Maratonas de MatemáticaV Maratona de Matemática IME/ITA

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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por null »

Solução do problema 87
do enunciado temos:
[tex3](x^2-x)+k(y^2-y)=0[/tex3] define uma elipse, [tex3] k > 0[/tex3] , [tex3]c = 2 [/tex3]
[tex3](x^2-x)+\left(\frac{1}{2}\right)^2+k(y^2-y)+\left(\frac{\sqrt{k}}{2}\right)^2=0+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{k}}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+k\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1+k}{4}\\
\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{1+k}{4}}+\frac{k\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{k+1}{4}}=1\\
\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{1+k}{4}}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{k+1}{4k}}=1[/tex3]
[tex3]a^2=\frac{1+k}{4}[/tex3] [tex3]b^2 = \frac{k+1}{4k}[/tex3]
como k é positivo [tex3]b^2< a^2[/tex3] pois o numerador é igual e o denominador de b é maior
então
[tex3]2c = 2\iff c = 1[/tex3]
[tex3]c^2=a^2-b^2[/tex3]
[tex3]1=\frac{1+k}{4}-\frac{k+1}{4k}[/tex3]
[tex3]1=\frac{k(k+1)}{4k}-\frac{k+1}{4k}=\frac{k^2-1}{4k}[/tex3]
[tex3]k^2-1=4k[/tex3]
[tex3]k^2-4k-1=0[/tex3]
como [tex3]k > 0[/tex3]
[tex3]k = 2 + \sqrt{5}[/tex3]
substituindo p e q na nossa equação inicial da elipse
[tex3]p^2-p+(2+\sqrt{5})(q^2-q) = 0\\
(2+\sqrt{5})(q^2-q)=-p^2+p\\
2+\sqrt{5}=\frac{p-p^2}{q^2-q}[/tex3]
resposta: letra a)
Problema 88
Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer:
I. A negação de [tex3]x \in A\cap B[/tex3] é: [tex3]x\notin A\ ou\ x\notin B[/tex3]
II. [tex3]A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)[/tex3]
III. [tex3](A\text{ \ }B)\cup(B\text{ \ }A)=(A\cup B)\text{ \ }(A\cap B)[/tex3]
Destas é (são) falsa(s):
A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e III. E ( ) nenhum
Resposta

letra E)



[tex3]{\color{Gray}\text{busquem conhecimento}}[/tex3]
[tex3]{\color{CornflowerBlue}\text{ET bilu}}[/tex3]

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mcarvalho
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por mcarvalho »

Resolução do problema 88:

i) [tex3]x\notin A\text{ ou }x\notin B[/tex3] equivale a [tex3]A^C\cup B^C[/tex3] . Por Leis de Morgan: [tex3]A^C\cup B^C=(A\cap B)^C[/tex3] , que confere com a primeira expressão da afirmativa.
ii) Caso clássico, propriedade distributiva. Uma explicação intuitiva não-formal (questão objetiva): [tex3]A\cap (B\cup C)[/tex3] é tudo que está em A e tudo que está em B ou C. [tex3](A\cap B)\cup (A\cap C)[/tex3] é tudo que está em A e B ou tudo que está em A ou C; intuitivamente percebe-se que o A está em todos.
iii) [tex3](A\text{ \ }B)\cup(B\text{ \ }A)[/tex3] é tudo que está em A e não está em B, mais tudo que está em B e não está em A. A única coisa que sobra de fora é o "miolo", a interseção dos dois, conforme conta [tex3](A\cup B)\text{ \ }(A\cap B)[/tex3]

Problema 89:

(IME 1995-96) Um triângulo ABC tem base AB fixa sobre uma reta r. O vértice C desloca-se ao longo de uma reta s, paralela à reta r e a uma distância h da mesma. Determine a equação da curva descrita pelo ortocentro do triângulo ABC.
Resposta

[tex3]y=-\frac{x^2}{h}+\frac{\overline{AB}^2}{4h}[/tex3]

Última edição: mcarvalho (Qui 10 Set, 2020 21:29). Total de 1 vez.


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