Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:17 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
17 - Dada uma semicircunferência de diámetro
AB e um ponto «F» exterior de AB; por «F» e
«B» se traçam as tangentes que se interceptam
en «P» tal que : PF = [tex3]\sqrt{15}[/tex3] e AB = 6.
Calcular AE.

Resposta

---

C) [tex3]\frac{3}{2}\sqrt{6}[/tex3]

[petras]

[tex3]\mathsf{\triangle OPB: y^2 = \sqrt{15}^2+3^2 \implies y = 2\sqrt6\\
sen\theta = \frac{\sqrt15}{2\sqrt6}=\frac{\sqrt 90}{12}=\frac{\sqrt{10}}{4}\\
cos\theta = \frac{3}{2\sqrt6}=\frac{3\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt6}{4}\\
cos2\theta = cos^2\theta - sen^2\theta=\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{1}{4}\\
\triangle AFO: AF^2 = 3^2 + 3^2-2.3.3.cos(180-2\theta) = 18-18.\frac{1}{4}=\frac{27}{2}\\
\therefore \boxed{\color{red}AF =\sqrt{\frac{{27}}{2}}= \frac{3\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt6}{2}}
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\triangle OPB: y^2 = \sqrt{15}^2+3^2 \implies y = 2\sqrt6\\
sen\theta = \frac{\sqrt15}{2\sqrt6}=\frac{\sqrt 90}{12}=\frac{\sqrt{10}}{4}\\
cos\theta = \frac{3}{2\sqrt6}=\frac{3\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt6}{4}\\
cos2\theta = cos^2\theta - sen^2\theta=\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{1}{4}\\
\triangle AFO: AF^2 = 3^2 + 3^2-2.3.3.cos(180-2\theta) = 18-18.\frac{1}{4}=\frac{27}{2}\\
\therefore \boxed{\color{red}AF =\sqrt{\frac{{27}}{2}}= \frac{3\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt6}{2}}
}[/tex3]

(Solução:geobson)