Maratonas de Matemátical Maratona Olímpica de Teoria dos Números

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Ittalo25
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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 39

Seja [tex3]k> 1 [/tex3] e [tex3]\frac{x^2+y}{xy+1} = k\rightarrow y = \frac{x^2-k}{kx-1} \space \space \space \space (I)[/tex3]

y é um inteiro positivo, portanto: [tex3]\frac{x^2-k}{kx-1} \geq 1\rightarrow x\leq \frac{k-1}{x-k}[/tex3] . Disso sai que [tex3]\boxed{x>k} [/tex3] .

Também:
[tex3]kx-1|x^2-k [/tex3]
[tex3]kx-1|k^2 \cdot (x^2-k)-(kx-1) [/tex3]
[tex3]kx-1|k^2x^2-k^3-kx+1 [/tex3]
[tex3]kx-1|kx(kx-1) -k^3+1 [/tex3]
[tex3]kx-1|k^3-1 [/tex3]

Portanto:
[tex3]kx-1 = \frac{k^3-1}{a} \space \space \space \space (II)[/tex3]
[tex3]xa = \frac{k^3-1+a}{k}[/tex3]

Como [tex3]k|k^3 [/tex3] , então [tex3]k|a-1 [/tex3] . sendo assim: [tex3]a-1 \geq k \rightarrow a \geq k+1[/tex3] ou [tex3]a=1 [/tex3]

No primeiro caso:
[tex3]kx-1 = \frac{k^3-1}{a}[/tex3]
[tex3]kx-1 = \frac{k^3-1}{a} \leq \frac{k^3-1}{k+1}[/tex3]
[tex3]x\leq \frac{k^2+1}{k+1} < k[/tex3]
Contradição.

Então o único jeito é [tex3]a=1 [/tex3] , substituindo em (II): [tex3]x = k^2 [/tex3] , substituindo em (I) [tex3]y= k [/tex3] .

Agora falta o caso [tex3]k=1 [/tex3] :
[tex3]\frac{x^2+y}{xy+1} = 1[/tex3]
[tex3]x^2-xy+y-1 = 0[/tex3]
[tex3]x = \frac{y \pm \sqrt{y^2-4(y-1)}}{2} [/tex3]
[tex3]x = \frac{y + |y-2|}{2} [/tex3]
[tex3]x = \frac{y + y-2}{2} \rightarrow (x,y) = (y-1,y) [/tex3] ou [tex3]x = \frac{y - y+2}{2} \rightarrow (x,y) = (1,y) [/tex3]
Então existem infinitas formas de representar [tex3]k = 1[/tex3] , portanto não servem.

A solução é: [tex3](x,y) = (k^2,k) [/tex3] para qualquer inteiro positivo [tex3]k> 1[/tex3] .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 40
(Brasil - 2000) Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos?



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

goncalves3718
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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Solução do Problema 40

Seja [tex3]xy[/tex3] o número de dois algarismos.
Queremos:

[tex3]10x+y = 2xy \implies 2xy-10x-y = 0 \implies x(2y-10) - y = 0 \implies x(2y-10)=y[/tex3]

Como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são algarismos segue que:

[tex3]x,y \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex3]

-Para [tex3]y=0[/tex3] :

[tex3]-10x = 0 \implies x = 0[/tex3] (NÃO SERVE)

-Para [tex3]y=1[/tex3] :

[tex3]-8x= 1 \implies x=-\dfrac{1}{8}[/tex3] (NÃO SERVE)

-Para [tex3]y=2[/tex3] ;

[tex3]-6x= 2 \implies x = -\dfrac{1}{3}[/tex3] (NÃO SERVE)

-Para [tex3]y=4[/tex3] :

[tex3]-2x= 4 \implies x = -2[/tex3] (NÃO SERVE)

-Para[tex3]y=5[/tex3]

[tex3]0x = 5 \implies x = \dfrac{5}{0}[/tex3] (IMPOSSÍVEL)

-Para [tex3]y=6[/tex3]

[tex3]2x=6 \implies x=3[/tex3] (SERVE)

-Para [tex3]y=7[/tex3]

[tex3]4x=7 \implies x = \dfrac{7}{4}[/tex3] (NÃO SERVE)

-Para [tex3]y=8[/tex3]

[tex3]6x = 8 \implies x = \dfrac{4}{3}[/tex3] (NÃO SERVE)

-Para [tex3]y=9[/tex3]

[tex3]8x=9 \implies x = \dfrac{8}{9}[/tex3] (NÃO SERVE)

Única solução [tex3](x,y) = (3,6)[/tex3] e o número em questão é [tex3]36[/tex3] !

