Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:05 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
5 - Na figura: AE e CD são tangentes.
Se AB =a e AE=b e CD=d, calcular BC.

Resposta

---

E) [tex3]\sqrt{a^2+d^2-b^2}[/tex3](Respsota errada do livro: D) [tex3]\sqrt{a^2-d^2+b^2}[/tex3])

[petras]

[tex3]\mathsf{BC^2+AE^2=AB^2+CD^2\\

\text{Potência de ponto em relação a A e C}\\

AE^2=AM*AB \text{(M é a interseção de AB com a circunferência)}\\
\therefore AM=\frac{AE^2}{AB} (I)\\
Analogamente:\\
CD^2=CN*BC
CN=\frac{CD^2}{BC}(II)\\
\text{Potência de ponto em relação a B}\\
BM*AB=BN*BC \implies \frac{AB}{BC}=\frac{BC−CN}{AB−AM}\\
\frac{AB}{BC}=\frac{BC−\frac{CD^2}{BC}}{AB−\frac{AE^2}{AB}}
\therefore AB^2−AE^2=BC^2−CD^2 \implies a^2-b^2 = BC^2 - d^2\\
\therefore \boxed{\color{red}BC=\sqrt {a^2+d^2-b^2}}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{BC^2+AE^2=AB^2+CD^2\\

\text{Potência de ponto em relação a A e C}\\

AE^2=AM*AB \text{(M é a interseção de AB com a circunferência)}\\
\therefore AM=\frac{AE^2}{AB} (I)\\
Analogamente:\\
CD^2=CN*BC
CN=\frac{CD^2}{BC}(II)\\
\text{Potência de ponto em relação a B}\\
BM*AB=BN*BC \implies \frac{AB}{BC}=\frac{BC−CN}{AB−AM}\\
\frac{AB}{BC}=\frac{BC−\frac{CD^2}{BC}}{AB−\frac{AE^2}{AB}}
\therefore AB^2−AE^2=BC^2−CD^2 \implies a^2-b^2 = BC^2 - d^2\\
\therefore \boxed{\color{red}BC=\sqrt {a^2+d^2-b^2}}} [/tex3]

(Solução:jvmago - viewtopic.php?f=4&t=89002)