Maratonas de Matemátical Maratona Olímpica de Teoria dos Números

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Ittalo25
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Set 2021 21 20:34

Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 79

Mesmo se considerarmos o zero como número natural, para [tex3]a=0 [/tex3] ou [tex3]b=0[/tex3] , teríamos [tex3]ab=0 [/tex3] quadrado perfeito. Então supomos [tex3]a,b \geq 1 [/tex3] .

[tex3]a+b =b\cdot (a-c) [/tex3]
[tex3](1-a)(b-1)+1+bc=0[/tex3]
[tex3](1-a)(b-1)+p^2-c+bc=0 [/tex3]
[tex3](b-1)(a-c-1) = p^2 [/tex3]
[tex3](b-1)(a-p^2) = p^2 [/tex3]

Primeiro caso:^
[tex3]\begin{cases}
a-p^2 = p^2 \\
b-1 = 1
\end{cases}\rightarrow \begin{cases}
a=2p^2 \\
b=2
\end{cases}\rightarrow \boxed{ab = 4p^2}[/tex3]
Segundo caso:
[tex3]\begin{cases}
a-p^2 = p \\
b-1 = p
\end{cases}\rightarrow \begin{cases}
a=p^2+p \\
b=p+1
\end{cases}\rightarrow \boxed{a+b = (p+1)^2}[/tex3]
Terceiro caso:
[tex3]\begin{cases}
a-p^2 = 1 \\
b-1 = p^2
\end{cases}\rightarrow \begin{cases}
a=p^2+1 \\
b=p^2+1
\end{cases}\rightarrow \boxed{ab = (p^2+1)^2}[/tex3]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 80
(Croácia - 2005) Encontre todos os dígitos x,y e z tais que o número [tex3]\overline{13xy45z}[/tex3] seja divisível por 792.
Resposta

x=8,y=0, z=6



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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Zhadnyy
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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Zhadnyy »

Solução do Problema 80
792 = 2³ . 3² . 11
para ser divisível por 11: 11 | z-5+4-y+x-3+1
para ser divisível por 9: 9 | 1+3+x+y+4+5+z
para ser divisível por 8: 8 | 45z
De III: z = 6, pois o único número entre 450 e 460 divisível por 8 é 456.
De I: 11 | z-y+x-3
Com a informação do z, 11 | x-y+3
De II: 9 | 13 + x+y+z
Com a informação do z, 9 | 19 + x+y
x+y+1 tem que ser divísivel por 9 [a]
x-y+3 tem que ser divisível por 11 [b
Acho que o jeito mais simples é testar x = {0, 1, 2... 9}.
Possibilidades:
Se x = 0, em [a], y = 8, mas em [b, y = 3.
Se x = 1, em [a], y = 7, mas em [b, y = 4
Se x = 2, em [a], y = 6, mas em [b, y = 5
Se x = 3, em [a], y = 5, mas em [b, y = 6
Se x = 4, em [a], y = 4, mas em [b, y = 7
Se x = 5, em [a], y = 3, mas em [b, y = 8
Se x = 6, em [a], y = 2, mas em [b, y = 9
Se x = 7, em [a], y = 1, mas em [b é impossível, pois y deveria ser 10.
Se x = 8, em [a], y = 0, e em [b também.
Se x = 9, em [a], y = -1, que também não serve.
Então a unica terna é (8, 0, 6).

Problema 81
(IMO-70) Determine todos os inteiros n tais que o conjunto {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} pode ser particionado em dois subconjuntos que o produto dos números de cada subconjunto é igual.
Resposta

não existe um conjunto assim.

Última edição: Zhadnyy (Sex 22 Out, 2021 14:31). Total de 2 vezes.


俺 に 勝てる の 和 俺 だけ だ - Aomine

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