Maratonas de Matemática

Solução do problema 40

Como se deseja o módulo,então basta fazer o seguinte:
[tex3]|z|=\left|\frac{1}{1+i\operatorname{cotg}(x)}\right|=\frac{1}{\left|1+i\operatorname{cotg}(x)\right|}=\frac{1}{\sqrt{1^2+\operatorname{cotg}^2(x)}}=[/tex3]
[tex3]=\frac{1}{|\operatorname{cossec}(x)|}=\boxed{|\sen(x)|}[/tex3] . Letra E

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Problema 41

(ITA - 1971) Se f é uma função real de variável real dada por [tex3]f(x) =x^2[/tex3] , então [tex3]f(x^2 + y^2)[/tex3] é igual a:

a) [tex3]f(f(x)) + f(y) + 2f(x)f(y)[/tex3] para todo x e y.
b) [tex3]f(x^2) + 2f(f(x)) + f(x)f(y)[/tex3] para todo x e y.
c) [tex3]f(x^2) + f(y^2) + f(x)f(y)[/tex3] para todo x e y.
d) [tex3]f(f(x)) + f(f(y)) + 2f(x)f(y)[/tex3] para todo x e y.
e) [tex3]f(f(x)) + 2f(y^2) + 2f(x)f(y)[/tex3] para todo x e y.

Mensagem não lidapor **Natan** » Dom 21 Ago, 2011 22:02 · Mensagem não lida por **Natan** » Dom 21 Ago, 2011 22:02

Solução do problema 41

Calculando:

[tex3]f(x^2+y^2)=(x^2+y^2)^2=(x^2)^2+2x^2y^2+(y^2)^2=[/tex3]
[tex3]=f(f(x))+2f(x)f(y)+f(f(y))[/tex3] Letra E.

.................................................................................................................

Problema 42

(ITA-2007) Sejam [tex3]x,\, y[/tex3] dois números reais para os quais [tex3]e^x,\, e^y[/tex3] e o quociente

[tex3]\frac{e^x-2\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}e^y}[/tex3]

são todos números racionais. A soma [tex3]x+y[/tex3] vale?

[tex3]a)\, 0 \\ b)\, 1 \\ c)\, 2\log_53 \\ d)\, \log_52 \\ e)\, 3\log_e2[/tex3]

Mensagem não lidapor **poti** » Dom 21 Ago, 2011 22:52 · Mensagem não lida por **poti** » Dom 21 Ago, 2011 22:52

Solução do Problema 42

Precisamos anular o [tex3]\sqrt{5}[/tex3] para termos um número racional. Como [tex3]e^x \in \mathbb{Q}[/tex3] , ele será da forma [tex3]e^{\ln x'}[/tex3] . Fazendo [tex3]x' = 2[/tex3] ([tex3]x = \ln 2[/tex3] ) para termos [tex3]\sqrt{5}[/tex3] em evidência:

[tex3]\frac{2(1 - \sqrt{5})}{4 - \sqrt{5}e^y}[/tex3]

Para anular [tex3](1 - \sqrt{5})[/tex3] e termos um numero racional, precisamos de outro desse na parte do divisor. Isso só acontece quando [tex3]e^y = 4[/tex3] .

[tex3]\frac{2 \cancel{(1 - \sqrt{5})}}{4 \cancel{(1 - \sqrt{5})}}[/tex3]

Então: [tex3]y = \ln4[/tex3] .

Somando: [tex3]\ln2 + \ln4 = \ln2 + \ln2^2 = \ln2 + 2\ln2 = \boxed{3\ln2}[/tex3]

Obs: Não sei fazer algebricamente, fui por tentativa; não sei se seria aceito na prova.

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Problema 43

(ITA - 1967) [tex3]\sum_{k=0}^{10} 2^k . \begin{pmatrix} 10\\ k \end{pmatrix}[/tex3] é igual a:

a) [tex3]2^{10}[/tex3]
b) [tex3]2^{10} - 1[/tex3]
c) [tex3]3^{10} - 1[/tex3]
d) [tex3]3^{10} + 1[/tex3]
e) [tex3]3^{10}[/tex3]

Mensagem não lidapor **Natan** » Dom 21 Ago, 2011 23:46 · Mensagem não lida por **Natan** » Dom 21 Ago, 2011 23:46

Solução do problema 43

Aqui basta lembrar do termo geral do binômio de Newton:

[tex3](x+a)^n=\sum_{k=0}^n { n \choose k} a^k\cdot x^{n-k}[/tex3]

e assim podemos escrever:

[tex3]\sum_{k=0}^{10} 2^k\cdot 1^{10-k} \cdot { 10 \choose k}=(1+2)^n=3^n[/tex3] . Letra E

..............................................................................................................

