Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap IX - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:03 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
3 - A circunferência ex-inscrita em um triângulo ABC determina os pontos de tangência F e G em BC e o prolongamento de AB, respectivamente, o prolongamento de GF cruza AO no ponto H, onde O é o centro do círculo ex-inscrito. Calcule a [tex3]m\measuredangle AHC[/tex3].

Resposta

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D) 90^o

[petras]

[tex3]∠GBF=180^∘−∠ABC ~e~BG=BF, ∠AGH=\frac{∠B}{2}\\
\therefore ∠OHG=∠AGH+∠GAH=\frac{∠A+∠B}{2}=90^o−\frac{∠C}{2}\\

△AOG\cong △AOM (L-A-L). \\
OA ~é~bissetriz ∠GOM ~e~ OG=OM, \text{todo ponto em OA é equidistante de G e M} \rightarrow △OHG\cong △OHM.\\
\therefore ∠OHM=∠OHG=90^o−∠C2=∠OCM\\
\text{Como segmento OM subtende o mesmo ângulo nos pontos C e H} \rightarrow OHCM é~cíclico \\
\therefore \boxed{\color{red}∠AHC=∠OMC=90^∘}[/tex3]

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[tex3]∠GBF=180^∘−∠ABC ~e~BG=BF, ∠AGH=\frac{∠B}{2}\\
\therefore ∠OHG=∠AGH+∠GAH=\frac{∠A+∠B}{2}=90^o−\frac{∠C}{2}\\

△AOG\cong △AOM (L-A-L). \\
OA ~é~bissetriz ∠GOM ~e~ OG=OM, \text{todo ponto em OA é equidistante de G e M} \rightarrow △OHG\cong △OHM.\\
\therefore ∠OHM=∠OHG=90^o−∠C2=∠OCM\\
\text{Como segmento OM subtende o mesmo ângulo nos pontos C e H} \rightarrow OHCM é~cíclico \\
\therefore \boxed{\color{red}∠AHC=∠OMC=90^∘}[/tex3]

(Solução:MAthLover)