Maratonas de MatemáticaV Maratona de Matemática IME/ITA

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Deleted User 25040
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Set 2020 10 14:17

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Deleted User 25040 »

Solução do problema 87
do enunciado temos:
[tex3](x^2-x)+k(y^2-y)=0[/tex3] define uma elipse, [tex3] k > 0[/tex3] , [tex3]c = 2 [/tex3]
[tex3](x^2-x)+\left(\frac{1}{2}\right)^2+k(y^2-y)+\left(\frac{\sqrt{k}}{2}\right)^2=0+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{k}}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+k\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1+k}{4}\\
\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{1+k}{4}}+\frac{k\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{k+1}{4}}=1\\
\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{1+k}{4}}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{k+1}{4k}}=1[/tex3]
[tex3]a^2=\frac{1+k}{4}[/tex3] [tex3]b^2 = \frac{k+1}{4k}[/tex3]
como k é positivo [tex3]b^2< a^2[/tex3] pois o numerador é igual e o denominador de b é maior
então
[tex3]2c = 2\iff c = 1[/tex3]
[tex3]c^2=a^2-b^2[/tex3]
[tex3]1=\frac{1+k}{4}-\frac{k+1}{4k}[/tex3]
[tex3]1=\frac{k(k+1)}{4k}-\frac{k+1}{4k}=\frac{k^2-1}{4k}[/tex3]
[tex3]k^2-1=4k[/tex3]
[tex3]k^2-4k-1=0[/tex3]
como [tex3]k > 0[/tex3]
[tex3]k = 2 + \sqrt{5}[/tex3]
substituindo p e q na nossa equação inicial da elipse
[tex3]p^2-p+(2+\sqrt{5})(q^2-q) = 0\\
(2+\sqrt{5})(q^2-q)=-p^2+p\\
2+\sqrt{5}=\frac{p-p^2}{q^2-q}[/tex3]
resposta: letra a)
Problema 88
Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer:
I. A negação de [tex3]x \in A\cap B[/tex3] é: [tex3]x\notin A\ ou\ x\notin B[/tex3]
II. [tex3]A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)[/tex3]
III. [tex3](A\text{ \ }B)\cup(B\text{ \ }A)=(A\cup B)\text{ \ }(A\cap B)[/tex3]
Destas é (são) falsa(s):
A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e III. E ( ) nenhum
Resposta

letra E)




mcarvalho
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Set 2020 10 21:27

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por mcarvalho »

Resolução do problema 88:

i) [tex3]x\notin A\text{ ou }x\notin B[/tex3] equivale a [tex3]A^C\cup B^C[/tex3] . Por Leis de Morgan: [tex3]A^C\cup B^C=(A\cap B)^C[/tex3] , que confere com a primeira expressão da afirmativa.
ii) Caso clássico, propriedade distributiva. Uma explicação intuitiva não-formal (questão objetiva): [tex3]A\cap (B\cup C)[/tex3] é tudo que está em A e tudo que está em B ou C. [tex3](A\cap B)\cup (A\cap C)[/tex3] é tudo que está em A e B ou tudo que está em A ou C; intuitivamente percebe-se que o A está em todos.
iii) [tex3](A\text{ \ }B)\cup(B\text{ \ }A)[/tex3] é tudo que está em A e não está em B, mais tudo que está em B e não está em A. A única coisa que sobra de fora é o "miolo", a interseção dos dois, conforme conta [tex3](A\cup B)\text{ \ }(A\cap B)[/tex3]

Problema 89:

(IME 1995-96) Um triângulo ABC tem base AB fixa sobre uma reta r. O vértice C desloca-se ao longo de uma reta s, paralela à reta r e a uma distância h da mesma. Determine a equação da curva descrita pelo ortocentro do triângulo ABC.
Resposta

[tex3]y=-\frac{x^2}{h}+\frac{\overline{AB}^2}{4h}[/tex3]

Última edição: mcarvalho (Qui 10 Set, 2020 21:29). Total de 1 vez.


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Jvrextrue13
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Jvrextrue13 »

Resolução do problema 89
Como a questão pediu a equação, vamos logo ao ponto. Será uma parábola com concavidade para baixo ( isso não é difícil de visualizar, mas talvez seja complicado de demonstrar matematicamente ) com equação do formato [tex3]\boxed{y=ax^2+bx+c}[/tex3]
Quando [tex3]A[/tex3] coincidir com a projeção ortogonal de [tex3]A[/tex3] na reta s, teremos que o ortocentro desse triângulo ( que será retângulo ) coincidirá com o ponto [tex3]A[/tex3] . De forma análoga sabemos que quando [tex3]C[/tex3] coincidir com a projeção de [tex3]B[/tex3] na reta s o ortocentro coincidirá com [tex3]B[/tex3] .
Quando [tex3]C[/tex3] coincidir com a projeção do ponto médio [tex3]M[/tex3] de [tex3]\overline{AB}[/tex3] , o triângulo será isósceles o ortocentro estará a uma altura [tex3]y[/tex3] do ponto [tex3]M[/tex3] que pode ser encontrada por uma semelhança de triângulos ( trace as alturas e faça a semelhança entre dois triângulos retângulos dentro do isósceles )
[tex3]\frac{y}{\frac{\overline{AB}}{2}}=\frac{\frac{\overline{AB}}{2}}{h}\\\boxed{y=\frac{\overline{AB^2}}{4h}}[/tex3]

Considerando um eixo [tex3]xMy[/tex3] direcionado para cima e para a direita, podemos encontrar a equação da parábola com os 3 pontos que já temos:
[tex3](1) \ 0=a(\frac{-\overline{AB}}{2})^2+b(\frac{-\overline{AB}}{2})+c\\(2) \ 0=a(\frac{\overline{AB}}{2})^2+b(\frac{\overline{AB}}{2})+c\\(3) \ \frac{\overline{AB^2}}{4h} = a0^2 + b0 + c[/tex3]
Resolvendo o sistema temos :

[tex3]\boxed{y=\frac{-x^2}{h}+\frac{\overline{AB^2}}{4h}}[/tex3]



Questão 90
(ITA 2017) Um triângulo retângulo com hipotenusa [tex3]c=2(1+\sqrt{6})[/tex3] está circunscrito a um círculo de raio unitário. Determina a área total da superfície do cone obtido ao girar o triângulo em torno do seu maior cateto.
Resposta

[tex3]2\pi(9+\sqrt{6}) [/tex3]
Última edição: Jvrextrue13 (Ter 24 Nov, 2020 13:12). Total de 1 vez.


