Maratonas de Matemátical Maratona Olímpica de Teoria dos Números

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Ittalo25
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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 79

Mesmo se considerarmos o zero como número natural, para [tex3]a=0 [/tex3] ou [tex3]b=0[/tex3] , teríamos [tex3]ab=0 [/tex3] quadrado perfeito. Então supomos [tex3]a,b \geq 1 [/tex3] .

[tex3]a+b =b\cdot (a-c) [/tex3]
[tex3](1-a)(b-1)+1+bc=0[/tex3]
[tex3](1-a)(b-1)+p^2-c+bc=0 [/tex3]
[tex3](b-1)(a-c-1) = p^2 [/tex3]
[tex3](b-1)(a-p^2) = p^2 [/tex3]

Primeiro caso:^
[tex3]\begin{cases}
a-p^2 = p^2 \\
b-1 = 1
\end{cases}\rightarrow \begin{cases}
a=2p^2 \\
b=2
\end{cases}\rightarrow \boxed{ab = 4p^2}[/tex3]
Segundo caso:
[tex3]\begin{cases}
a-p^2 = p \\
b-1 = p
\end{cases}\rightarrow \begin{cases}
a=p^2+p \\
b=p+1
\end{cases}\rightarrow \boxed{a+b = (p+1)^2}[/tex3]
Terceiro caso:
[tex3]\begin{cases}
a-p^2 = 1 \\
b-1 = p^2
\end{cases}\rightarrow \begin{cases}
a=p^2+1 \\
b=p^2+1
\end{cases}\rightarrow \boxed{ab = (p^2+1)^2}[/tex3]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 80
(Croácia - 2005) Encontre todos os dígitos x,y e z tais que o número [tex3]\overline{13xy45z}[/tex3] seja divisível por 792.
Resposta

x=8,y=0, z=6



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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