Física I(UNIRIO) MCU Tópico resolvido

Mecânica: Estática e Dinâmica

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stefanycastro
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(UNIRIO) MCU

Mensagem não lida por stefanycastro »

O mecanismo apresentado na figura anterior é utilizado para enrolar mangueiras após terem sido usadas no combate a incêndios. A mangueira é enrolada sobre si mesma, camada sobre camada, formando um carretel cada vez mais espesso.
oiii.jpg
oiii.jpg (8.59 KiB) Exibido 2564 vezes
O diâmetro da polia A é igual a 50 cm e o diâmetro da polia B é igual a 10cm. A manivela é girada com movimento uniforme realizando cento e vinte rotações por minuto. Adotando \pi = 3, julgue os item a seguir.
(1) Se a polia em que a mangueira é enrolada possui diâmetro igual a 40cm e a mangueira possui 50m de comprimento e 4,0cm de espessura, podemos afirmar que, se a mangueira se encontra completamnete desenrolada, os bombeiros gastarão menos de 2,0s para enrolá-la.
Resposta

Certo

Última edição: stefanycastro (Dom 20 Mar, 2016 09:03). Total de 1 vez.



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Planck
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Re: (UNIRIO) MCU

Mensagem não lida por Planck »

Olá, stefanycastro.

Primeiramente, podemos identificar a frequência de rotação da manivela, dada por [tex3]\frac{120}{60} = 2 \text { Hz}.[/tex3] Além disso, como a polia A está conectada a manivela, a polia possui a mesma frequência da manivela. Por outro lado, pela transmissão de movimento por correia, temos que a frequência será inversamente proporcional ao raio, ou seja, como o raio da polia B é cinco vezes menor, sua frequência será cinco vezes maior que a frequência da polia A, isto é, [tex3]10 \text { Hz}.[/tex3]

Agora, note que a polia que a mangueira está enrolada, vou nomear por polia C, possui um comprimento de [tex3]120 \text { cm}.[/tex3] Quando a polia começa enrola a mangueira, podemos fazer que:

[tex3]\text {C’} = 2\pi \cdot \(\frac{40 }{2} + \underbrace{4}_{\text{espessura}}\)= 144 \text { cm }[/tex3]

Para a próxima volta:

[tex3]\text{C’’} = 2\pi \cdot \( \frac{40}{2} + 8\) = 168 \text { cm }[/tex3]

Para enésima volta:

[tex3]\text C_n= 2\pi \cdot \(\frac{40}{2} + 4n \)[/tex3]

Portanto, o somatório de [tex3]n=1[/tex3] até o enésimo termo precisa ser igual ao comprimento da mangueira esticada:

[tex3]5000 = \frac{\(120 + \text {a}_n \) \cdot n}{2}; \,\,\text a_n = 120 + (n-1) \cdot 24 = 96 + 24 n[/tex3]

Ou seja:

[tex3]10000 = \( 120 + 96 + 24 n \) \cdot n[/tex3]

Disso, vamos obter uma equação quadrática, com raízes [tex3]n_1 \approx -25,4[/tex3] e [tex3]n_2 \approx 16, 4.[/tex3] Como queremos valores positivos, apenas a segunda raiz é válida. Agora, podemos procurar o tempo para desenrolar a mangueira:

[tex3]\text v_\text c = \frac{n \cdot 2\pi \cdot \text R_\text c}{\Delta \text t} \iff \Delta \text t = \frac{n \cdot 2\pi \cdot \text R_\text c}{\omega_\text c \cdot \text R_\text c}; \, \omega_\text c = \omega_\text b[/tex3]

Podemos substituir os valores e obter o valor para o tempo:

[tex3]\Delta \text t = \frac{16,4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 0,2}{\frac{2\cdot 3}{\frac{1}{10}}\cdot 0,2} \implies \Delta \text t = 1,64 \text { s }[/tex3]

Portanto, o item está correto.




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