantes: [tex3]C_2^7 = 21[/tex3]

Caso 3) Permutando agora todos os casos: [tex3]P_4 = 24[/tex3]

Os casos não são exclusivos, então multiplicamos.

[tex3]3 \cdot 21 \cdot 24 = \boxed{1512}[/tex3]

---------------------------------------------------------------

Problema 97

(ITA-73) O coeficiente de [tex3]a^{n-1-p} \cdot b^p[/tex3] no produto de [tex3]a^k + \begin{pmatrix}
k\\
1
\end{pmatrix} a^{k-1} b + ... + \begin{pmatrix}
k\\
p
\end{pmatrix} a^{k-p} b^p + ... + b^k[/tex3] por [tex3](a+b)[/tex3] , se [tex3]k=n[/tex3] , vale:

a) [tex3]\begin{pmatrix}
n\\
p
\end{pmatrix}[/tex3]

b) [tex3]\begin{pmatrix}
n+1\\
p
\end{pmatrix}[/tex3]

c) [tex3]\begin{pmatrix}
n-1\\
p
\end{pmatrix}[/tex3]

d) [tex3]\begin{pmatrix}
n+1\\
p+1
\end{pmatrix}[/tex3]

e) nda

Solução do problema 97

Temos,
[tex3]a^k + \begin{pmatrix} k\\ 1 \end{pmatrix} a^{k-1} b + ... + \begin{pmatrix} k\\ p \end{pmatrix} a^{k-p} b^p + ... + b^k=(a+b)^k[/tex3]

Multiplicando por [tex3](a+b)[/tex3] temos,
[tex3](a+b)^k\cdot(a+b)=(a+b)^{k+1}[/tex3]

Para [tex3]k=n[/tex3] temos
[tex3](a+b)^{n+1}=\sum_{p=0}^{n+1}\underbrace{\left(\begin{array}{2}n+1 \\ p \\ \end{array}\right)}_{valor desejado}a^{n+1-p}\cdot b^p[/tex3]

(Letra B)

--------------------------------------------------------------------

Problema 98

(ITA- 74) A condição para que [tex3]\binom{n}{k}[/tex3] seja o dobro de [tex3]\binom{n}{k-1}[/tex3] é que:

A) [tex3]n+1[/tex3] seja múltiplo de [tex3]3[/tex3] .

B) [tex3]n[/tex3] seja divisível por [tex3]3[/tex3] .

C) [tex3]n-1[/tex3] seja par.

D) [tex3]n=2k[/tex3]

E) N.R.A

Mensagem não lidapor **poti** » Ter 27 Set, 2011 12:41 · Mensagem não lida por **poti** » Ter 27 Set, 2011 12:41

Solução do Problema 98:

Pela relação de Fermat:

[tex3]\binom{n}{k} = \frac{n + 1 - k}{k} \binom{n}{k-1}[/tex3]

[tex3]\frac{n + 1 - k}{k} = 2[/tex3]

[tex3]n + 1 - k = 2k[/tex3]

[tex3]\boxed{n + 1 = 3k}[/tex3]

Letra A

--------------------------------------------------------------

Problema 99

(ITA- 73) A respeito da equação, podemos dizer:
[tex3]3x^2-4x+\sqrt{3x^2-4x-6}=18[/tex3]

a) [tex3]\frac{2\pm \sqrt{10}}{2}[/tex3] são raízes
b) A única raiz real é [tex3]x=3[/tex3]
c) A única raiz real é [tex3]2+\sqrt{10}[/tex3]
d) Tem duas raízes reais e imaginárias
e) n.d.a

Mensagem não lidapor **poti** » Sáb 01 Out, 2011 00:16 · Mensagem não lida por **poti** » Sáb 01 Out, 2011 00:16

Solução do Problema 99

Condição: [tex3]3x^2 - 4x - 6 > 0[/tex3] .

Fazendo [tex3]3x^2 - 4x = t[/tex3] :

[tex3]\sqrt{t - 6} = 18 - t[/tex3]

Elevando ao quadrado:

[tex3]t - 6 = 324 - 36t + t^2[/tex3]

[tex3]t^2 - 37t + 330 = 0[/tex3]

Resolvendo por Bhaskara:

[tex3]t = 15[/tex3] , [tex3]\cancel{t = 22}[/tex3] (Raiz estranha ao elevar a equação ao quadrado)

Voltando na equação original:

[tex3]3x^2 - 4x - 15 = 0[/tex3]

Resolvendo: [tex3]S = \left\{ -\frac{5}{3}, \, 3 \right\}[/tex3]

Substituindo as duas na condição inicial, vemos que ambas são válidas. Portanto:

Letra E

----------------------------------------------------

Problema 100

(IME-90) Mostre que
[tex3]\frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + ... + \cos nx = \frac{\sen \frac{(2n + 1)x}{2}}{2 \sen \frac{x}{2}}[/tex3]

Maratonas de Matemática ⇒ I Maratona de Matemática IME/ITA

Re: Maratona IME/ITA

Re: Maratona IME/ITA

Re: Maratona IME/ITA

Re: Maratona IME/ITA

Re: Maratona IME/ITA

Re: Maratona IME/ITA

Re: Maratona IME/ITA

Re: Maratona IME/ITA

Re: Maratona IME/ITA

Re: Maratona IME/ITA

Maratonas de Matemática ⇒ I Maratona de Matemática IME/ITA

Entrar • Registrar