Maratonas de MatemáticaV Maratona de Matemática IME/ITA

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futuromilitar
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por futuromilitar » Ter 04 Out, 2016 15:07

Solução Problema 60

Fatorando a segunda:

[tex3](xy)^2\cdot (x-y)-2xy\cdot (x-y)=6[/tex3]

[tex3](x-y)\cdot [(xy)^2-2xy]=6[/tex3]

Substituindo a primeira:
[tex3](5-xy)\cdot [(xy)^2-2xy]=6[/tex3]

Fazendo [tex3]xy=k:[/tex3]
[tex3]k^3-7k^2+10k+6=0[/tex3]

Se [tex3]x,y\,\in\,\,\mathbb{Z}\,\therefore\,\,k\,\in\,\, \mathbb{Z}[/tex3]

De acordo como teorema das raízes racionais a possíveis raízes serão: [tex3]\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 6[/tex3]

Testando as raízes apenas [tex3]k=3[/tex3] satisfaz.

Logo,

[tex3]\begin{cases}x-y=2\\xy=3\end{cases}[/tex3]

[tex3](x,y)=(3,1);(-1,-3)[/tex3]

Substituindo os pares:
[tex3]\boxed{x^3+y^2+x+y=38\,\,\text{ou}\,\,6}[/tex3]

Letra E

Problema 61

(IME-2014) Descreva o lugar geométrico do número complexo z que atende à equação

[tex3]\arg(z-z_{1})- \arg(z-z_{2})-\arg(z-z_{3})=k\pi ,[/tex3]

em que [tex3]z_{1}[/tex3] é real , [tex3]z_{2}[/tex3] e [tex3]z_{3}[/tex3] são complexos conjugados com parte imaginária não nula e k é um número inteiro.

Obs: arg(z) é o argumento do número complexo z
Resposta

União da circunferência descrita com o eixo real.

Editado pela última vez por futuromilitar em Ter 04 Out, 2016 15:07, em um total de 3 vezes.


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Dez 2016 06 16:06

Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Ter 06 Dez, 2016 16:06

Solução do Problema 61

Vamos usar a propriedade de que [tex3]\arg\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\arg(z_{1})-\arg(z_{2}), z_{2} \neq 0[/tex3]

Chamando [tex3]z=x+yi[/tex3] e [tex3]z_{2}=a+bi[/tex3]

Como o argumento só é definido para complexos não nulos, temos:

[tex3]\arg \left( \frac{ z-z_{1} }{ \left(z-z_{2}\right) \left( z - \overline{z_{2}}\right)}\right)=k \pi[/tex3]

E como [tex3]k[/tex3] varia nos números inteiros, o complexo tem que ser real, e portanto, igual ao seu conjugado.

Ou seja:

[tex3]\left(\frac{z-z_{1}}{\left(z-z_{2}\right)\left(z-\overline{z_{2}}\right)}\right)= \left(\frac{\overline{z}-z_{1}}{\left(\overline{z}-\overline{z_{2}}\right)\left(\overline{z}-z_{2}\right)}\right)[/tex3]

Fazendo as multiplicações e substituições e lembrando que [tex3]z \cdot \overline{z}=|z|^2[/tex3] chegamos em:

[tex3](x-z_{1})^2+y^2=(a-z_{1})^2+b^2[/tex3] , que é a equação reduzida de uma circunferência.

Problema 62

(ITA 84) Sabendo que [tex3]n[/tex3] é um número natural que [tex3]\frac{(\sqrt{3}+i)^n}{3i}[/tex3] é um número real, podemos afirmar que:

a) [tex3]n=6k,\, k=1,2,3...[/tex3]
b) [tex3]n=3(2k+1),\,k=0,1,2,3...[/tex3]
c) [tex3]n=3k,\,k=0,1,2,3...[/tex3]
d) [tex3]n=k,\,k=1,2,3...[/tex3]
e) não existe valor de [tex3]n[/tex3] natural tal que o número dado seja real
Resposta

Gabarito a

Editado pela última vez por brunoafa em Ter 06 Dez, 2016 16:06, em um total de 5 vezes.


