Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Maratonas de Matemática ⇒ I Maratona de Matemática IME/ITA
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Out 2011
17
21:16
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 120
Como [tex3]y[/tex3] é real devemos ter:
[tex3]p^2-2ph-h^2\geq 0[/tex3]
[tex3]p=\frac{2h\pm\sqrt{4h^2+4.h^2}}{2.1}=\frac{2h\pm 2h\sqrt{2}}{2}\stackrel{p>0}=h(1+\sqrt{2})[/tex3]
Portanto:
[tex3]\frac{p}{h}\geq 1+\sqrt{2}[/tex3]
------------------------------------------------------------------------
Problema 121
(IME-1949/1950) Resolver a equação
[tex3]\begin{vmatrix}
1&1 &1 \\
a& b &c \\
a^2 &b^2 &c^2+x
\end{vmatrix}=0[/tex3]
Como [tex3]y[/tex3] é real devemos ter:
[tex3]p^2-2ph-h^2\geq 0[/tex3]
[tex3]p=\frac{2h\pm\sqrt{4h^2+4.h^2}}{2.1}=\frac{2h\pm 2h\sqrt{2}}{2}\stackrel{p>0}=h(1+\sqrt{2})[/tex3]
Portanto:
[tex3]\frac{p}{h}\geq 1+\sqrt{2}[/tex3]
------------------------------------------------------------------------
Problema 121
(IME-1949/1950) Resolver a equação
[tex3]\begin{vmatrix}
1&1 &1 \\
a& b &c \\
a^2 &b^2 &c^2+x
\end{vmatrix}=0[/tex3]
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 17 Out 2011, 21:16, em um total de 2 vezes.
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Nov 2011
02
01:18
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 121:
Desenvolvendo o determinante:
[tex3]b(c^2+x)-b^2c-a(c^2+x)+a^2c+ab^2-a^2b=0[/tex3]
[tex3](c^2+x)(b-a)+a^2(c-b)+b^2(a-c)=0[/tex3]
[tex3]x=\frac{a^2(b-c)+b^2(c-a)}{b-a}-c^2[/tex3]
[tex3]x=\frac{b(a-c)(a+c-b)}{b-a}[/tex3]
..............................................................................................
Problema 122:
(ITA) O Sistema:
[tex3]\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}[/tex3]
com [tex3](c_1,\, c_2) \neq (0,\, 0),\, a_1c_1+a_2c_2=b_1c_1+b_2c_2=0,[/tex3] é:
[tex3]a)[/tex3] determinado.
[tex3]b)[/tex3] determinado somente quando [tex3]c_1 \neq 0\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\, c_2 \neq 0.[/tex3]
[tex3]c)[/tex3] determinado somente quando [tex3]c_1 \neq 0\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\, c_2=0\,\,\,\,\,\,\text{ou}\,\,\,\,\,\, c_1=0\,\,\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\,\,\, c_2 \neq 0.[/tex3]
[tex3]d)[/tex3] impossível.
[tex3]e)[/tex3] indeterminado.
Desenvolvendo o determinante:
[tex3]b(c^2+x)-b^2c-a(c^2+x)+a^2c+ab^2-a^2b=0[/tex3]
[tex3](c^2+x)(b-a)+a^2(c-b)+b^2(a-c)=0[/tex3]
[tex3]x=\frac{a^2(b-c)+b^2(c-a)}{b-a}-c^2[/tex3]
[tex3]x=\frac{b(a-c)(a+c-b)}{b-a}[/tex3]
..............................................................................................
Problema 122:
(ITA) O Sistema:
[tex3]\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}[/tex3]
com [tex3](c_1,\, c_2) \neq (0,\, 0),\, a_1c_1+a_2c_2=b_1c_1+b_2c_2=0,[/tex3] é:
[tex3]a)[/tex3] determinado.
[tex3]b)[/tex3] determinado somente quando [tex3]c_1 \neq 0\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\, c_2 \neq 0.[/tex3]
[tex3]c)[/tex3] determinado somente quando [tex3]c_1 \neq 0\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\, c_2=0\,\,\,\,\,\,\text{ou}\,\,\,\,\,\, c_1=0\,\,\,\,\,\,\text{e}\,\,\,\,\,\, c_2 \neq 0.[/tex3]
[tex3]d)[/tex3] impossível.
