Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:07 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
7 - Uma reta tangente em B à circunferência
circunscrita ao triângulo ABC, é paraleia
a bissetriz interior CD("D" em AB).
Calcular AC, se AD = 5 e BD=4.

Resposta

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A) 7,5

[petras]

BC subentende 2∠A no centro O da circunferência.
∠OBC = 90∘ - ∠A e portanto a tangente faz o ângulo ∠A com o segmento BC,
mas como a tangente também é paralela a bissetriz, concluímos ∠A=∠C/2.
Portanto △ADC é isósceles CD=5.
[tex3]\mathsf{T.Bissetriz:\\\frac{AC}{5} =\frac{BC}{4}\implies BC = \frac{4AC}{5}~e~\\
CD^2 = AC.BC + 5.4 \implies \\
AC =\frac{CD^2 -20}{BC}\\
\frac{5BC^2}{4}=CD^2 - 20\\
{AC.BC=CD^2+20⟹\frac{4AC^2}{5}=CD^2+20}\implies\\
AC = \frac{\sqrt{225}}{2}\therefore \boxed{\color{red}AC = 7,5} }[/tex3]

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[tex3]\mathsf{T.Bissetriz:\\\frac{AC}{5} =\frac{BC}{4}\implies BC = \frac{4AC}{5}~e~\\
CD^2 = AC.BC + 5.4 \implies \\
AC =\frac{CD^2 -20}{BC}\\
\frac{5BC^2}{4}=CD^2 - 20\\
{AC.BC=CD^2+20⟹\frac{4AC^2}{5}=CD^2+20}\implies\\
AC = \frac{\sqrt{225}}{2}\therefore \boxed{\color{red}AC = 7,5} }[/tex3]

(Solução:MathLover)