Maratonas de Matemática

Mensagem não lida por **Natan** » 01 Out 2011, 18:57

Solução do problema 100

Inicialmente note que mostrar a igualdade proposta equivale a mostrar que:

[tex3]\text{sen} \frac{x}{2} + 2 \text{sen} \frac{x}{2}\cos x + 2 \text{sen} \frac{x}{2}\cos 2x + ... + 2 \text{sen} \frac{x}{2}\cos nx = \text{sen} \frac{(2n + 1)x}{2}[/tex3]

A qual mostraremos usando indução finita. Primeiro veja que a igualdade se cumpre para [tex3]n=1:[/tex3]

[tex3]\text{sen} \frac{x}{2}+2\text{sen} \frac{x}{2}\cos x=\cancel{\text{sen} \frac{x}{2}}+\text{sen} \frac{3x}{2}+\cancel{\text{sen} \frac{-x}{2}}=\text{sen} \frac{3x}{2}[/tex3]

Com isso, suponha que a igualdade seja válida para [tex3]n=k,[/tex3] isto é:

[tex3]\text{sen} \frac{x}{2} + 2 \text{sen} \frac{x}{2}\cos x + 2 \text{sen} \frac{x}{2}\cos 2x + ... + 2 \text{sen} \frac{x}{2}\cos kx = \text{sen} \frac{(2k + 1)x}{2}\, (I)[/tex3]

e provamos que ela na verdade vale para [tex3]n=k+1,[/tex3] ou seja, devemos provar que:

[tex3]\text{sen} \frac{x}{2} + 2 \text{sen} \frac{x}{2}\cos x + ... + 2 \text{sen} \frac{x}{2}\cos kx+2 \text{sen} \frac{x}{2}\cos (k+1)x = \text{sen} \frac{(2(k+1) + 1)x}{2}[/tex3]

agora aplicamos a hipótese (I):

[tex3]\text{sen} \frac{(2k + 1)x}{2}+2 \text{sen} \frac{x}{2}\cos (k+1)x= \\
=\cancel{\text{sen} \frac{(2k + 1)x}{2}}+\text{sen} \frac{(2(k+1) + 1)x}{2}+\cancel{\text{sen} \frac{(-2(k+1) + 1)x}{2}}=\text{sen} \frac{(2(k+1) + 1)x}{2}[/tex3]

o que conclui a demonstração!

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Problema 101

(IME-2011)

Seja [tex3]f(x)=\text{asen}(x)+b\sqrt[3]{x}+4[/tex3] onde [tex3]a,\, b\, \in\, \Re^{*}[/tex3] . Sabendo que [tex3]f(\log(\log_310))=5[/tex3] o valor de [tex3]f(\log(\log3))[/tex3] é:

a) [tex3]5[/tex3]
b) [tex3]3[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]-3[/tex3]
e) [tex3]-5[/tex3]

Mensagem não lida por **poti** » 01 Out 2011, 19:49

Solução do Problema 101

Verificando a paridade, tiramos que:

[tex3]f(-x) = -f(x) + 8[/tex3] (I)

E por mudança para a base 10:

[tex3]\log^{\log_3 10} = \log^{\frac{1}{\log 3}} = -\log^{\log 3}[/tex3]

Portanto:

[tex3]f(\log^{\log_3 10}) = f(-\log^{\log 3}) = 5[/tex3]

De (I):

[tex3]f(-\log^{\log 3})) = -f(\log^{\log 3}) + 8[/tex3]

[tex3]5 - 8 = -f(\log^{\log 3})[/tex3]

[tex3]\boxed{f\left(\log^{\log 3}\right) = 3}[/tex3]

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Problema 102

(IME-93) Considere os números complexos [tex3]z = x + yi[/tex3] e [tex3]w = y - xi[/tex3] , cujos módulos são tais que [tex3]|z| = e^{|w|\frac{\sqrt{3}}{x}}[/tex3] e [tex3]|w| = e^{|z|\frac{1}{y}}[/tex3] , onde [tex3]e[/tex3] é base dos logaritmos neperianos. Obter a forma polar de [tex3]z^2[/tex3] .

