Maratonas de Matemática

Solução do Problema 120

Como [tex3]y[/tex3] é real devemos ter:

[tex3]p^2-2ph-h^2\geq 0[/tex3]

[tex3]p=\frac{2h\pm\sqrt{4h^2+4.h^2}}{2.1}=\frac{2h\pm 2h\sqrt{2}}{2}\stackrel{p>0}=h(1+\sqrt{2})[/tex3]

Portanto:

[tex3]\frac{p}{h}\geq 1+\sqrt{2}[/tex3]

------------------------------------------------------------------------

Problema 121

(IME-1949/1950) Resolver a equação

[tex3]\begin{vmatrix}
1&1 &1 \\
a& b &c \\
a^2 &b^2 &c^2+x
\end{vmatrix}=0[/tex3]

Mensagem não lida por **Natan** » 02 Nov 2011, 01:18

Solução do Problema 121:

Desenvolvendo o determinante:

[tex3]b(c^2+x)-b^2c-a(c^2+x)+a^2c+ab^2-a^2b=0[/tex3]

[tex3](c^2+x)(b-a)+a^2(c-b)+b^2(a-c)=0[/tex3]

[tex3]x=\frac{a^2(b-c)+b^2(c-a)}{b-a}-c^2[/tex3]

[tex3]x=\frac{b(a-c)(a+c-b)}{b-a}[/tex3]

..............................................................................................

Problema 122:

(ITA) O Sistema:

[tex3]\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}[/tex3]

com [tex3](c_1,\, c_2) \neq (0,\, 0),\, a_1c_1+a_2c_2=b_1c_1+b_2c_2=0,[/tex3] é:

[tex3]a)[/tex3] determinado.
[tex3]b)[/tex3] determinado somente quando [tex3]c_1 \neq 0\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\, c_2 \neq 0.[/tex3]
[tex3]c)[/tex3] determinado somente quando [tex3]c_1 \neq 0\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\, c_2=0\,\,\,\,\,\,\text{ou}\,\,\,\,\,\, c_1=0\,\,\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\,\,\, c_2 \neq 0.[/tex3]
[tex3]d)[/tex3] impossível.
[tex3]e)[/tex3] indeterminado.

03 Nov 2011, 10:32

Solução do Problema 122

Temos,
[tex3]\begin{cases}a_1c_1+a_2c_2=b_1c_1+b_2c_2=0\\ a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}[/tex3]

Para encontrarmos a primeira, basta multiplicar a segunda por [tex3]c_1[/tex3] e a terceira por [tex3]c_2[/tex3] e somarmos, sendo assim temos,
[tex3](a_1c_1+a_2c_2)x+(b_1c_1+b_2c_2)y=c_1^2+c_2^2[/tex3]

Logo,
[tex3]c_1^2+c_2^2=0[/tex3]

De onde tiramos que [tex3]c_1=c_2=0[/tex3] , mas como o enunciado diz que [tex3](c_1,c_2)\neq (0,0)[/tex3] encontramos a Letra D.

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Problema 123

(IME -1944/45)Dados os lados de um triângulo plano a = 5m, b = 6m e c = 9 m, calcular:

(i) As tangentes dos ângulos.

Mensagem não lida por **Natan** » 08 Nov 2011, 19:25

Solução do problema 123

Nomeando por [tex3]\alpha,\, \beta\, e\, \gamma[/tex3] os ângulos internos temos pela lei dos cossenos:

[tex3]36=25+81-2\cdot 5\cdot 9\cos \alpha\, \Rightarrow\, \cos \alpha=\frac{7}{9}\, \therefore\, \sen \alpha = \frac{4 \sqrt{2}}{9} \\ 81=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cos \beta\, \Rightarrow\, \cos \beta=-\frac{1}{3}\, \therefore\, \sen \beta =\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ 25=36+81-2\cdot 6\cdot 9 \cos \gamma\, \Rightarrow\, \cos \gamma =\frac{23}{27}\, \therefore\, \sen \gamma =\frac{10 \sqrt{2}}{27}[/tex3]

assim obtemos facilmente as tangentes:

[tex3]\boxed{\tg \alpha =\frac{4 \sqrt{2}}{7}}\, \boxed{\tg \beta =-2 \sqrt{2}}\, \boxed{\tg \gamma =\frac{10 \sqrt{2}}{23}}[/tex3]

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Problema 124

(ITA) Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são [tex3]A=(1,\, 1),\, B=(1,\, 7)\, e\, C=(5,\, 4)[/tex3] no plano xOy.

