Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:09 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
9 - Na figura as circunferências são concêntricas
de centro «O», AB é tangente, DE= 2 e EF = 3.
Calcular AB

Resposta

---

Não há alternativa correta (Respsosta errada do livro: [/tex3]A) [tex3]\sqrt{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

)

[petras]

Trace a semirreta FO e deixe ele intersectar primeiramente em X e depois em Y a circunferência menor.

Por Potência de Ponto:
[tex3]FD⋅FE=FY⋅FX=5⋅3=15[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]FD⋅FE=FY⋅FX=5⋅3=15[/tex3]

Chame T o ponto de tangência entre AB e a circunferência menor, Z e W as interseções entre BC e a circunferência menor.

Daí, da Potência do Ponto BB :
[tex3](BT)^2=BW⋅BZ \\
 Como~ BZ⋅BW=FY⋅FX \implies (BT)^2=15BT \therefore BT = \sqrt{15}\\
⟹\boxed{\color{red}AB=2\sqrt{15}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](BT)^2=BW⋅BZ \\
 Como~ BZ⋅BW=FY⋅FX \implies (BT)^2=15BT \therefore BT = \sqrt{15}\\
⟹\boxed{\color{red}AB=2\sqrt{15}}[/tex3]

(Solução:rodBR - viewtopic.php?f=4&t=89004&p=245500&hili ... as#p245500)

*
Sendo R e r os raios das circunferências maior e menor, então temos que
[tex3]\begin{cases}\overline{BW}=R+r;\\
\overline{BZ}=R-r;\\
\overline{FY}=R+r;\\
\overline{FX}=R-r\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}\overline{BW}=R+r;\\
\overline{BZ}=R-r;\\
\overline{FY}=R+r;\\
\overline{FX}=R-r\end{cases}[/tex3]

isso é válido usando que B,O,C são colineares e que B,F pertencem a circunferência maior.

Daí, vem que BZ⋅BW=FY⋅FXBZ