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 41

(Rússia-2001) Encontre todos os primos [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] tais que [tex3]p+q = (p-q)^3[/tex3] .

Última edição: goncalves3718 (Qui 08 Out, 2020 20:55). Total de 1 vez.



Deleted User 25200
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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Deleted User 25200 »

Solução do Problema 41

Um par óbvio é [tex3]p=5[/tex3] e [tex3]q=3[/tex3] , testando algumas possibilidades também achamos [tex3]p=-5[/tex3] e [tex3]q=-3[/tex3] .

Seja [tex3]p+q=(p-q)^3=k[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
p+q=k \\
p-q=\sqrt[3]{k}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]2p=k+\sqrt[3]{k}[/tex3]
[tex3]p=\frac{k+\sqrt[3]{k}}{2}[/tex3]

Para que [tex3]p[/tex3] seja natural, necessariamente, [tex3]k[/tex3] é um cubo perfeito.

Agora, [tex3]\sqrt[3]{k}=t[/tex3] e sabemos que [tex3]t|k[/tex3] . Ou seja:

[tex3]p=\frac{k+t}{2}=\frac{t(\frac{k}{t}+1)}{2}[/tex3] , se [tex3]t[/tex3] for par e maior que 2, [tex3]p[/tex3] não é primo, se [tex3]t[/tex3] for múltiplo e maior que 3, [tex3]p[/tex3] também não é primo. E mesmo que [tex3]t[/tex3] seja primo, [tex3]2|\left(\frac{k}{t}+1\right)[/tex3] . Portanto, [tex3]p[/tex3] não é primo para nenhum outro valor do que os apresentados. Todas essas considerações também servem para valores negativos.

[tex3]S=(5,3),(-5,-3)[/tex3]
Problema 42
(Eslovênia-2001) Para os inteiros positivos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] é verdadeira a igualdade [tex3]3x^2+x=4y^2+y[/tex3] . Mostre que [tex3]x-y[/tex3] é um quadrado perfeito.



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Ittalo25
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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 42

[tex3]3x^2-3y^2+x-y=y^2[/tex3]
[tex3](x-y)\cdot (3x+3y+1)=y^2[/tex3]
Pelo Lema de Euclides:
[tex3]mdc(x-y,3x+3y+1) = [/tex3]
[tex3]mdc(x-y,3x+3y+1-3x+3y) = [/tex3]
[tex3]mdc(x-y,6y+1) = [/tex3]
[tex3]mdc(x-y-6yx-x,6y+1 ) = [/tex3]
[tex3]mdc(y+6yx,6y+1 ) = [/tex3]
[tex3]mdc(1+6x,6y+1 ) = [/tex3]
[tex3]mdc(1+6x,6(y-x) ) = \boxed{1} [/tex3]
Portanto [tex3](x-y)[/tex3] e [tex3](3x+3y+1)[/tex3] são ambos quadrados perfeitos.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 43
(Suécia - 1991) Determine todos os inteiros positivos m e n tais que: [tex3]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn} = \frac{2}{5}[/tex3]


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AnthonyC
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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

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Solução do Problema 43

Multiplicando ambos os lados da equação por [tex3]mn[/tex3] :
[tex3]n+m-1={2\over5}mn[/tex3]
[tex3]5n+5m-5={2}mn[/tex3]
[tex3]5n+5m-2mn=5[/tex3]
[tex3]5n+5m-2mn-{25\over2}=5-{25\over2}[/tex3]
[tex3]\(m-{5\over2}\)\(-2n+5\)=-{15\over2}[/tex3]
[tex3]\(2m-{5}\)\({2}n-5\)=15[/tex3]
Pelo Princípio Fundamental da Aritmética, há apenas duas formas de fatorar o 15: [tex3]3\times 5[/tex3] ou [tex3]15\times 1[/tex3] . Assim, podemos montar os seguintes sistemas:
[tex3]\begin{cases}
2m-5=15 \\
2n-5=1
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=10 \\
n=3
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2m-5=1 \\
2n-5=15
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=3\\
n=10
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2m-5=5 \\
2n-5=3
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=5\\
n=4
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
10k-5=3 \\
2n-5=5
\end{cases}\implies \begin{cases}
m=4\\
n=5
\end{cases}[/tex3]

Assim chegamos nos pares [tex3](m,n)\in\{(5,4),(4,5),(10,3),(3,10)\}[/tex3] .

Problema 44
(Suécia-2002)
Encontre todos os naturais [tex3]n[/tex3] , tal que [tex3]n^{1\over n-7}[/tex3] é um inteiro.


