Maratonas de Matemática

13 Nov 2011, 23:11

Solução do Problema 130
Basta encontrarmos quantos números são formados com 2,3,4,5,6 algarismos e somarmos.

[tex3]3\cdot 3+3\cdot 4\cdot 3+3\cdot 4\cdot 3\cdot 3+3\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 3+3\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 3=585\,n\acute{u}meros.[/tex3] Letra D

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Problema 131

(ITA -1981) Sejam a e K cosntantes reais, sendo [tex3]a>0[/tex3] e [tex3]0<k<1[/tex3] . De todos números complexos z que satisfazem a relação [tex3]|z-ai|\leq ak[/tex3] , qual é o de menor argumento?

a)[tex3]z=a\cdot k\cdot \sqrt{1-k^2}+i\cdot a\cdot (1-k^2)[/tex3]

b)[tex3]z=k\cdot \sqrt{1-k^2}-i\cdot a\cdot (1-k^2)[/tex3]

c)[tex3]z=k\cdot \sqrt{1-k^2}-i\cdot \sqrt{1-k^2}[/tex3]

d)[tex3]z=-k\cdot \sqrt{1-k^2}-i\cdot a\cdot (1-k^2)[/tex3]

e)[tex3]z=a+i\cdot k[/tex3]

19 Nov 2011, 18:44

Solução do Problema 131

[tex3]|z-ai|\leq ak[/tex3] representa uma circunferência de raio [tex3]R=ak[/tex3] e centrada em [tex3]C(0,a)[/tex3] .

Ignorar os valores dos eixos.

: ITA-81.png (10.56 KiB) Exibido 7605 vezes

Pitágoras,
[tex3]a^2=(ak)^2+(|z|)^2[/tex3]
[tex3]|z|=a\sqrt{1-k^2}[/tex3]

[tex3]cos\theta=\frac{ak}{a}=k[/tex3]
[tex3]sen\theta=\frac{|z|}{a}[/tex3]

[tex3]z=|z|\cis\theta=a\sqrt{1-k^2}\left(k+i\frac{a\sqrt{1-k^2}}{a}\right)[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{z=ak\sqrt{1-k^2}+ia(1-k^2)}[/tex3] .Letra A

-------------------------------------------------

(IME-1954) Resolver a equação trinõmia.
[tex3]z^4 + 2z^2 + 4 = 0[/tex3]

Dar as raízes complexas na forma A + Bi, onde A e B são números reais.

Mensagem não lida por **poti** » 20 Nov 2011, 13:04

Solução do Problema 132

[tex3]z^2 = x[/tex3]

[tex3]x^2 + 2x + 4 = 0[/tex3]

Por Bhaskara:

[tex3]x = -1 \pm i\sqrt{3}[/tex3]

Substituindo de volta:

[tex3]z = \sqrt{-1 \pm i\sqrt{3}}[/tex3]

Transformando para a forma polar:

[tex3]z = \sqrt{2\cdot \cis 120^{\circ})}[/tex3] ou [tex3]z = \sqrt{2\cdot \cis (240^\circ)}[/tex3]

Usando a radiciação de Moivre:

[tex3]z_w = \sqrt{2} \cdot \cis \left(\frac{\theta + 2k \pi}{2}\right), \,\,\,\, k = 0, 1[/tex3]

[tex3]z_1 = \sqrt{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}\right)[/tex3]

[tex3]z_2 = \sqrt{2} \left(-\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}\right)[/tex3]

[tex3]z_3 = -\sqrt{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}\right)[/tex3]

[tex3]z_4 = -\sqrt{2} \left(-\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}\right)[/tex3]

-------------------------------------------------------------

Problema 133

(ITA-2004) Considere a equação [tex3]x^3 + 3x^2 - 2x + d = 0[/tex3] , em que [tex3]d[/tex3] é uma constante real. Para qual valor de [tex3]d[/tex3] a equação admite uma raiz dupla no intervalo [tex3]]0,1[[/tex3] ?

20 Nov 2011, 15:25

Solução do Problema 133

Se o polinômio tem raiz dupla, então ela é raiz da derivada.
[tex3]f(x)=x^3 + 3x^2 - 2x + d[/tex3]
[tex3]f'(x)=3x^2+6x-2[/tex3]

Raizes de [tex3]f'(x)[/tex3]
[tex3]x=\frac{-3-\sqrt{15}}{3}[/tex3] , não serve pois não está no intervalo dado.
[tex3]x=\frac{-3+\sqrt{15}}{3}[/tex3]

Podemos fazer [tex3]f\left(\frac{-3+\sqrt{15}}{3}\right)=0[/tex3] , mas dará muito trabalho.
Usando Briot-Ruffini encontramos,
[tex3]\boxed{d=\frac{10\sqrt{15}-36}{9}}[/tex3]

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Problema 134

(ITA-1981) Na figura abaixo, temos um hexágono regular inscrito em uma cricunferência de raio r e 6 outras semicircunferências com centros nos pontos médios dos lados do hexágono e cujo diâmetros são iguais ao lado do hexágono. Calcule a área da superfície hachurada.