Problema 44

(ITA-2007) Considere [tex3]Q(z)[/tex3] um polinômio do quinto grau, definido sobre o corpo dos números complexos, cujo coeficiente de [tex3]z^5[/tex3] é igual a 1. Sendo [tex3]z^3+z^2+z+1[/tex3] um fator de [tex3]Q(z)[/tex3] e [tex3]Q(0)=2,\, Q(1)=8,[/tex3] então podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das raízes de [tex3]Q(z)[/tex3] vale:

[tex3]a)\, 9 \\ b)\, 7 \\ c)\, 5 \\ d)\, 3 \\ e)\, 1[/tex3]

Solução do problema 44

[tex3]Q(z)[/tex3] é do quinto grau e [tex3]z^3+z^2+z+1[/tex3] é uma fator,logo:

[tex3]Q(z)=(z^2+az+b)(z^3+z^2+z+1)[/tex3]

De [tex3]Q(0)=2[/tex3] vem [tex3]b=2[/tex3]

De [tex3]Q(1)=8[/tex3] vem [tex3]a=-1[/tex3]

Assim temos,
[tex3]Q(z)=(z^2-z+2)(z^3+z^2+z+1)[/tex3]

Logo,
[tex3]z^2-z+2=0\Longrightarrow z=\frac{1\pm \sqrt{7}}{2}[/tex3] , [tex3]|z|=\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]z^3+z^2+z+1=0\Longrightarrow z=\pm i \,e\, z=1[/tex3]

Portanto a soma dos quadrados dos módulos vale [tex3]2+2+1+1+1=\boxed{7}[/tex3] .Letra B

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Problema 45

(ITA - 1968)Sejam [tex3]a_1, a_2, ... , a_n[/tex3] números reais. A expressão [tex3](a_1 + a_2 + ... + a_n)^2[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\sum_{i=1}^n a_i^2+4\sum_{j=1}^n a_j[/tex3]
b) [tex3]\sum_{i=1}^n a_i^2+\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1} a_ia_j\right)[/tex3]
c) [tex3]\sum_{i=1}^n a_i^2+\binom{n}{2}\sum_{j=1}^n a_j[/tex3]
d) [tex3]\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1} a_ia_j\right)[/tex3]
e) N.R.A

Mensagem não lidapor **poti** » Seg 22 Ago, 2011 01:07 · Mensagem não lida por **poti** » Seg 22 Ago, 2011 01:07

Solução do Problema 45

[tex3](a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 = (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)[/tex3]

Distribuindo:

[tex3]a_1^2 + a_1\cdot a_2 + a_1\cdot a_3 + \ldots + a_1\cdot a_n[/tex3]

[tex3]a_2\cdot a_1 + a_2^2 + a_2\cdot a_3 + \ldots + a_2\cdot a_n[/tex3]

[tex3]a_3\cdot a_1 + a_3\cdot a_2 + a_3^2 + \ldots + a_3\cdot a_n[/tex3]

[tex3]a_n\cdot a_1 + a_n\cdot a_2 + a_n\cdot a_3 + \ldots + a_n^2[/tex3]

Para cada multiplicação fixamos [tex3]i[/tex3] de tal forma que [tex3]j[/tex3] varia num laço indo até [tex3]n[/tex3] . Quando chegamos finalmente em [tex3]j=n[/tex3] , somamos [tex3]1[/tex3] a [tex3]i[/tex3] e o processo com o [tex3]j[/tex3] ocorre novamente. Isso acontece até [tex3]i=n[/tex3] .

Com [tex3]i[/tex3] fixado, variamos [tex3]j[/tex3] por:

[tex3]\sum_{j=1}^n a_i\cdot a_j[/tex3]

E para a variação do [tex3]i[/tex3] sem interferência no [tex3]j[/tex3] , fazemos o somatório do somatório:

[tex3]\boxed{\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_i\cdot a_j\right)}[/tex3]

Letra E

Obs: Esse processo de incremento sobre incremento é conhecido como comando 'for' aninhado nas linguaguens de programação.

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Problema 46

(IME - 1964) Um observador situado a [tex3]h[/tex3] metros acima do nível do mar vê a linha do horizonte segundo um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] com a horizontal. Calcular o raio da Terra em função de [tex3]h[/tex3] e [tex3]\alpha.[/tex3]

Agash · Mensagem não lida por **Agash** » Seg 22 Ago, 2011 14:04

Solução do Problema 46

Considerando [tex3]\alpha[/tex3] o ângulo entre o olhar "reto" e a linha do horizonte:

No triângulo retângulo, temos:

[tex3](R+h) \cos(\alpha)=R \rightarrow R=\frac {h\cos(\alpha)}{1-\cos(\alpha)}[/tex3]

Obs: caso fosse o complementar considerado o ângulo de visão teriamos ao invés de cos , sen....
Tem alguma definição para essas notações de qual angulo o enunciado quer?... Sempre me confundo! Ex: é sempre o menor?!..