08 Nov 2011, 22:59

Oi Natan,
Vou pedir para você cumprir com a 4º regra.
4) Todas questão deverão ser do IME ou do ITA, com o respectivo ano.

Solução do Problema 124

: ITA.png (9.41 KiB) Exibido 6093 vezes

Por semelhança de triângulo temos,
[tex3]\frac{CF}{CD}=\frac{FH}{DA}[/tex3]
[tex3]\frac{2}{4}=\frac{r}{3}[/tex3]
[tex3]r=\frac{3}{2}[/tex3]

Assim temos que o centro da circunferência é [tex3]C\left(\frac{5}{2},4\right)[/tex3] , logo a equação é
[tex3]\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-(y-4)^2=\frac{9}{4}[/tex3]

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Problema 125

(ITA-2009) Sabendo que [tex3]\tan^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}[/tex3] para algum [tex3]x\in \left[0,\,\,\frac{\pi}{2}\right][/tex3] . Determine [tex3]\sen(x)[/tex3] .

09 Nov 2011, 22:13

Solução do problema 125

[tex3]\tg \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] OBS.: [tex3]\frac{\pi}{6} \leq x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{2 \pi}{3}[/tex3]

Desenvolvendo:

[tex3]\frac{\tg x + \tg \frac{\pi}{6}}{1 - \tg \frac{\pi}{6}\cdot\tg x}= \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{\tg x + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\tg x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow[/tex3]

[tex3]2\tg x + \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{2} - \tg x \frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow[/tex3]

[tex3]6\tg x + 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{2} - \tg x \sqrt{6}\Rightarrow \tg x(6 + \sqrt{6}) = 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\tg x = \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{6+ \sqrt{6}}\Rightarrow \tg x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + 1}[/tex3]

Podemos formar então um triângulo retângulo de hipotenusa = [tex3]2 \sqrt{3}[/tex3] e catetos = [tex3]\sqrt{3} - \sqrt{2}[/tex3] e [tex3]\sqrt{6} + 1[/tex3] .
Portanto:
[tex3]\sen x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\boxed {\sen x = \frac{3 - \sqrt{6}}{6}}[/tex3]
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Problema 126
(ITA - 2004)O termo independente de x no desenvolvimento do binômio:

[tex3]\left (\sqrt{\frac{3\sqrt[3]{x}}{5x}} - \sqrt[3]{\frac{5x}{3 \sqrt{x}}}\right)^{12}[/tex3] é:

Mensagem não lida por **poti** » 12 Nov 2011, 00:05

Solução do Problema 126

[tex3]\left(\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- \frac{1}{3}} - \left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot x ^{\frac{1}{6}}\right)^{12}[/tex3]

[tex3]T = \begin{pmatrix}
12\\
k
\end{pmatrix} \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}}\right)^{12 - k} \cdot (-1)^k \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot x ^{\frac{1}{6}}\right)^k[/tex3]

[tex3]T = \begin{pmatrix} 12\\ k\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{12 - k}{2}} \cdot x^{\frac{12 - k}{3}} \cdot (-1)^k \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{k}{3}} \cdot x^{\frac{k}{6}}[/tex3]

[tex3]T = \begin{pmatrix}12\\ k\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{36 - 5k}{6}} \cdot x^{\frac{k - 8}{2}} \cdot (-1)^k[/tex3]

[tex3]k - 8 = 0[/tex3]

[tex3]\boxed{k = 8}[/tex3]

[tex3]\begin{pmatrix} 12\\ 8\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{2}{3}} = \boxed{165 \sqrt[3]{75}}[/tex3]

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Problema 127:

(ITA-2002) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B.