[tex3]e)[/tex3] indeterminado.
Editado pela última vez por Natan em 02 Nov 2011, 01:18, em um total de 2 vezes.
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Nov 2011
03
10:32
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 122
Temos,
[tex3]\begin{cases}a_1c_1+a_2c_2=b_1c_1+b_2c_2=0\\ a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}[/tex3]
Para encontrarmos a primeira, basta multiplicar a segunda por [tex3]c_1[/tex3] e a terceira por [tex3]c_2[/tex3] e somarmos, sendo assim temos,
[tex3](a_1c_1+a_2c_2)x+(b_1c_1+b_2c_2)y=c_1^2+c_2^2[/tex3]
Logo,
[tex3]c_1^2+c_2^2=0[/tex3]
De onde tiramos que [tex3]c_1=c_2=0[/tex3] , mas como o enunciado diz que [tex3](c_1,c_2)\neq (0,0)[/tex3] encontramos a Letra D.
--------------------------------------------------------
Problema 123
(IME -1944/45)Dados os lados de um triângulo plano a = 5m, b = 6m e c = 9 m, calcular:
(i) As tangentes dos ângulos.
Temos,
[tex3]\begin{cases}a_1c_1+a_2c_2=b_1c_1+b_2c_2=0\\ a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}[/tex3]
Para encontrarmos a primeira, basta multiplicar a segunda por [tex3]c_1[/tex3] e a terceira por [tex3]c_2[/tex3] e somarmos, sendo assim temos,
[tex3](a_1c_1+a_2c_2)x+(b_1c_1+b_2c_2)y=c_1^2+c_2^2[/tex3]
Logo,
[tex3]c_1^2+c_2^2=0[/tex3]
De onde tiramos que [tex3]c_1=c_2=0[/tex3] , mas como o enunciado diz que [tex3](c_1,c_2)\neq (0,0)[/tex3] encontramos a Letra D.
--------------------------------------------------------
Problema 123
(IME -1944/45)Dados os lados de um triângulo plano a = 5m, b = 6m e c = 9 m, calcular:
(i) As tangentes dos ângulos.
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 03 Nov 2011, 10:32, em um total de 2 vezes.
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Nov 2011
08
19:25
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do problema 123
Nomeando por [tex3]\alpha,\, \beta\, e\, \gamma[/tex3] os ângulos internos temos pela lei dos cossenos:
[tex3]36=25+81-2\cdot 5\cdot 9\cos \alpha\, \Rightarrow\, \cos \alpha=\frac{7}{9}\, \therefore\, \sen \alpha = \frac{4 \sqrt{2}}{9} \\ 81=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cos \beta\, \Rightarrow\, \cos \beta=-\frac{1}{3}\, \therefore\, \sen \beta =\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ 25=36+81-2\cdot 6\cdot 9 \cos \gamma\, \Rightarrow\, \cos \gamma =\frac{23}{27}\, \therefore\, \sen \gamma =\frac{10 \sqrt{2}}{27}[/tex3]
assim obtemos facilmente as tangentes:
[tex3]\boxed{\tg \alpha =\frac{4 \sqrt{2}}{7}}\, \boxed{\tg \beta =-2 \sqrt{2}}\, \boxed{\tg \gamma =\frac{10 \sqrt{2}}{23}}[/tex3]
--------------------------------------------------------
Problema 124
(ITA) Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são [tex3]A=(1,\, 1),\, B=(1,\, 7)\, e\, C=(5,\, 4)[/tex3] no plano xOy.