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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 44

Sendo k inteiro, então: [tex3]n^{1\over n-7} = k\rightarrow n = k^{n-7}[/tex3]
Obviamente [tex3]n \geq 8[/tex3]
Para [tex3]n = 8[/tex3] , [tex3] k = n[/tex3]
Para [tex3]n = 9[/tex3] , [tex3]k^2 = 9\rightarrow k = 3[/tex3]
Para [tex3]n = 10[/tex3] , [tex3]k^3 = 10\rightarrow k \approx 2,15[/tex3]
Para [tex3]n = 11[/tex3] , [tex3]k^4 = 11\rightarrow k \approx 1,82[/tex3]

E obviamente:
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n-7}} =\lim_{a \rightarrow 0} (7+\frac{1}{a})^{a}=e^{\lim_{a \rightarrow 0} \frac{ln(7+\frac{1}{a})}{\frac{1}{a}}}[/tex3]
L'Hopital:
[tex3] e^{\lim_{a \rightarrow 0} \frac{a}{7a+1}}= e^0 = 1[/tex3]

O k vai tender para 1, então para [tex3]n \geq 10 [/tex3] , os valores inteiros possíveis para k são 1 ou 2.
Só que:
[tex3]k = n^{\frac{1}{n-7}}> 1[/tex3] , como [tex3]n \geq 10[/tex3] , [tex3]n> 1^{n-7} = 1[/tex3] , o que é verdade.
Também facilmente por indução:
[tex3] 2> n^{\frac{1}{n-7}} = k[/tex3]
[tex3] 2^{n-7}> n[/tex3]
[tex3]2^{n-6} > 2n > n+1[/tex3] , o que é verdade.

Então não tem jeito, as únicas soluções são: [tex3]\boxed{n \in \{8,9\}}[/tex3]

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 45
(Bangladesh - 2018) Encontre todos os pares de inteiros (m,n) tais que: [tex3]3\cdot (m^2+n^2) - 7 \cdot (m+n) = -4[/tex3]


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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por AnthonyC »

Solução do Problema 45
[tex3]3m^2+3n^2-7m-7n=-4[/tex3]
[tex3]3m^2-7m+3n^2-7n=-4[/tex3]
[tex3]m^2-{7\over3}m+n^2-{7\over3}n=-{4\over3}[/tex3]
[tex3]m^2-{7\over3}m+{49\over36}+n^2-{7\over3}n+{49\over36}=-{4\over3}+2\cdot{49\over36}[/tex3]
[tex3]\(m-{7\over6}\)^2+\(n-{7\over6}\)^2={50\over36}[/tex3]
[tex3]36\(m-{7\over6}\)^2+36\(n-{7\over6}\)^2=50[/tex3]
[tex3]\(6m-7\)^2+\(6n-7\)^2=50~~~~~(I)[/tex3]
[tex3]\(6m-7\)^2=50-\(6n-7\)^2[/tex3]

Como um quadrado é sempre maior ou igual que 0, o valor máximo de [tex3](6m-7)^2[/tex3] é [tex3]50[/tex3] e o valor mínimo é 0. Logo:
[tex3](6m-7)^2\leq50[/tex3]
[tex3]|6m-7|\leq\sqrt{50}[/tex3]
[tex3]-\sqrt{50}\leq 6m-7 \leq\sqrt{50}[/tex3]
Como estamos considerando apenas valores inteiros, podemos dizer que:
[tex3]-\sqrt{50}\leq-\sqrt{49}\leq 6m-7\leq49 \leq\sqrt{50}[/tex3]
[tex3]-7\leq 6m-7\leq7[/tex3]
[tex3]0\leq 6m\leq14[/tex3]
[tex3]0\leq m\leq{14\over6}[/tex3]
[tex3]0\leq m\leq2[/tex3]