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caju
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por caju » Sex 20 Jan, 2017 20:46

Solução do Problema 62

Vamos quebrar a fração em dois números complexos, [tex3]Z[/tex3] o numerador, e [tex3]Q[/tex3] o denominador.

[tex3]\frac{Z}{Q}=\frac{(\sqrt{3}+i)^n}{3i}[/tex3]

[tex3]Z=\sqrt{3}+i\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{|Z|=2}\,\,\text{ e }\,\,\,\boxed{\arg(Z)=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}}[/tex3]

[tex3]Q=3i\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{|Q|=3}\,\,\text{ e }\,\,\,\boxed{\arg(Q)=\frac{\pi}{2}+2k'\pi,\,k'\in\mathbb{Z}}[/tex3]

Agora podemos escrever a fração do enunciado na notação de Euler para números complexos:

[tex3]\frac{Z}{Q}=\frac{(\sqrt{3}+i)^n}{3i}=\frac{\left[2\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)}\right]^n}{3\cdot e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}}=\frac{2^n\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n}}{3\cdot e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}}[/tex3]

Podemos efetuar a divisão dos números com base [tex3]e[/tex3] :

[tex3]\frac{2\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n}}{3\cdot e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}}=\frac{2}{3}\cdot e^{\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n-\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)}[/tex3]

Agora, para esse número ser um número real, o argumento do número complexo que está ali deve ser [tex3]k''\pi,\,\,k''\in\mathbb{Z}[/tex3] . Efetuando a igualdade:

[tex3]\left(\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)\cdot n-\left(\frac{\pi}{2}+2k'\pi\right)=k''\pi[/tex3]

[tex3]\frac{n\pi}{6}+2kn\pi-\frac{\pi}{2}-2k'\pi=k''\pi[/tex3]

[tex3]\frac{n\pi}{6}={\color{red}k''\pi+2k'\pi-2kn\pi}+\frac{\pi}{2}[/tex3]

Note que o termo marcado em vermelho acima, nada mais é do que um número inteiro de meias voltas, ou seja, podemos substituir por [tex3]{\color{red}k''''\pi},\,\,\,k''''\in\mathbb{Z}[/tex3]

[tex3]\frac{n\pi}{6}=k''''\pi+\frac{\pi}{2}[/tex3]

[tex3]n=6k''''+3\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{n=3(k+1),\,\,\,k\in\mathbb{Z}}[/tex3]

Problema 63 (Sugestão do colega LucasPinafi, )

(ITA 2009) Suponha a equação algébrica, [tex3]\boxed{x^{11} + \sum_{n=1}^{10} a_n x^n + a_0 = 0}[/tex3] tenha coeficientes reais [tex3]a_0,\,a_1,\, \dots ,\,a_{10}[/tex3] tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma [tex3]\beta + i \gamma_n[/tex3] , em que [tex3]\beta,\,\gamma_n \in \mathbb{R}[/tex3] e os [tex3]\gamma_n[/tex3] , [tex3]n = 1,\,2,\,\dots,\,11[/tex3] formam uma progressão aritmética de razão real [tex3]\gamma \neq 0[/tex3] . Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma desla é verdadeira ou falsa, justificando suas respostas.

I. Se [tex3]\beta = 0[/tex3] , então [tex3]a_0 = 0[/tex3] .
II. Se [tex3]a_{10} = 0[/tex3] , então [tex3]\beta = 0[/tex3]
III. Se [tex3]\beta = 0[/tex3] , então [tex3]a_1 = 0[/tex3]
Resposta

V, V, F
Editado pela última vez por caju em Sex 20 Jan, 2017 20:46, em um total de 4 vezes.