Nomeando por [tex3]\alpha,\, \beta\, e\, \gamma[/tex3] os ângulos internos temos pela lei dos cossenos:
[tex3]36=25+81-2\cdot 5\cdot 9\cos \alpha\, \Rightarrow\, \cos \alpha=\frac{7}{9}\, \therefore\, \sen \alpha = \frac{4 \sqrt{2}}{9} \\ 81=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cos \beta\, \Rightarrow\, \cos \beta=-\frac{1}{3}\, \therefore\, \sen \beta =\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ 25=36+81-2\cdot 6\cdot 9 \cos \gamma\, \Rightarrow\, \cos \gamma =\frac{23}{27}\, \therefore\, \sen \gamma =\frac{10 \sqrt{2}}{27}[/tex3]
assim obtemos facilmente as tangentes:
[tex3]\boxed{\tg \alpha =\frac{4 \sqrt{2}}{7}}\, \boxed{\tg \beta =-2 \sqrt{2}}\, \boxed{\tg \gamma =\frac{10 \sqrt{2}}{23}}[/tex3]
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Problema 124
(ITA) Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são [tex3]A=(1,\, 1),\, B=(1,\, 7)\, e\, C=(5,\, 4)[/tex3] no plano xOy.
Editado pela última vez por Natan em 08 Nov 2011, 19:25, em um total de 2 vezes.
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Nov 2011
08
22:59
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Oi Natan,
Vou pedir para você cumprir com a 4º regra.
4) Todas questão deverão ser do IME ou do ITA, com o respectivo ano.
Solução do Problema 124
Por semelhança de triângulo temos,
[tex3]\frac{CF}{CD}=\frac{FH}{DA}[/tex3]
[tex3]\frac{2}{4}=\frac{r}{3}[/tex3]
[tex3]r=\frac{3}{2}[/tex3]
Assim temos que o centro da circunferência é [tex3]C\left(\frac{5}{2},4\right)[/tex3] , logo a equação é
[tex3]\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-(y-4)^2=\frac{9}{4}[/tex3]
-----------------------------------
Problema 125
(ITA-2009) Sabendo que [tex3]\tan^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}[/tex3] para algum [tex3]x\in \left[0,\,\,\frac{\pi}{2}\right][/tex3] . Determine [tex3]\sen(x)[/tex3] .
Vou pedir para você cumprir com a 4º regra.
4) Todas questão deverão ser do IME ou do ITA, com o respectivo ano.
Solução do Problema 124
Por semelhança de triângulo temos,
[tex3]\frac{CF}{CD}=\frac{FH}{DA}[/tex3]
[tex3]\frac{2}{4}=\frac{r}{3}[/tex3]
[tex3]r=\frac{3}{2}[/tex3]
Assim temos que o centro da circunferência é [tex3]C\left(\frac{5}{2},4\right)[/tex3] , logo a equação é
[tex3]\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-(y-4)^2=\frac{9}{4}[/tex3]
-----------------------------------
Problema 125
(ITA-2009) Sabendo que [tex3]\tan^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}[/tex3] para algum [tex3]x\in \left[0,\,\,\frac{\pi}{2}\right][/tex3] . Determine [tex3]\sen(x)[/tex3] .
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 08 Nov 2011, 22:59, em um total de 2 vezes.
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Nov 2011
09
22:13
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do problema 125
[tex3]\tg \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] OBS.: [tex3]\frac{\pi}{6} \leq x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{2 \pi}{3}[/tex3]
Desenvolvendo:
[tex3]\frac{\tg x + \tg \frac{\pi}{6}}{1 - \tg \frac{\pi}{6}\cdot\tg x}= \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{\tg x + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\tg x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]2\tg x + \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{2} - \tg x \frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]6\tg x + 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{2} - \tg x \sqrt{6}\Rightarrow \tg x(6 + \sqrt{6}) = 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\tg x = \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{6+ \sqrt{6}}\Rightarrow \tg x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + 1}[/tex3]
Podemos formar então um triângulo retângulo de hipotenusa = [tex3]2 \sqrt{3}[/tex3] e catetos = [tex3]\sqrt{3} - \sqrt{2}[/tex3] e [tex3]\sqrt{6} + 1[/tex3] .