: ITA 81.PNG (14.87 KiB) Exibido 7821 vezes

a) [tex3]\left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}\right)r^2[/tex3]
b) [tex3]\left(\sqrt{2}-\frac{\pi}{4}\right)r^2[/tex3]
c) [tex3]\left(\frac{3}{2}\sqrt{3}-\frac{\pi}{4}\right)r^2[/tex3]
d) [tex3]\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}\right)r^2[/tex3]
e) [tex3]\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{\pi}{4}\right)r^2[/tex3]

Mensagem não lida por **Natan** » 22 Nov 2011, 20:55

Solução do problema 134:

Como o hexágono está inscrito temos que a medida do seu lado coincide com o raio da circunferencia, daí tiramos as seguintes considerações:

cada semi circunferência tem: [tex3]\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot \left( \frac{r}{2}\right)[/tex3] de área.

a área interna a circunferência e externa ao hexágono pode ser obtida por: [tex3]\pi\cdot r^2-6\cdot\frac{r^2 \sqrt{3}}{4}[/tex3]

logo a área achurada é obtida da diferença:

[tex3]A=6\cdot \frac{1}{2}\cdot \pi\cdot \left( \frac{r}{2}\right)-\left( \pi\cdot r^2-6\cdot \frac{r^2 \sqrt{3}}{4} \right)= \left( \frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{4} \right)r^2[/tex3]

.........................................................................................................................................................

Problema 135

(ITA-2008) Um diedro mede [tex3]120^{\circ}[/tex3] . A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume [tex3]4\sqrt{3} \pi\, cm^3[/tex3] que tangencia as faces do diedro é, em [tex3]cm,[/tex3] igual a

[tex3]a)\, 3\sqrt{3} \\ b)\, 3\sqrt{2} \\ c)\, 2\sqrt{3} \\ d)\, 2\sqrt{2} \\ e)\, 2[/tex3]

23 Nov 2011, 17:44

Solução do Problema 135

Sendo R o raio da esfera e x a distância da aresta do diedro ao centro da esfera temos a relação:

[tex3]V_e = 4 \sqrt{3} \pi[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel{4}}{3}\cancel{ \pi} R^3 = \cancel{4} \sqrt{3} \cancel{\pi}[/tex3]
[tex3]R = \sqrt{3}cm[/tex3]

A distância d corta o ângulo do diedro em outros dois ângulos iguais:

[tex3]\sen\left(\frac{120}{2}\right) = \frac{R}{x}[/tex3]
[tex3]x = \frac{R}{\sen60}[/tex3]
[tex3]x = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\therefore \boxed{x = 2cm}[/tex3] (E)
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Problema 136

(ITA - 1980) Considere um cone circular reto cuja geratriz mede [tex3]\sqrt{5} cm[/tex3] e o diâmetro da base mede [tex3]2 cm[/tex3] . Traçam-se n planos paralelos à base do cone , que o seccionam determinando n + 1 cones, incluindo o original , de modo que a razão entre os volumes do cone maior e o menor é 2. Os volumes destes cones formam uma progressão aritmética crescente cuja soma é igual a [tex3]2\pi[/tex3] . Então o volume, em [tex3]cm^3[/tex3] do tronco de cone determinado por dois planos consecutivos é igual a:

a) [tex3]\frac{\pi}{33}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2\pi}{33}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\pi}{9}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2\pi}{15}[/tex3]
e) [tex3]\pi[/tex3]

26 Nov 2011, 00:08

Problema 136

Do pitágoras encontramos a altura do cone,
[tex3]h^2+1=5[/tex3]
[tex3]h=2\text{cm}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot 1^2\cdot 2[/tex3]
[tex3]V_1=\frac{2}{3}\pi \text{cm}^3[/tex3]

[tex3]\frac{V_1}{V_2}=2[/tex3]
[tex3]V_2=\frac{\pi}{3}cm^3[/tex3]

[tex3]S=\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\pi}{3}\right)\frac{n+1}{2}[/tex3]
[tex3]2=\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\pi}{3}\right)\frac{n+1}{2}[/tex3]
[tex3]n=3[/tex3]

Podemos escrever a seguinte relação para os volumes,
[tex3]V_1=V_2+n.V[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\pi=\frac{\pi}{3}+3V[/tex3]
[tex3]\boxed{V=\frac{\pi}{9}\text{cm}^3}[/tex3] . Letra C