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LucasPinafi
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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por LucasPinafi » Seg 23 Jan, 2017 11:33

Solução da Questão 63

Consideremos a equação algébrica,
[tex3]x^{11} + \sum_{i=1}^{10} a_i x^i + a_0 = 0[/tex3]
onde todos os coeficientes são reais. Sabemos que, numa equação algébrica de coeficientes reais, [tex3]z = a + bi[/tex3] é solução, então [tex3]\overline{z} = a - bi[/tex3] também é solução. Isso implica que, sempre que estamos trabalhando com equações algébricas de coeficientes reais, há um número par de raízes complexas não reais. Como a equação dada é de grau 11, podemos de antemão saber que há 1 raiz real, já que as demais são complexas. Ora, como os [tex3]\gamma_n[/tex3] estão em P.A., já podemos prever também que a raiz real será [tex3]\beta[/tex3] .
I. Como [tex3]a_0 = \prod_{i=1}^{11}x_i[/tex3] onde [tex3]x_i[/tex3] são as raízes da equação, então como há única raiz real, que é [tex3]\beta[/tex3] vale zero, por hipótese, segue que [tex3]a_0 = 0\cdot \prod_{i=2}^{11} x_i =0[/tex3] . Logo, [tex3]\beta = 0[/tex3] implica [tex3]a_0 = 0[/tex3] .
II. Se [tex3]a_{10} = 0 \Longrightarrow \sum_{i=1}^{11} x_i =0 \therefore 11 \beta = 0 \therefore \beta = 0[/tex3]
III. [tex3]a_1 = x_1 x_2 \dots x_{10} + \cdots x_2 x_3\dots x_{11}[/tex3] . Suponha que [tex3]x_1[/tex3] seja a raiz real que vale 0. Assim, temos [tex3]a_1 = 0 + 0 +\cdots + x_2 x_3 \dots x_{11}[/tex3] . Tal produto é real e não nulo, pois é a soma dos módulos das raízes complexas com [tex3]\beta = 0[/tex3] .
Logo, V, V, F.

Questão 64 [ITA]

Encontre os pares [tex3](\alpha , \beta) \in \left] 0, \frac{\pi} 2 \right[ \times \left]0 , \frac \pi 2 \right[[/tex3] que satisfazem o sistema [tex3]\begin{cases} (\tan \alpha + \cot \beta) \cos \alpha \sen \beta - 2 \cos^2 (\alpha - \beta) = -1 \\ \sqrt 3 \sin(\alpha + \beta) + \cos (\alpha + \beta ) = \sqrt 3 \end{cases}[/tex3]
Resposta

[tex3](\alpha , \beta ) = \left( \frac \pi 4 , \frac \pi 4 \right)\vee \left(\frac \pi {12} , \frac \pi {12} \right)[/tex3]
Editado pela última vez por LucasPinafi em Seg 23 Jan, 2017 11:33, em um total de 1 vez.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17092) » Ter 24 Jan, 2017 18:59

Solução do Problema 64

[tex3]\begin{cases} (\tan \alpha + \cot \beta) \cos \alpha \sen \beta - 2 \cos^2 (\alpha - \beta) = -1 \\ \sqrt 3 \sin(\alpha + \beta) + \cos (\alpha + \beta ) = \sqrt 3 \end{cases}[/tex3]
Manipulando a primeira equação:
[tex3](\frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sen \beta}) \cos \alpha \sen \beta - 2 \cos^2 (\alpha - \beta) = -1[/tex3] => [tex3]\sen \alpha \sen \beta + \cos \beta \cos\alpha - 2 \cos^2 (\alpha - \beta) = -1[/tex3] => [tex3]\cos(\alpha - \beta) -2 \cos^2(\alpha - \beta) = -1[/tex3] => [tex3]2\cos^2(\alpha - \beta) - \cos(\alpha - \beta) - 1 = 0[/tex3] (I)
Manipulando a segunda equação:
[tex3]\sqrt 3 \sin(\alpha + \beta) + \cos (\alpha + \beta ) = \sqrt 3[/tex3] x(1/2) => [tex3]\frac{\sqrt 3}{2} \sin(\alpha + \beta) + \frac{1}{2}\cos (\alpha + \beta ) = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex3]
Como [tex3]cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt3}{2}[/tex3] e [tex3]sen(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}[/tex3] :
[tex3]\frac{\sqrt 3}{2} \sin(\alpha + \beta) + \frac{1}{2}\cos (\alpha + \beta ) = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex3] => [tex3]cos(\frac{\pi}{6}) \sin(\alpha + \beta) + \sen(\frac{\pi}{6}) \cos (\alpha + \beta ) = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex3] => [tex3]\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha + \beta) = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex3] (II)

