Olá,
stefanycastro.
Primeiramente, podemos identificar a frequência de rotação da manivela, dada por [tex3]\frac{120}{60} = 2 \text { Hz}.[/tex3]
Além disso, como a polia
A está conectada a manivela, a polia possui a mesma frequência da manivela. Por outro lado, pela transmissão de movimento por correia, temos que a frequência será inversamente proporcional ao raio, ou seja, como o raio da polia
B é
cinco vezes menor, sua frequência será
cinco vezes maior que a frequência da polia
A, isto é, [tex3]10 \text { Hz}.[/tex3]
Agora, note que a polia que a mangueira está enrolada, vou nomear por polia
C, possui um comprimento de [tex3]120 \text { cm}.[/tex3]
Quando a polia começa enrola a mangueira, podemos fazer que:
[tex3]\text {C’} = 2\pi \cdot \(\frac{40 }{2} + \underbrace{4}_{\text{espessura}}\)= 144 \text { cm }[/tex3]
Para a próxima volta:
[tex3]\text{C’’} = 2\pi \cdot \( \frac{40}{2} + 8\) = 168 \text { cm }[/tex3]
Para enésima volta:
[tex3]\text C_n= 2\pi \cdot \(\frac{40}{2} + 4n \)[/tex3]
Portanto, o somatório de [tex3]n=1[/tex3]
até o enésimo termo precisa ser igual ao comprimento da mangueira esticada:
[tex3]5000 = \frac{\(120 + \text {a}_n \) \cdot n}{2}; \,\,\text a_n = 120 + (n-1) \cdot 24 = 96 + 24 n[/tex3]
Ou seja:
[tex3]10000 = \( 120 + 96 + 24 n \) \cdot n[/tex3]
Disso, vamos obter uma equação quadrática, com raízes [tex3]n_1 \approx -25,4[/tex3]
e [tex3]n_2 \approx 16, 4.[/tex3]
Como queremos valores positivos, apenas a segunda raiz é válida. Agora, podemos procurar o tempo para desenrolar a mangueira:
[tex3]\text v_\text c = \frac{n \cdot 2\pi \cdot \text R_\text c}{\Delta \text t} \iff \Delta \text t = \frac{n \cdot 2\pi \cdot \text R_\text c}{\omega_\text c \cdot \text R_\text c}; \, \omega_\text c = \omega_\text b[/tex3]
Podemos substituir os valores e obter o valor para o tempo:
[tex3]\Delta \text t = \frac{16,4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 0,2}{\frac{2\cdot 3}{\frac{1}{10}}\cdot 0,2} \implies \Delta \text t = 1,64 \text { s }[/tex3]
Portanto, o item está
correto.