Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:34 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
34 - Na figura: (AP.QD) - (QC.PB) = 24[tex3]\sqrt{2}[/tex3].
Calcular x

Resposta

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A) 1

[petras]

Primeiro, devemos encontrar o valor de y, que é o raio do círculo do meio.

Com os segmentos auxiliares GM e JS, paralelos à CK temos os triângulos semelhantes RGM, RJS e RCK. Pela semelhança entre RGM e RJS, temos:

[tex3]\frac{RG}{RJ}=\frac{RM}{RS}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\frac{4x-y}{4x-x}=\frac{4x+y}{4x+2y+x}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{y=2x}[/tex3]

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[tex3]\frac{RG}{RJ}=\frac{RM}{RS}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\frac{4x-y}{4x-x}=\frac{4x+y}{4x+2y+x}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{y=2x}[/tex3]

Agora podemos calcular o cos⁡(α) utilizando o triângulo RGM :

[tex3]\cos(\alpha)=\frac{2x}{6x}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\cos(\alpha)=\frac{1}{3}}[/tex3]

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[tex3]\cos(\alpha)=\frac{2x}{6x}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\cos(\alpha)=\frac{1}{3}}[/tex3]

Com estes valores, vamos aplicar diversas leis dos cossenos. Começando pelo triângulo RCQ, com respeito ao lado QC = c

[tex3]c^2=(4x)^2+(4x)^2-2\cdot 4x\cdot 4x\cdot\cos(\alpha)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{c=\frac{8\sqrt{3}x}{3}}[/tex3]

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[tex3]c^2=(4x)^2+(4x)^2-2\cdot 4x\cdot 4x\cdot\cos(\alpha)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{c=\frac{8\sqrt{3}x}{3}}[/tex3]

Lei dos cossenos no triângulo PSD com respeito ao lado PD (que é igual a PB=d) e sabendo que cos(180∘−α)=−cos(α):

[tex3]d^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{d=\frac{2\sqrt{6}x}{3}}[/tex3]

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[tex3]d^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{d=\frac{2\sqrt{6}x}{3}}[/tex3]

Lei dos cossenos no triângulo QSD com respeito ao lado QD=b:

[tex3]b^2=(5x)^2+x^2-2\cdot 5x\cdot x\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{b=\frac{2\sqrt{66}x}{3}}[/tex3]

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[tex3]b^2=(5x)^2+x^2-2\cdot 5x\cdot x\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{b=\frac{2\sqrt{66}x}{3}}[/tex3]

Lei dos cossenos no triângulo ARP com respeito ao lado AP=a:

[tex3]a^2=(4x)^2+(8x)^2-2\cdot 4x\cdot 8x\cdot\cos(\alpha)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{a=\frac{4\sqrt{33}}{3}}[/tex3]

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[tex3]a^2=(4x)^2+(8x)^2-2\cdot 4x\cdot 8x\cdot\cos(\alpha)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{a=\frac{4\sqrt{33}}{3}}[/tex3]

Pelo enunciado, sabemos que [tex3]\boxed{a\cdot b-c\cdot d=24\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{a\cdot b-c\cdot d=24\sqrt{2}}[/tex3]

Substituindo os valores encontrados acima nesta expressão do enunciado:

[tex3]\frac{4\sqrt{33}}{3}x\cdot\frac{2\sqrt{66}}{3}x-\frac{8\sqrt{3}}{3}x\cdot\frac{2\sqrt{6}}{3}x=24\sqrt{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{\color{red}{x=1}}}[/tex3]

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[tex3]\frac{4\sqrt{33}}{3}x\cdot\frac{2\sqrt{66}}{3}x-\frac{8\sqrt{3}}{3}x\cdot\frac{2\sqrt{6}}{3}x=24\sqrt{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{\color{red}{x=1}}}[/tex3]

(Solução: Caju - viewtopic.php?f=3&t=55541&p=145621#p145621)