Mensagem não lida por **Natan** » 01 Out 2011, 21:18

Solução do problema 102

Queremos colocar [tex3]z^2[/tex3] na forma:

[tex3]z^2=|z|(\cos \theta+i\sen \theta)=|z|e^{i \theta}\, (I)[/tex3]

note que: [tex3]|z|=\sqrt{x^2+y^2}=|w|[/tex3] sabendo disso temos do enunciado:

[tex3]|z|=|w|\, \Rightarrow\, e^{\frac{{|z|\sqrt{3}}}{x}}=e^{|z|\frac{1}{y}}\, \Rightarrow\, \frac{{\cancel{|z|}\sqrt{3}}}{x}=\cancel{|z|}\frac{1}{y}\, \therefore\, \frac{y}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\, (II)[/tex3]

e sabemos que:

[tex3]\begin{cases}
\cos \theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \sen \theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\, \Rightarrow\, \tan \theta=\frac{y}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\, \therefore\, \theta=\frac{\pi}{3}\, (III)\end{cases}[/tex3]

agora substituímos (II) e (III) em (I):

[tex3]\large z^2=|z|e^{i \theta}=e^{\frac{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{3}}{x}}\cdot e^{i \theta}=e^{\frac{\sqrt{x^2+\left( \frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2}\sqrt{3}}{x}+i \frac{\pi}{3}}=e^{\pm 2+i \frac{\pi}{3}}[/tex3]

...........................................................................................................

Problema 103

(IME) O valor de [tex3]\cos {\frac{2 \pi}{7}} +\cos {\frac{4 \pi}{7}}+\cos {\frac{6 \pi}{7}}+\frac{1}{2}[/tex3] é:

a) [tex3]-1[/tex3]
b) [tex3]-0,5[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]0,5[/tex3]
e) [tex3]1[/tex3]

Soluçãod do Problema 103

Sabemos que:
[tex3]\cos (x)+\cos (x+r)+\cos (x+2r)+...\cos (x+nr)=\frac{\cos \left(x+(n-1)\frac{r}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{nr}{2}\right)}{\sin \left(\frac{r}{2}\right)}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\cos {\frac{2 \pi}{7}} +\cos {\frac{4 \pi}{7}}+\cos {\frac{6 \pi}{7}}= \frac{\cos \left(\frac{4\pi}{7}\right)\cdot \sin \left(\frac{3\pi}{7}\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}\cdot \frac{2}{2}[/tex3]

Mas,
[tex3]2\cdot \sin \left(\frac{3\pi}{7}\right)\cdot \cos \left(\frac{4\pi}{7}\right)=-\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)[/tex3]

Logo,
[tex3]\cos {\frac{2 \pi}{7}} +\cos {\frac{4 \pi}{7}}+\cos {\frac{6 \pi}{7}}=\frac{-\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} {2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}=-\frac{1}{2}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\cos {\frac{2 \pi}{7}} +\cos {\frac{4 \pi}{7}}+\cos {\frac{6 \pi}{7}}+\frac{1}{2}=0[/tex3] . Letra C
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Problema 104

(IME- 74/75) Dado o polinômio [tex3]2x^4+x^3+px^2+qx+2[/tex3] determine p e q de modo que seja divisível por [tex3](x-1)^2[/tex3]

Mensagem não lida por **Natan** » 04 Out 2011, 23:18

Solução problema 104

Dizer que um polinômio é divisível por [tex3](x-1)^2[/tex3] é dizer que ele é divisível por [tex3](x-1)[/tex3] duas vezes. Usando o dispositivo de Brio-Ruffini:

[tex3]\begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 2 & 1 & p & q & 2 \\ & & & \\ \hline 2 & 3 & 3+p & 3+p+q & 5+p+q \\ 2 & 5 & 8+p & 11+2p+q \\ \end{array}\end{array}[/tex3]

como a divisão deve ser exato, devemos exigir restos nulos, assim chegamos ao sistema:

[tex3]\begin{cases}p+q=-5 \\ 2p+q=-11\end{cases}\,\, \Rightarrow\,\, p=-6,\, q=1[/tex3]

..............................................................................................................

