Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:39 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
39 - Os raios de duas circunferências de centro
O e O' miden 5 e 3 e OO' = 10.
O eixo radical destas circunferências intercepta
a uma tangente exterior comun en "F";
Calcular "OF".

Resposta

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C) 7

[petras]

Seja R o raio da circunferência de centro O1, r o raio da circunferência de centro O2,
Seja A o ponto onde a reta é tangente a C1 e B o ponto onde a reta é tangente a C2.
Se o eixo radical dessas circunferências se intersecta em F, então [tex3]Pot(O1)F=Pot(O2)F⇒FO1^2−R^2=FO2^2−r^2⇒FO1^2 - FO2^2=16 (I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Pot(O1)F=Pot(O2)F⇒FO1^2−R^2=FO2^2−r^2⇒FO1^2 - FO2^2=16 (I)[/tex3]

.
Aplicando pitágoras aos triângulos AO1F e BO2F: [tex3]AF^2+AO1^2=FO1^2 (II)~e BF^2+BO2^2=FO2^2 (III)[/tex3]

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[tex3]AF^2+AO1^2=FO1^2 (II)~e BF^2+BO2^2=FO2^2 (III)[/tex3]

.
Subtraindo (II) por (III), obtém-se: [tex3]AF^2−BF^2+AO1^2−BO2^2=FO1^2−FO2^2 ⇒AF^2−BF^2+R^2−r^2=16 \\⇒AF^2−BF^2+16=16⇒AF=BF.[/tex3]

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[tex3]AF^2−BF^2+AO1^2−BO2^2=FO1^2−FO2^2 ⇒AF^2−BF^2+R^2−r^2=16 \\⇒AF^2−BF^2+16=16⇒AF=BF.[/tex3]

Por teorema, tem-se que [tex3]AB=\sqrt{(O1O2)^2−(R−r)^2}=46–[/tex3]

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[tex3]AB=\sqrt{(O1O2)^2−(R−r)^2}=46–[/tex3]

, deste modo AF=BF=2 [tex3]\sqrt{6}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

Pela equação (II), conclui-se que: [tex3]FO1^2=(2\sqrt6)^2+5^2⇒\boxed{\color{red}FO1=7}.[/tex3]

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[tex3]FO1^2=(2\sqrt6)^2+5^2⇒\boxed{\color{red}FO1=7}.[/tex3]

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