Então, [tex3][(A+B)^t]^2[/tex3] é igual a

a) [tex3](A+B)^2[/tex3]
b) [tex3]2(A^t \cdot B^t)[/tex3]
c) [tex3]2(A^t + B^t)[/tex3]
d) [tex3]A^t + B^t[/tex3]
e) [tex3]A^t B^t[/tex3]

12 Nov 2011, 11:37

Solução do Problema 127

Temos:
[tex3][(A + B)^t]^2= [(A + B)^2]^t[/tex3]

Desenvolvendo:

[tex3](A + B)^2]^t = [A.\underbrace{A}_{BA} + AB + BA + \underbrace{B}_{AB}.B]^t= [ABA + AB + BA + BAB]^t = [A(\underbrace{BA}_B + B) + B(A + \underbrace{AB}_A)]^t = [A.(B + B) + B.(A + A)]^t=[A.2B + B.2A]^t[/tex3] = [tex3][2(\underbrace{AB}_A + \underbrace{BA}_B)]^t= 2.(A + B)^t = 2.(A^t + B^t)[/tex3] (C)
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Problema 128

(IME - 2009) Seja [tex3]\log 5 = m[/tex3] , [tex3]\log 2 = p[/tex3] e [tex3]N = 125\cdot\sqrt[3]{\frac{1562,5}{\sqrt[5]{2}}}[/tex3] . O valor de [tex3]\log_5 N[/tex3] , em função de [tex3]m[/tex3] e [tex3]p[/tex3] , é::

a) [tex3]\frac{75m + 6p}{15m}[/tex3]
b) [tex3]\frac{70m - 6p}{15m}[/tex3]
c) [tex3]\frac{75m - 6p}{15m}[/tex3]
d) [tex3]\frac{70m + 6p}{15m}[/tex3]
e) [tex3]\frac{70m + 6p}{15p}[/tex3]

12 Nov 2011, 16:01

Solução do Problema 128

Temos que,
[tex3]N = 125\cdot\sqrt[3]{\frac{1562,5}{\sqrt[5]{2}}}[/tex3]

Reescrevendo,
[tex3]N = 5^3\cdot\left(\frac{3125}{2}\cdot\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{3}}=5^3\cdot\left(\frac{5^5}{2^{\frac{6}{5}}}\right)^{\frac{1}{3}}[/tex3]
[tex3]N=\frac{5^{\frac{14}{3}}}{2^{\frac{2}{5}}}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\log_5 N=\log_5\frac{5^{\frac{14}{3}}}{2^{\frac{2}{5}}}=\frac{14}{3}-\frac{2}{5}\log_52[/tex3]

Mas,
[tex3]\log_52=\frac{\log2}{\log5}=\frac{p}{m}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\log_5 N=\frac{14}{3}-\frac{2}{5}.\frac{p}{m}[/tex3]
[tex3]\boxed{\log_5N=\frac{70m-6p}{15m}}[/tex3] . Letra B

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Problema 129

(IME-1968) Dado um triângulo isósceles, cujos lados são números inteiros de metros, sabe-se que os raios dos círculos ex-inscritos têm um produto 16 vezes o raio do círculo inscrito. Determinar os lados do triângulo.

Mensagem não lida por **poti** » 13 Nov 2011, 22:35

Solução do Problema 129

[tex3]r_a = \sqrt{\frac{p(p-b)(p-c)}{p-a}}[/tex3]

O mesmo é válido para os outros. Multiplicando:

[tex3]p \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = 16r[/tex3]

[tex3]p . A_{\triangle} = 16r[/tex3]

[tex3]A_{\triangle}[/tex3] para triângulos circunscritos pode ser escrita também como: [tex3]p.r[/tex3]

[tex3]p^2 . r = 16r[/tex3]

[tex3]\boxed{p = 4}[/tex3]

Se o perímetro é 8, os números são inteiros e o triãngulo é isósceles, só pode ser 3, 3 e 2.

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Problema 130

(ITA-2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par ?

a) 375
b) 465
c) 545
d) 585
e) 625

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