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Problema 137

(ITA - 1972)Seja [tex3]\theta = \arcsin\left(\frac{b}{a}\right)[/tex3] , com [tex3]|a| > |b|[/tex3] . Então [tex3]2\theta[/tex3] vale:

a) [tex3]\arcsin\left(\frac{2a}{b}\right)[/tex3]
b) [tex3]\arcsin\left(\frac{2b}{a}\right)[/tex3]
c) [tex3]\arcsin\left(\frac{2a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)[/tex3]
d) [tex3]\arcsen\left(\frac{2b}{a^2}\sqrt{a^2-b^2}\right)[/tex3]
e) N.R.A

29 Nov 2011, 10:49

Solução do Problema 137

[tex3]\sen \theta = \frac{b}{a}[/tex3] [tex3]\rightarrow \cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2} = \frac{1}{a} \sqrt{a^2 - b^2}[/tex3]

[tex3]\sen 2\theta = 2\cdot \sen\theta\cdot \cos\theta[/tex3]
[tex3]\sen 2\theta = 2\cdot \frac{b}{a}\cdot \frac{1}{a}\sqrt{a^2 - b^2}[/tex3]
[tex3]\sen 2\theta = \frac{2b}{a^2}{\sqrt{a^2 - b^2}}[/tex3]

[tex3]2\theta = \arcsen\left(\frac{2b}{a^2} \sqrt{a^2 - b^2}\right)[/tex3] (D)

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Problema 138
(ITA - 1993) Numa progressão aritmética com 2n + 1 termos , a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma dos n últimos é igual 140. Sabendo-se que a razão desta progressão é um inteiro entre 2 e 13, então seu último termo é igual a:

[tex3]a) 34[/tex3]
[tex3]b) 40[/tex3]
[tex3]c) 42[/tex3]
[tex3]d) 48[/tex3]
[tex3]e) 56[/tex3]

30 Nov 2011, 21:22

Solução do Problema 138

Do questão temos que,
[tex3]a+{n+2}+a_{n+3+...+a_{2n+1}=140}[/tex3]
[tex3]a_1+(n+1)r+a_2+(n+1)r+...+a_n(n+1)r=140[/tex3]
[tex3](a_1+a_2+...+a_n)+n(n+1)r=140[/tex3]
[tex3]50+n(n+1)r=140[/tex3]
[tex3]n(n+1)=\frac{90}{r};\,2<r<13[/tex3]

Assim temos que [tex3]r=3[/tex3]

Portanto,
[tex3]n^2+n-30=0[/tex3]
[tex3]n=-6[/tex3] não convém.
[tex3]n=5[/tex3]

[tex3]S_5=(a_1+a_5)\frac{5}{2}[/tex3]
[tex3]50=(a_1+a_1+4r)\frac{5}{2}[/tex3]
[tex3]2a_1+12=20[/tex3]
[tex3]a_1=4[/tex3]

Logo,
[tex3]a_{2n+1}=a_{11}=a_1+10r[/tex3]
[tex3]{a_{11}=34}[/tex3] .Letra A
--------------------------------

Problema 139

(ITA -1995) A expressão [tex3]\frac{\sen\theta}{1+\cos\theta},0<\theta,\pi[/tex3] , é idêntica a

a) [tex3]\sec\frac{\theta}{2}[/tex3]
b) [tex3]\cossec\frac{\theta}{2}[/tex3]
c) [tex3]\cotg\frac{\theta}{2}[/tex3]
d) [tex3]\tg\frac{\theta}{2}[/tex3]
e) [tex3]\cos\, \frac{\theta}{2}[/tex3]

30 Nov 2011, 22:08

Solução do Problema 139

[tex3]\frac{\sen \theta}{\cos \theta + 1} = \frac{\sen \theta}{\cos \theta + \cos 0}[/tex3]

[tex3]\sen \theta = 2\cdot \sen \left(\frac{\theta}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]

Por Prostaferese temos que:
[tex3]\cos \theta + \cos 0 = 2\cdot \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\frac{\cancel{2}\cdot \sen \left(\frac{\theta}{2}\right)\cdot \cancel{\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}}{\cancel{2}\cdot \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\cdot \cancel{\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}} = \boxed{\tg \left(\frac{\theta}{2}\right)}[/tex3] (D)
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Problema 140
(ITA - 1991) Uma escola possui 18 professores sendo 7 de Matemática, 3 de Física e 4 de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de 12 professores de modo que cada uma contenha exatamente 5 professores de Matemática, com no mínimo 2 de Física e no máximo 2 de Química ?

[tex3]a) 875[/tex3]
[tex3]b) 1877[/tex3]
[tex3]c) 1995[/tex3]
[tex3]d) 2877[/tex3]
[tex3]e) n.d.a[/tex3]

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