Portanto:
[tex3]\sen x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\boxed {\sen x = \frac{3 - \sqrt{6}}{6}}[/tex3]
--------------------------------------------------------------------
Problema 126
(ITA - 2004)O termo independente de x no desenvolvimento do binômio:
[tex3]\left (\sqrt{\frac{3\sqrt[3]{x}}{5x}} - \sqrt[3]{\frac{5x}{3 \sqrt{x}}}\right)^{12}[/tex3] é:
[tex3]\tg \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] OBS.: [tex3]\frac{\pi}{6} \leq x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{2 \pi}{3}[/tex3]
Desenvolvendo:
[tex3]\frac{\tg x + \tg \frac{\pi}{6}}{1 - \tg \frac{\pi}{6}\cdot\tg x}= \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{\tg x + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\tg x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]2\tg x + \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{2} - \tg x \frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow[/tex3]
[tex3]6\tg x + 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{2} - \tg x \sqrt{6}\Rightarrow \tg x(6 + \sqrt{6}) = 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\tg x = \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{6+ \sqrt{6}}\Rightarrow \tg x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + 1}[/tex3]
Podemos formar então um triângulo retângulo de hipotenusa = [tex3]2 \sqrt{3}[/tex3] e catetos = [tex3]\sqrt{3} - \sqrt{2}[/tex3] e [tex3]\sqrt{6} + 1[/tex3] .
Portanto:
[tex3]\sen x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\boxed {\sen x = \frac{3 - \sqrt{6}}{6}}[/tex3]
--------------------------------------------------------------------
Problema 126
(ITA - 2004)O termo independente de x no desenvolvimento do binômio:
[tex3]\left (\sqrt{\frac{3\sqrt[3]{x}}{5x}} - \sqrt[3]{\frac{5x}{3 \sqrt{x}}}\right)^{12}[/tex3] é:
Editado pela última vez por theblackmamba em 09 Nov 2011, 22:13, em um total de 2 vezes.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
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Nov 2011
12
00:05
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 126
[tex3]\left(\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- \frac{1}{3}} - \left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot x ^{\frac{1}{6}}\right)^{12}[/tex3]
[tex3]T = \begin{pmatrix}
12\\
k
\end{pmatrix} \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}}\right)^{12 - k} \cdot (-1)^k \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot x ^{\frac{1}{6}}\right)^k[/tex3]
[tex3]T = \begin{pmatrix} 12\\ k\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{12 - k}{2}} \cdot x^{\frac{12 - k}{3}} \cdot (-1)^k \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{k}{3}} \cdot x^{\frac{k}{6}}[/tex3]
[tex3]T = \begin{pmatrix}12\\ k\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{36 - 5k}{6}} \cdot x^{\frac{k - 8}{2}} \cdot (-1)^k[/tex3]
[tex3]k - 8 = 0[/tex3]
[tex3]\boxed{k = 8}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix} 12\\ 8\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{2}{3}} = \boxed{165 \sqrt[3]{75}}[/tex3]
------------------------------------------------------
Problema 127:
(ITA-2002) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B.
Então, [tex3][(A+B)^t]^2[/tex3] é igual a
a) [tex3](A+B)^2[/tex3]
b) [tex3]2(A^t \cdot B^t)[/tex3]
c) [tex3]2(A^t + B^t)[/tex3]
d) [tex3]A^t + B^t[/tex3]
e) [tex3]A^t B^t[/tex3]
[tex3]\left(\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- \frac{1}{3}} - \left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot x ^{\frac{1}{6}}\right)^{12}[/tex3]
[tex3]T = \begin{pmatrix}
12\\
k
\end{pmatrix} \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}}\right)^{12 - k} \cdot (-1)^k \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot x ^{\frac{1}{6}}\right)^k[/tex3]
[tex3]T = \begin{pmatrix} 12\\ k\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{12 - k}{2}} \cdot x^{\frac{12 - k}{3}} \cdot (-1)^k \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{k}{3}} \cdot x^{\frac{k}{6}}[/tex3]
[tex3]T = \begin{pmatrix}12\\ k\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{36 - 5k}{6}} \cdot x^{\frac{k - 8}{2}} \cdot (-1)^k[/tex3]
[tex3]k - 8 = 0[/tex3]
[tex3]\boxed{k = 8}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix} 12\\ 8\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-\frac{2}{3}} = \boxed{165 \sqrt[3]{75}}[/tex3]
------------------------------------------------------
Problema 127:
(ITA-2002) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B.
