Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap IX - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:40 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto (Útimo do capítulo)
40 - Em um triângulo escaleno ABC, a mediana BM é desenhada e os círculos inscritos nos triângulos ABM e BMC são tangentes à referida mediana em P e Q e a circunferência inscrita no triângulo ABC é tangente a AC em N. Indique a relação correta

Resposta

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C) PQ = MN

[petras]

seja m = BM
[tex3]BP = p - \frac b2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BP = p - \frac b2[/tex3]

onde [tex3]2p = c+m+\frac b2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2p = c+m+\frac b2[/tex3]

analogamente [tex3]BQ = p' - \frac b2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BQ = p' - \frac b2[/tex3]

onde [tex3]2p' = a+m + \frac b 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2p' = a+m + \frac b 2[/tex3]

logo [tex3]PQ = |BQ - BP| = |p-p'|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PQ = |BQ - BP| = |p-p'|[/tex3]

e então [tex3]2PQ = |c-a|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2PQ = |c-a|[/tex3]

como [tex3]AN = p''-a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AN = p''-a[/tex3]

onde [tex3]2p'' = a+b+c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2p'' = a+b+c[/tex3]

e [tex3]AM = \frac b2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AM = \frac b2[/tex3]

[tex3]2MN = |2AN-2AM| = |b+c-a-b| = |c-a|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2MN = |2AN-2AM| = |b+c-a-b| = |c-a|[/tex3]

de onde conclui-se que PQ = MN
(Solução: sousóeu - viewtopic.php?f=4&t=55911&p=146532&hili ... no#p146532)