Problema 105

(IME-2011)

O valor de x que satisfaz a equação [tex3]sen(arccotg(x+1))=cos(arctg(x)):[/tex3]

[tex3]a)\, 1,5 \\ b)\, 0,5 \\ c)\, 0,25 \\ d)\, -0,5 \\ e)\, -1,5[/tex3]

Mensagem não lida por **poti** » 06 Out 2011, 22:53

Solução do Problema 105

É preciso analisar [tex3]\sen = \cos[/tex3] e [tex3]\sen = -\cos[/tex3] . Para evitar isso, basta elevar ambos lados ao quadrado:

[tex3]\sen^2(\arccotg(1 + x)) = \cos^2 (\arctg x)[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\cossec^2 (\arccotg(1+x))} = \frac{1}{sec^2 (\arctg x)}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{1 + \cotg^2(\arccotg(1 + x))} = \frac{1}{1 + \tg^2 (\arctg x)}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{1 + (1+x)^2} = \frac{1}{1 + x^2}[/tex3]

[tex3]x^2 = (x+1)^2[/tex3]

[tex3]{-}2x - 1 = 0[/tex3]

[tex3]\boxed{x = -\frac{1}{2}}[/tex3]

Letra D

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Problema 106

(IME-82-Adaptada) Sabendo que [tex3]x^{-1} + x = 2\cos (\theta)[/tex3] , mostre que é real a seguinte expressão, e a calcule, em função de [tex3]\theta[/tex3] :

[tex3]x^{-2008} + x^{2008}[/tex3]

Solução do Problema 106

Seja [tex3]x=e^{i\theta}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]x+\frac{1}{x}=e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta[/tex3] , que é justamento um dado do enunciado.

Logo,
[tex3]x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos(n\theta)[/tex3]

Para n=2008, temos
[tex3]\boxed{x^{2008}+\frac{1}{x^{2008}}=2\cos(2008\theta)}[/tex3]

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Problema 107

(ITA -2002) Seja S a área total da superfície de um cone circular reto de altura h, e seja m a razão entre as áreas lateral e da base desse cone. Obtenha uma expressão que forneça h em função apenas de S e m.

Solução do Problema 107

[tex3]m = \frac{\pi rg}{\pi r^2} = \frac{g}{r}\therefore \boxed{g = rm}[/tex3]

[tex3]g^2 = h^2 + r^2[/tex3]
[tex3]m^2 r^2 = h^2 + r^2[/tex3]
[tex3]\boxed{r^2 = \frac{h^2}{m^2 - 1}}[/tex3]

[tex3]S = \pi r(g + r)[/tex3]
[tex3]S = \pi r(rm + r)[/tex3]
[tex3]S = \pi r^2(m + 1)[/tex3]

Por consequência:

[tex3]S = \frac{\pi h^2(m + 1)}{m^2 - 1}[/tex3]
[tex3]S = \frac{\pi h^2\cancel{(m + 1)}}{\cancel{(m + 1)}(m - 1)}[/tex3]
[tex3]S = \frac{\pi h^2}{m - 1}[/tex3]

Isolando [tex3]h^2[/tex3] :

[tex3]h^2 = \frac{(m - 1)S}{\pi}[/tex3]
[tex3]\boxed{h = \sqrt{\frac{(m - 1)S}{\pi}}}[/tex3]