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Problema 47

(IME 1971/1972) Demonstrar que um triangulo [tex3]ABC[/tex3] , qual os angulos [tex3]\hat{B}[/tex3] e [tex3]\hat{C}[/tex3] verificam a relação

[tex3]\frac{\sen^2\hat{B}}{\sen^2\hat{C}} = \frac{\tan\hat{B}}{\tan\hat{C}}[/tex3]

é retângulo ou isósceles.

Mensagem não lidapor **poti** » Seg 22 Ago, 2011 23:51 · Mensagem não lida por **poti** » Seg 22 Ago, 2011 23:51

Solução do Problema 47

[tex3]\frac{\cancel{\text{sen}B}\cdot\text{sen}B}{\cancel{\text{sen}C}\cdot\text{sen}C} = \frac{\frac{\cancel{\text{sen}B}}{\cos B}}{\frac{\cancel{\text{sen}C}}{\cos C}}[/tex3]

[tex3]\frac{senB}{senC} = \frac{cosC}{cosB}[/tex3]

[tex3]\sen B\cdot \cos B = \sen C\cdot \cos C[/tex3]

[tex3]2\sen B\cdot\cos B = 2\sen C\cdot\cos C[/tex3]

[tex3]\boxed{\sen(2B) = \sen(2C)}[/tex3]

[tex3]\boxed{B = C}[/tex3]

Se [tex3]A = \frac{\pi}{2}[/tex3] , o triângulo é retângulo isósceles. ([tex3]B = C = \frac{\pi}{4}[/tex3] )

Se [tex3]A \neq \frac{\pi}{2}[/tex3] , o triângulo é isósceles.

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Problema 48

(IME - 1969) Uma cônica tem por equação [tex3]9y^2 - 18y + 25x^2 + 50x - 191 = 0[/tex3] . Identifique-a e calcule sua excentricidade, se for o caso.

a) Uma hipérbole de excentricidade 0,7.
b) Uma elipse com focos no eixo dos yy.
c) Uma hipérbole equilátera
d) Uma elipse de excentricidade 0,8
e) Uma parábola de diretriz x = -1
f) Nenhuma das curvas acima

Solução do Problema 48

Completando quadrado temos,
[tex3](5x+5)^2+(3x-3)^2-225=0[/tex3]

[tex3]25(x+1)^2+9(x-1)^2=225[/tex3]

[tex3]\frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(x-1)^2}{25}=1[/tex3] que é uma elipse com centro em (-1,1)

Como [tex3]b>a[/tex3] temos [tex3]b^2=a^2+c^2[/tex3]

Também temos que,
[tex3]e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}[/tex3]

[tex3]e=\frac{\sqrt{25-9}}{5}=\frac{4}{5}[/tex3]

[tex3]\boxed{e=0,8}[/tex3] . Letra D

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Problema 49

(IME - 1966) O volume de uma cunha esférica é igual ao volume do cubo inscrito na mesma esfera. Calcular o ângulo da cunha.

Mensagem não lidapor **poti** » Ter 23 Ago, 2011 23:42 · Mensagem não lida por **poti** » Ter 23 Ago, 2011 23:42

Solução do Problema 49

[tex3]2 \pi \ \rad - \frac{4 \pi r^3}{3}[/tex3]
[tex3]\alpha \ \rad - V_{Cunha}[/tex3]

[tex3]\boxed{V_{Cunha} = \frac{2r^3 \alpha}{3}}[/tex3] (I)

[tex3]\boxed{V_{Cubo} = a^3}[/tex3] (II)

[tex3](2r)^2 = a^2 + (a \sqrt{2})^2[/tex3]

[tex3]4r^2 = 3a^2[/tex3]

[tex3]\boxed{a = \frac{2}{\sqrt{3}}r}[/tex3]

Igualando (I) e (II):

[tex3]\frac{2 \cancel{r^3} \alpha}{3} = \frac{8}{3 \sqrt{3}} \cancel{r^3}[/tex3]

[tex3]\frac{2}{3} \alpha = \frac{8}{3 \sqrt{3}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\alpha = \frac{4}{\sqrt{3}} \ \rad}[/tex3]

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Problema 50

(IME - 1967/68) Calcular o raio das esferas circunscrita e inscrita a uma pirâmide regular que tem por altura h e por base um quadrado de lado a.

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