Então, [tex3][(A+B)^t]^2[/tex3] é igual a
a) [tex3](A+B)^2[/tex3]
b) [tex3]2(A^t \cdot B^t)[/tex3]
c) [tex3]2(A^t + B^t)[/tex3]
d) [tex3]A^t + B^t[/tex3]
e) [tex3]A^t B^t[/tex3]
Editado pela última vez por poti em 12 Nov 2011, 00:05, em um total de 3 vezes.
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Nov 2011
12
11:37
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 127
Temos:
[tex3][(A + B)^t]^2= [(A + B)^2]^t[/tex3]
Desenvolvendo:
[tex3](A + B)^2]^t = [A.\underbrace{A}_{BA} + AB + BA + \underbrace{B}_{AB}.B]^t= [ABA + AB + BA + BAB]^t = [A(\underbrace{BA}_B + B) + B(A + \underbrace{AB}_A)]^t = [A.(B + B) + B.(A + A)]^t=[A.2B + B.2A]^t[/tex3] = [tex3][2(\underbrace{AB}_A + \underbrace{BA}_B)]^t= 2.(A + B)^t = 2.(A^t + B^t)[/tex3] (C)
--------------------------------------------------------
Problema 128
(IME - 2009) Seja [tex3]\log 5 = m[/tex3] , [tex3]\log 2 = p[/tex3] e [tex3]N = 125\cdot\sqrt[3]{\frac{1562,5}{\sqrt[5]{2}}}[/tex3] . O valor de [tex3]\log_5 N[/tex3] , em função de [tex3]m[/tex3] e [tex3]p[/tex3] , é::
a) [tex3]\frac{75m + 6p}{15m}[/tex3]
b) [tex3]\frac{70m - 6p}{15m}[/tex3]
c) [tex3]\frac{75m - 6p}{15m}[/tex3]
d) [tex3]\frac{70m + 6p}{15m}[/tex3]
e) [tex3]\frac{70m + 6p}{15p}[/tex3]
Temos:
[tex3][(A + B)^t]^2= [(A + B)^2]^t[/tex3]
Desenvolvendo:
[tex3](A + B)^2]^t = [A.\underbrace{A}_{BA} + AB + BA + \underbrace{B}_{AB}.B]^t= [ABA + AB + BA + BAB]^t = [A(\underbrace{BA}_B + B) + B(A + \underbrace{AB}_A)]^t = [A.(B + B) + B.(A + A)]^t=[A.2B + B.2A]^t[/tex3] = [tex3][2(\underbrace{AB}_A + \underbrace{BA}_B)]^t= 2.(A + B)^t = 2.(A^t + B^t)[/tex3] (C)
--------------------------------------------------------
Problema 128
(IME - 2009) Seja [tex3]\log 5 = m[/tex3] , [tex3]\log 2 = p[/tex3] e [tex3]N = 125\cdot\sqrt[3]{\frac{1562,5}{\sqrt[5]{2}}}[/tex3] . O valor de [tex3]\log_5 N[/tex3] , em função de [tex3]m[/tex3] e [tex3]p[/tex3] , é::
a) [tex3]\frac{75m + 6p}{15m}[/tex3]
b) [tex3]\frac{70m - 6p}{15m}[/tex3]
c) [tex3]\frac{75m - 6p}{15m}[/tex3]
d) [tex3]\frac{70m + 6p}{15m}[/tex3]
e) [tex3]\frac{70m + 6p}{15p}[/tex3]
Editado pela última vez por theblackmamba em 12 Nov 2011, 11:37, em um total de 3 vezes.