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Problema 108
(ITA - 2004) O conjunto de todos os valores de [tex3]a[/tex3] , [tex3]a \in[/tex3] [tex3]\left]-\frac{\pi}{2},\,\,\frac{\pi}{2}\right[[/tex3] , tais que as soluções da equação (em [tex3]x[/tex3] ):

[tex3]x^{4} - \sqrt[3]{48}x^2 + \tg a = 0[/tex3] são todos reais é:

Resposta

Gabarito: [tex3][0, \frac{\pi}{3}][/tex3]

Mensagem não lida por **Marcovsky** » 09 Out 2011, 12:44

solução problema 108:

[tex3]x^2[/tex3] =y

[tex3]x^4 - \sqrt[4]{48x^2}[/tex3] + tga= 0, só vai admitir valores reais se [tex3]y^2 - \sqrt[4]{48y}[/tex3] + tga= 0.

[tex3]\Delta\geq[/tex3] 0 e tga [tex3]\geq[/tex3] 0

[tex3]\Delta[/tex3] = ( -[tex3]\sqrt[4]{48y}[/tex3] )[tex3]^2[/tex3] - 4.1.tga [tex3]\geq[/tex3] 0

[tex3]\Delta[/tex3] = 4 [tex3]\sqrt[2]{3}[/tex3] - 4.1.tga [tex3]\geq[/tex3] 0

tga [tex3]\leq\sqrt[2]{3}[/tex3] e tga [tex3]\geq[/tex3] 0

logo 0 [tex3]\leq[/tex3] a [tex3]\leq[/tex3] [tex3]\frac{\pi}{3}[/tex3]

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acho que é isso...
se tiver alguma coisa errada (ainda sou mto noob no latex), podem me ignorar.

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Problema 109

(ITA-90) Há muito tempo atrás, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros.Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar seus dois comandados pelo serviço bem executado, anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato desta tarefa. Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles teve aidéia na madrugada de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a ao mar para agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde o segundo marinheiro teve exatamente a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois montes iguais e, para surpresa sua,sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento pela sua sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa. Pela manhã os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o procedimento noturno.Assim, o imediato separou as moedas em dois grupos everificou que sobrava uma. Deu a cada marinheiro a sua parte do prêmio e tomou para si a moeda restante como paga pelos seus cálculos. Sabendo-se que a razão entre as moedas ganhas pelo primeiro e pelo segundo marinheiros foi de 29/17 então o número de moedas que havia originalmente no baú era:

a) 99 b) 95 c) 135 d) 87 e) n.d.a.

Resposta

Gabarito: b

Solução do Problema 109

Seja x o número de moedas.
1º marinheiro [tex3]\frac{x-1}{2}[/tex3]
2º marinheiro [tex3]\frac{\frac{x-1}{2}-1}{2}=\frac{x-3}{4}[/tex3]
Imedidato [tex3]\frac{\frac{x-3}{4}-1}{2}=\frac{x-7}{8}[/tex3]

Cada marinheiro ganhou
1º [tex3]\frac{x-1}{2}+\frac{x-7}{8}=\frac{5x-11}{8}[/tex3]
2º [tex3]\frac{x-3}{4}+\frac{x-7}{8}=\frac{3x-13}{8}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\frac{5x-11}{3x-13}=\frac{29}{17}[/tex3]
[tex3]17(5x-11)=29(3x-13)[/tex3]
[tex3]2x=190[/tex3]
[tex3]\boxed{x=95}[/tex3] .Letra B

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Problema 110

(ITA- 1999) Se [tex3]x\in \left[0,\,\,\frac{\pi}{2}\right[[/tex3] é tal que [tex3]4\tg^4x=\frac{1}{\cos^4x}+4[/tex3] então o valor de [tex3]\sen 2x+\sen 4x[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{15}}{8}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3\sqrt{5}}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
e) [tex3]1[/tex3]

Resposta

Resposta:Letra B

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