Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap IX - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:19 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
19 - Na figura, calcule AM, se MQ = 5 e PQ = 3 (O e O₁centros)

Resposta

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) 10

[jvmago]

Estava em minha caverna aprimorando o nível de física entretanto fui convocado mais uma vez para resolver pendências PORTANTO vamos la

[jvmago]

Pela construção ser bizurada, temos por teorema que MaE 37/2 já que sen(Mo1O)=3/5. Já demonstro isso

[jvmago]

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[jvmago]

Tracemos DQ e QB tal que notaremos ADQB inscritivel

Como AD=DB então DM é bissetriz

Chamando MD=b , MO=a e AM=x temos por métrica no triângulo AME

x²=R*2r
x²=2Rr isso aqui é importante

Note agora no triângulo MDQ que nossa solução sairá daqui primeiro perceba que MDQ e MDP são conjugados e PORTANTO temos

b²=5(3+5)
b=2√10

Aplicando a lei dos senos em DPQ temos

Sen(135-k)/sen45 =DQ/PD

Porem pela conjugação deles temos DQ/PD=b/5=(2√10)/5

Agora acabou

Sen(135-k)=√2/2 * 2√10/5
Senk+cosk=2√10/5 elevando ao quadrado

1+sen2k=8/5
Sen2k=Sen(Mo1E)=3/5

Por fim note agora que r=5l R=9l e a=3l

Mas R=a+b

9l=3l+b
b=6l=2√10 por fim voltamos a nossa expressão inicial

x²=2Rr
x²=2*9*5*l²
x²=10*9*10/9
X=10

[tex3]PIMBADA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PIMBADA[/tex3]

[petras]

[tex3]△APO∼△QPC. \therefore \frac{R}{x}=\frac{x+8}{2R} \rightarrow 2R^2=x(x+8)(I)\\

AQ=AP, \measuredangle FPA = \measuredangle AQF = \measuredangle FQC \therefore BQ~é~bissetriz ~∠AQC, \triangle AQC=\frac{CQ}{3}=\frac{x}{5}\therefore\frac{3x}{5}\\

Pitágoras~em~ △ACQ: (\frac{3x}{5})^2+(x+8)^2=4R^2=2x(x+8)(De~ I)\\
9x^2-25x^2+1600 = 0 \therefore \boxed{\color{red}x=10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]△APO∼△QPC. \therefore \frac{R}{x}=\frac{x+8}{2R} \rightarrow 2R^2=x(x+8)(I)\\

AQ=AP, \measuredangle FPA = \measuredangle AQF = \measuredangle FQC \therefore BQ~é~bissetriz ~∠AQC, \triangle AQC=\frac{CQ}{3}=\frac{x}{5}\therefore\frac{3x}{5}\\

Pitágoras~em~ △ACQ: (\frac{3x}{5})^2+(x+8)^2=4R^2=2x(x+8)(De~ I)\\
9x^2-25x^2+1600 = 0 \therefore \boxed{\color{red}x=10}[/tex3]

(Solução: MathLover)