40 - Calcular a potência do centro radical das tres
circunferências mostradas, com relação a uma delas.
Resposta
-[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]R2
Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:40 Tópico resolvido
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Nov 2021
29
10:06
Solucionário:Racso - Cap XVII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:40
Problema Proposto
40 - Calcular a potência do centro radical das tres
circunferências mostradas, com relação a uma delas.
-[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]R2
40 - Calcular a potência do centro radical das tres
circunferências mostradas, com relação a uma delas.
-[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]R2
- Anexos
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FelipeMartin
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Nov 2021
29
11:40
Re: Solucionário:Racso - Cap XVII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:40
Seja [tex3]D[/tex3]
o segundo encontro das circunferências [tex3]\gamma_A = \odot(A,AC)[/tex3]
(centro [tex3]A[/tex3]
e raio [tex3]AC[/tex3]
) e [tex3]\gamma_B = \odot (B,BC)[/tex3]
.
Note que a reta [tex3]CD[/tex3] é mediatriz de [tex3]AB[/tex3] e que ela também é o eixo radical entre [tex3]\gamma_A[/tex3] e [tex3]\gamma_B[/tex3] . Analogamente, os outros eixos radicais (entre [tex3]\gamma_C = \odot(C,CA)[/tex3] e [tex3]\gamma_B[/tex3] , e [tex3]\gamma_C[/tex3] e [tex3]\gamma_A[/tex3] ) também são mediatrizes dos lados do [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
Portanto, o centro radical entre os três círculos é o circuncentro do triângulo equilátero [tex3]\triangle ABC[/tex3] . Basta usar a fórmula de potência para esse ponto, que chamaremos [tex3]O[/tex3] .
[tex3]Pot_O = R^2 - OA^2 = R^2 - (\frac 23 \cdot R \cdot \frac{\sqrt3}2)^2 = \frac23 R^2[/tex3]
O sinal negativo apenas indica que o centro radical está no interior dos círculos.
Note que a reta [tex3]CD[/tex3] é mediatriz de [tex3]AB[/tex3] e que ela também é o eixo radical entre [tex3]\gamma_A[/tex3] e [tex3]\gamma_B[/tex3] . Analogamente, os outros eixos radicais (entre [tex3]\gamma_C = \odot(C,CA)[/tex3] e [tex3]\gamma_B[/tex3] , e [tex3]\gamma_C[/tex3] e [tex3]\gamma_A[/tex3] ) também são mediatrizes dos lados do [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
Portanto, o centro radical entre os três círculos é o circuncentro do triângulo equilátero [tex3]\triangle ABC[/tex3] . Basta usar a fórmula de potência para esse ponto, que chamaremos [tex3]O[/tex3] .
[tex3]Pot_O = R^2 - OA^2 = R^2 - (\frac 23 \cdot R \cdot \frac{\sqrt3}2)^2 = \frac23 R^2[/tex3]
O sinal negativo apenas indica que o centro radical está no interior dos círculos.
Última edição: FelipeMartin (Seg 29 Nov, 2021 12:12). Total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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