Ensinar/ajudar é uma das melhores formas de fixar o que já foi estudado :D

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Tassandro
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Tassandro »

Resolução do problema 90

Sejam a e b os catetos. Usando o Teorema de Poncelet, temos que
[tex3]a+b=2+2(1+\sqrt6)=4+2\sqrt6\tag*{}[/tex3]
Pelo Teorema de Pitágoras, usando produtos notáveis e a relação obtida anteriormente, vem que
[tex3]a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=[2(1+\sqrt6)]^2\iff ab=6+4\sqrt6\tag*{}[/tex3]
Logo, a e b são raízes da equação
[tex3]x^2-(4+2\sqrt6)x+6+4\sqrt6=0\tag*{}[/tex3]
O seu discriminante vale [tex3](-4-2\sqrt6)^2-4(6+4\sqrt6)=16[/tex3] , assim [tex3]a=\frac{4+2\sqrt6+4}{2}=4+\sqrt6[/tex3] e [tex3]b=\frac{4+2\sqrt6-4}{2}=\sqrt6[/tex3] . Logo, nosso cone terá raio R da base igual a [tex3]\sqrt6[/tex3] e geratriz g igual a [tex3]2(1+\sqrt6)[/tex3] , logo, sua área total valerá
[tex3]πR(R+g)=2π(9+\sqrt6)\tag*{}[/tex3]

Problema 91

(IME 1999/2000) Considere a, b e c reais tais que [tex3]a< b< c[/tex3] . Prove que a equação abaixo possui exatamente duas raízes [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] tais que [tex3]a< x_1< b< x_2< c[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0\tag*{}[/tex3]


Dias de luta, dias de glória.

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CarlosBruno
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por CarlosBruno »

Vou tentar reanimar isso aqui, vamos lá !

[tex3]\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0 \therefore \frac{(x-b)(x-c) + (x-a)(x-c) + (x-a)(x-b)}{(x-a)(x-b)(x-c)} = 0
\\ \Leftrightarrow (x-b)(x-c) + (x-a)(x-c) + (x-a)(x-b)=0 \\
\therefore x^2-cx-bx+bc + x^2-cx-ax+ac +x^2-bx-ax+ab=0
\\ \therefore 3x^2 -x(2a+2b+2c)+ab+bc+ac=0[/tex3]

Para eu analisar se um número real está entre as duas raízes (caso do b) ou se está depois ou antes da raízes (caso do a e do c), usarei uma noção bastante analisado no FME a qual diz:

Considerando uma função polinomial do segundo grau do tipo [tex3]ax^2+bx+c, a\neq 0[/tex3] ; caso o produto [tex3]a \cdot f(\alpha) <0[/tex3] o alpha (numero real) estará entre as raízes, enquanto se [tex3]a \cdot f(\alpha) > 0[/tex3] o alpha estará depois ou antes das raízes.

Portanto, depois dessa breve explicação, teremos que :

[tex3]3 \cdot f(b) = 3(3b^2-b(2a+2b+2c)+ab+bc+ac)=3(3b^2-2ba-2b^2-2bc+ab+bc+ac) \\ \therefore 3 \cdot f(b) = 3(b^2-b(a+c) +ac)=3(b-a)(b-c)[/tex3]

Perceba que [tex3]a< b < c \therefore b-a>0 , \ e \ b-c <0 [/tex3]

Logo: [tex3]3(b-a)(b-c) <0[/tex3] , assim caracterizando que b estará entre as raízes

Finalizando a questão de maneira análoga ao b, mas analisando o a e o c

[tex3]3\cdot f(a) = 3(a^2-a(b+c)+bc)=3(a-b)(a-c) \therefore 3\cdot f(a) <0[/tex3] , caracterizando que a estará após ou antes da raízes; entretanto só poderá ser antes já que [tex3]a< b< c[/tex3] e o do meio já se encontra entre as raízes.

[tex3]3\cdot f(c) = 3(c^2-c(a+b)+ab)=3(c-a)(c-b)\therefore 3 \cdot f(c)>0[/tex3] , caracterizando que ela estará após as raízes, devido a desigualdade já apresentada anteriormente.

Conclusão: [tex3]a< x_1< b < x_2 < c[/tex3]

obs: já se fica provado a existência de que [tex3]x_1 \ e \ x_2[/tex3] são reais e não iguais, pelo fato de haver um número real (e diferente) entre os dois (caso impossível nas situações citadas)

Problema 91

(ITA-2014) Determine o conjunto de todos os valores de [tex3]x \in [0,2\pi][/tex3] que satisfazem, simultaneamente, a

[tex3]\begin{cases} \displaystyle
\frac{2\sen^2(x)+\sen(x)-1}{\cos(x)-1} \\ \tg(x) + \sqrt{3} < (1+\sqrt{3}\cotg(x))\cotg(x)
\end{cases}[/tex3]

Última edição: CarlosBruno (Qui 11 Nov, 2021 20:33). Total de 3 vezes.



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