De (I), nós tiramos por Bhaskara que:
[tex3]\cos(\alpha -\beta) = \frac{1 \pm 3}{4}[/tex3] => [tex3]\cos(\alpha -\beta) = 1[/tex3] (IA) ou [tex3]\cos(\alpha -\beta) = \frac{-1}{2}[/tex3] (IB)
De (IA):
[tex3]\alpha - \beta = 0 + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3]
De (IB):
[tex3]\alpha - \beta = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3]
Como [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] encontram-se no 1.º quadrante:
[tex3]\alpha - \beta = 0[/tex3] => [tex3]\alpha = \beta[/tex3] (A)

Para (II), nós tiramos que:
[tex3]\frac{\pi}{6} + \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3] => [tex3]\alpha + \beta = \frac{\pi}{6}[/tex3] (B)
[tex3]\frac{\pi}{6} + \alpha + \beta = \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3] => [tex3]\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}[/tex3] (C)
Considerando que [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] encontram-se no 1.º quadrante.

Com (A), (B) e (C) montamos um sistema:
[tex3]\begin{cases} \alpha = \beta \\ \alpha + \beta = \frac{\pi}{6} \ ou \ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \end{cases}[/tex3]
Para (A) e (B):
[tex3]\begin{cases} \alpha = \beta \\ \alpha + \beta = \frac{\pi}{6} \end{cases}[/tex3]
[tex3]\alpha + \alpha = \frac{\pi}{6}[/tex3] => [tex3]2\alpha = \frac{\pi}{6}[/tex3] => [tex3]\alpha = \frac{\pi}{12}[/tex3]
Como [tex3]\alpha = \beta[/tex3] :
[tex3]\beta = \frac{\pi}{12}[/tex3]
Para (A) e (C):
[tex3]\begin{cases} \alpha = \beta \\ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \end{cases}[/tex3]
[tex3]\alpha + \alpha = \frac{\pi}{2}[/tex3] => [tex3]2\alpha = \frac{\pi}{2}[/tex3] => [tex3]\alpha = \frac{\pi}{4}[/tex3]
Como [tex3]\alpha = \beta[/tex3] :
[tex3]\beta = \frac{\pi}{4}[/tex3]
Portanto, os pares que satisfazem o sistema são: [tex3]\left(\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)[/tex3] e [tex3]\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)[/tex3]

Problema 65

(IME 2016) Um hexágono é dividido em 6 triângulos equiláteros. De quantas formas podemos colocar os números de 1 a 6 em cada triângulo, sem repetição, de maneira que a soma dos números em três triângulos adjacentes seja sempre múltiplo de 3? Soluções obtidas por rotação ou reflexão são diferentes, portanto as figuras abaixo mostram duas soluções distintas.
maxresdefault.jpg
maxresdefault.jpg (9.38 KiB) Exibido 1634 vezes
(A) 12
(B) 24
(C) 36
(D) 48
(E) 96
Resposta

Alternativa D
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17092) em Ter 24 Jan, 2017 18:59, em um total de 1 vez.



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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Qui 09 Mar, 2017 15:34

Resolução do Problema 65:

Bom, eu não sei se minha solução está certa, e nem se é a mais correta, mas não entendi a forma que os cursinhos resolveram usando "congruência", até hoje não entendo isso.

Se alguém souber um forma melhor ou quiser corrigir algum erro meu, pode mandar a resolução que eu arrumo sem problemas.