Substituindo os possíveis resultados na equação [tex3](I)[/tex3] :
  • [tex3]m=0[/tex3] :
    [tex3]\(6\cdot0-7\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
    [tex3]\(-7\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
    [tex3]49+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
    [tex3]\(6n-7\)^2=1[/tex3]
    [tex3]6n-7=\pm1[/tex3]
    [tex3]n={8\over6}[/tex3] ou [tex3]n=1[/tex3]
    Assim, só temos o par [tex3](0,1)[/tex3] .
[tex3][/tex3]
  • [tex3]m=1[/tex3] :
    [tex3]\(6\cdot1-7\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
    [tex3]\(-1\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
    [tex3]1+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
    [tex3]\(6n-7\)^2=49[/tex3]
    [tex3]6n-7=\pm7[/tex3]
    [tex3]n={14\over6}[/tex3] ou [tex3]n=0[/tex3]
    Assim, só temos o par [tex3](1,0)[/tex3] .
[tex3][/tex3]
  • [tex3]m=2[/tex3] :
    [tex3]\(6\cdot2-7\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
    [tex3]\(5\)^2+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
    [tex3]25+\(6n-7\)^2=50[/tex3]
    [tex3]\(6n-7\)^2=25[/tex3]
    [tex3]6n-7=\pm5[/tex3]
    [tex3]n=2[/tex3] ou [tex3]n={2\over6}[/tex3]
    Assim, só temos o par [tex3](2,2)[/tex3] .
Logo, os possíveis pares são [tex3](m,n)\in\{(0,1),(1,0),(2,2)\}[/tex3]
Problema 46
(Irlanda-2009)
Encontre todos os naturais [tex3]a,b[/tex3] tais que [tex3](ab)^2-4(a+b)[/tex3] seja um quadrado perfeito.


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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Solução do problema 46

[tex3](ab)^2 - 4(a+b) = x^2 [/tex3]
Então:
[tex3](ab)^2 > x^2 [/tex3]
[tex3]ab-1 \geq x[/tex3]
[tex3](ab-1)^2 \geq (ab)^2 - 4(a+b)[/tex3]
[tex3]ab\leq 2a+2b[/tex3]

Supondo [tex3]b \geq a [/tex3]
[tex3]ab\leq 2a+2b \leq 4b[/tex3]
Assim: [tex3] a \leq 4 [/tex3]

Se [tex3]a = 4 [/tex3] , então:
[tex3]ab\leq 2a+2b[/tex3]
[tex3]b\leq 4[/tex3]
Não há soluções.

Se [tex3]a = 3 [/tex3] , então:
[tex3]ab\leq 2a+2b[/tex3]
[tex3]b\leq 6[/tex3]
Testando: [tex3](3,2)[/tex3]

Se [tex3]a = 2 [/tex3] , então:
[tex3]4b^2 - 4 \cdot (2+b) = x^2[/tex3]
[tex3](2b-1-x)(2b-1+x)= 9[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2b-1+x=9 \\
2b-1-x=1
\end{cases}\rightarrow b = 3 \space \space \space \space \space \begin{cases}
2b-1+x=3 \\
2b-1-x=3
\end{cases}\rightarrow b = 2[/tex3]

Se [tex3]a = 1 [/tex3] , então:
[tex3]b^2 - 4 \cdot (1+b) = x^2[/tex3]
[tex3](b-2-x)(b-2+x)= 8[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
b-2+x=8 \\
b-2-x=1
\end{cases}\rightarrow b \notin \mathbb{N} \space \space \space \space \space \begin{cases}
b-2+x=4 \\
b-2-x=2
\end{cases}\rightarrow b = 5[/tex3]

Então as soluções são: [tex3]\boxed {(2,3), (2,2), (1,5)} [/tex3]

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 47
(Grécia - 2003) Encontre todos os inteiros positivos n tais que [tex3]n^3-n^2+n-1 [/tex3] é um número primo.


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Re: l Maratona Olímpica de Teoria dos Números

Mensagem não lida por AnthonyC »

Solução do Problema 47:
[tex3]K=n^3-n^2+n-1[/tex3]
[tex3]K=n^2(n-1)+n-1[/tex3]
[tex3]K=(n^2+1)(n-1)[/tex3]

Para que um número [tex3]p[/tex3] seja primo, a única possível fatoração para este é [tex3]p=1\cdot p[/tex3] . Assim, temos duas opções para [tex3]K[/tex3] :
  • [tex3]n^2+1=p[/tex3] e [tex3]n-1=1[/tex3] :
    [tex3]n-1=1[/tex3]
    [tex3]n=2[/tex3]

    [tex3]n^2+1=p[/tex3]
    [tex3]2^2+1=p[/tex3]
    [tex3]5=p[/tex3]
[tex3][/tex3]
[tex3][/tex3]
  • [tex3]n^2+1=1[/tex3] e [tex3]n-1=p[/tex3] :
    [tex3]n^2+1=1\implies n^2=0\implies n=0[/tex3]
    Como estamos interessados apenas em inteiros positivos, então não há soluções neste caso.
Logo, o único número que satisfaz é [tex3]n=2[/tex3]
Problema 48
(Inglaterra-2009)
Encontre todos os números inteiros não negativos [tex3]a,b[/tex3] tais que [tex3]\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{2009}[/tex3] .



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