"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
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Nov 2011
12
16:01
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 128
Temos que,
[tex3]N = 125\cdot\sqrt[3]{\frac{1562,5}{\sqrt[5]{2}}}[/tex3]
Reescrevendo,
[tex3]N = 5^3\cdot\left(\frac{3125}{2}\cdot\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{3}}=5^3\cdot\left(\frac{5^5}{2^{\frac{6}{5}}}\right)^{\frac{1}{3}}[/tex3]
[tex3]N=\frac{5^{\frac{14}{3}}}{2^{\frac{2}{5}}}[/tex3]
Assim temos,
[tex3]\log_5 N=\log_5\frac{5^{\frac{14}{3}}}{2^{\frac{2}{5}}}=\frac{14}{3}-\frac{2}{5}\log_52[/tex3]
Mas,
[tex3]\log_52=\frac{\log2}{\log5}=\frac{p}{m}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\log_5 N=\frac{14}{3}-\frac{2}{5}.\frac{p}{m}[/tex3]
[tex3]\boxed{\log_5N=\frac{70m-6p}{15m}}[/tex3] . Letra B
-------------------------------------------
Problema 129
(IME-1968) Dado um triângulo isósceles, cujos lados são números inteiros de metros, sabe-se que os raios dos círculos ex-inscritos têm um produto 16 vezes o raio do círculo inscrito. Determinar os lados do triângulo.
Temos que,
[tex3]N = 125\cdot\sqrt[3]{\frac{1562,5}{\sqrt[5]{2}}}[/tex3]
Reescrevendo,
[tex3]N = 5^3\cdot\left(\frac{3125}{2}\cdot\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{3}}=5^3\cdot\left(\frac{5^5}{2^{\frac{6}{5}}}\right)^{\frac{1}{3}}[/tex3]
[tex3]N=\frac{5^{\frac{14}{3}}}{2^{\frac{2}{5}}}[/tex3]
Assim temos,
[tex3]\log_5 N=\log_5\frac{5^{\frac{14}{3}}}{2^{\frac{2}{5}}}=\frac{14}{3}-\frac{2}{5}\log_52[/tex3]
Mas,
[tex3]\log_52=\frac{\log2}{\log5}=\frac{p}{m}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\log_5 N=\frac{14}{3}-\frac{2}{5}.\frac{p}{m}[/tex3]
[tex3]\boxed{\log_5N=\frac{70m-6p}{15m}}[/tex3] . Letra B
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Problema 129
(IME-1968) Dado um triângulo isósceles, cujos lados são números inteiros de metros, sabe-se que os raios dos círculos ex-inscritos têm um produto 16 vezes o raio do círculo inscrito. Determinar os lados do triângulo.
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 12 Nov 2011, 16:01, em um total de 2 vezes.
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Nov 2011
13
22:35
Re: Maratona de Matemática IME/ITA
Solução do Problema 129
[tex3]r_a = \sqrt{\frac{p(p-b)(p-c)}{p-a}}[/tex3]
O mesmo é válido para os outros. Multiplicando:
[tex3]p \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = 16r[/tex3]
[tex3]p . A_{\triangle} = 16r[/tex3]
[tex3]A_{\triangle}[/tex3] para triângulos circunscritos pode ser escrita também como: [tex3]p.r[/tex3]
[tex3]p^2 . r = 16r[/tex3]
[tex3]\boxed{p = 4}[/tex3]
Se o perímetro é 8, os números são inteiros e o triãngulo é isósceles, só pode ser 3, 3 e 2.
--------------------------------------------------------
Problema 130
(ITA-2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par ?
a) 375
b) 465
c) 545
d) 585
e) 625
[tex3]r_a = \sqrt{\frac{p(p-b)(p-c)}{p-a}}[/tex3]
O mesmo é válido para os outros. Multiplicando:
[tex3]p \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = 16r[/tex3]
[tex3]p . A_{\triangle} = 16r[/tex3]
[tex3]A_{\triangle}[/tex3] para triângulos circunscritos pode ser escrita também como: [tex3]p.r[/tex3]
[tex3]p^2 . r = 16r[/tex3]
[tex3]\boxed{p = 4}[/tex3]
Se o perímetro é 8, os números são inteiros e o triãngulo é isósceles, só pode ser 3, 3 e 2.
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Problema 130
(ITA-2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par ?
a) 375
b) 465
c) 545
d) 585
e) 625
Editado pela última vez por poti em 13 Nov 2011, 22:35, em um total de 2 vezes.
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