Letra a:
Seja [tex3]z = a+bi[/tex3] . Temos:
[tex3]Re \left( \frac{z+2i}{z-2} \right) = \frac{1}{2} \therefore Re \left( \frac{a+ i \cdot (b+2}{(a-2) + bi} \right) = \frac{1}{2} \therefore \\\\ Re \left( \frac{[a + i \cdot (b+2)] \cdot [ (a-2) - bi}{(a-2)^2 - b^2i^2} \right) = \frac{1}{2} \therefore \\\\ Re \left( \frac{a^2 - 2a -abi + i \cdot (ab - 2b + 2a - 4) + b^2 + 2b}{a^2-4a+4+b^2} \right) = \frac{1}{2} \therefore \\\\ Re \left( \frac{ (a^2 - 2a + b^2 + 2b) + i \cdot (2a -2b - 4)}{a^2-4a+4+b^2} \right) = \frac{1}{2} \\\\ \Leftrightarrow \frac{a^2-2a+b^2+2b}{a^2-4a+4+b^2} = \frac{1}{2} \therefore 2a^2-4a+2b^2+4b = a^2-4a+8+b^2 \therefore \\\\ a^2 + b^2 + 4b - 8 = 0 \therefore a^2 + b^2 + 4b + 4 - 12 = 0 \therefore (a-0)^2 + (b+2)^2 = (2\sqrt2)^2[/tex3]
Circunferência de centro em [tex3](0,-2)[/tex3] e raio [tex3]\sqrt{8}[/tex3] .
Além disso, provando que o ponto [tex3](2,0)[/tex3] pertence à circunferência:
[tex3](2-0)^2 + (0+2)^2 = 8 \therefore 4 + 4 = 8 \therefore 8 = 8 \checkmark[/tex3]
Letra b:
Seja a reta [tex3](r): y = ax+b[/tex3] . Passa por [tex3](-2,0)[/tex3] . Assim:
[tex3]0 = -2a+b \therefore b = 2a[/tex3]
Se a reta é tangente a circunferência, a sua distância ao centro da circunferência é igual ao raio desta. Logo:
[tex3]\frac{|a \cdot 0 + -1\cdot (-2) + b||}{\sqrt{a^2+1}} = 2\sqrt2 \therefore 2|a+1| = \sqrt{a^2+1} \cdot 2\sqrt2 \therefore \\\\ a^2+2a+1 = 2 \cdot (a^2+1) \therefore -a^2 + 2a - 1 = 0 \therefore (a-1)^2 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Leftrightarrow b = 2[/tex3]
Assim, a equação da reta é: [tex3]y = x+2 \text{ ou } x - y + 2 = 0[/tex3]
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Problema 121
(FUVEST-2012) Considere todos os pares ordenados de números naturais [tex3](a,b)[/tex3] , em que [tex3]11 \leq a \leq 22[/tex3] e [tex3]43 \leq b \leq 51[/tex3] . Cada um desse pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado [tex3](a,b)[/tex3] de tal forma que a fração [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] seja irredutível e com denominador par?
a) [tex3]\frac{7}{27}[/tex3]
b) [tex3]\frac{13}{54}[/tex3]
c) [tex3]\frac{6}{27}[/tex3]
d) [tex3]\frac{11}{54}[/tex3]
e) [tex3]\frac{5}{27}[/tex3]
Alternativa e