Para "criarmos" números que somados são múltiplos de 3, temos as seguintes possibilidades:

12,3 - 1,26 - 1,3,5 - 2,3,5 - 2,4,6 - 3,2,4 - 3,4,5 - 4,5,6 - 4,3,5 -

Percebam que para escolher o primeiro número eu tenho 6 possibilidades. Digamos que o escolhido foi o número 1, ele pode vir acompanhando do 2,3,5 ou 6, ou seja, 4 possibilidades, e uma vez escolhido o 2, por exemplo, são duas possibilidades. Ou uma caso o 3 tivesse sido escolhido. Raciocínio análogo para a parte "de cima". Não tenho certeza se estou certo.
screenshot-comentario.fariasbrito.com.br-2017-03-09-15-08-04.png
screenshot-comentario.fariasbrito.com.br-2017-03-09-15-08-04.png (5.66 KiB) Exibido 1563 vezes

No final, pelo princípio da multiplição: [tex3]6 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = \boxed{48}[/tex3]

Problema 66:

(ITA 83) Um general possui n soldados para tomar uma posição inimigo. Desejando efetuar um ataque com dois grupos, um front com r soldados e outro da retaguarda com s soldados (r+s=n), ele poderá dispor seus homens de:

a) [tex3]\frac{n!}{(r+s)!}[/tex3]
b) [tex3]\frac{n!}{r! s!}[/tex3]
c) [tex3]\frac{n!}{(rs)!}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2(n)!}{(r+s)!}[/tex3]
e) [tex3]\frac{2(n)!}{r!s!}[/tex3]
Resposta

Letra B.
Editado pela última vez por brunoafa em Qui 09 Mar, 2017 15:34, em um total de 3 vezes.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por caju » Qua 07 Jun, 2017 15:28

Resolução do Problema 66

Tendo [tex3]n[/tex3] soldados, ao escolher os [tex3]r[/tex3] soldados para o front, o restante será o time da retaguarda.

Desta forma, basta escolher, dentre os [tex3]n[/tex3] soldados, [tex3]r[/tex3] para o front e saberemos a quantidade de maneiras que o general poderá dispor seus homens.

Como a ordem de escolha não interessa, estamos lidando com um caso de Combinação de [tex3]n[/tex3] homens tomados [tex3]r[/tex3] a [tex3]r[/tex3] :

[tex3]C_n^r=\frac{n!}{r!\cdot(n-r!)}[/tex3]

Como sabemos que [tex3]n=r+s[/tex3] , podemos escrever [tex3]n-r=s[/tex3] e substituir na expressão acima:

[tex3]C_n^r=\boxed{\frac{n!}{r!\cdot s!}}[/tex3]

Resposta letra B



Problema 67

(ITA - 1986) Considere os números reais não nulos [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] , [tex3]c[/tex3] , e [tex3]d[/tex3] em progressão geométrica tais que [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são raízes da equação (em [tex3]x[/tex3] ) [tex3]x^3+Bx^2-2Bx+D=0[/tex3] , onde [tex3]B[/tex3] e [tex3]D[/tex3] são números reais e [tex3]B>0[/tex3] . Se [tex3]cd-ac=-2B[/tex3] , então:

a) [tex3](a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2[/tex3] e [tex3]b^2+c^2+d^2=\frac{16B^2}{B^2+4B}[/tex3]

b) [tex3](a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2[/tex3] e [tex3]a^2+b^2+c^2=\frac{16B}{B^2+4}[/tex3]

c) [tex3](a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)[/tex3] e [tex3]b^2+c^2+d^2=\frac{16B}{B+4}[/tex3]

d) [tex3](a^2+b^2+c^2)(b+c+d)=(ab+bc+cd)^2[/tex3] e [tex3]a^2+b^2+c^2=\frac{16B}{B+4}[/tex3]

e) [tex3](a^2+b^2+c^2)(b+c+d)=(ab+bc+cd)^2[/tex3] e [tex3]a^2+b^2+c^2=\frac{B+4}{16B}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em Qua 07 Jun, 2017 15:28, em um total de 1 vez.


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Re: V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por brunoafa » Ter 23 Out, 2018 23:19

Desistiram, pessoal?



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