Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap VIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:13 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
13 - As circinferências ex-inscritas aos catetos de um triângulo tem
raios que medem 6 e 8. Calcular a medida da hipotenusa do triângulo.

Resposta

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C) 14 (Resposta errada do livro D)18)

[petras]

Teorema 1:^*: a área de um triangulo retângulo é igual ao produto dos raios das duas circunferências ex-inscritas que são tangentes aos catetos.
Teorema 2: A área de um triângulo é dada por (p-a)r_a =(p-b)r_b=(p-c)r_c onde r_x são os raios das circunferências ex-inscritas.

[tex3]r_b = 6, r_c = 8\\S = r_b.r_c=6.8=48\\
S= (p-b)r_b\rightarrow 48 =(p-b).6\therefore p-b = 8(I)\\
S =(p-c)r_c\rightarrow 48 =(p-c).8\therefore p-c = 6(II)\\
(I)+(II) = 2p-(b+c) = 14 \rightarrow a+b+c = (b+c) = 14 \therefore \boxed{\color{red}a = 14}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_b = 6, r_c = 8\\S = r_b.r_c=6.8=48\\
S= (p-b)r_b\rightarrow 48 =(p-b).6\therefore p-b = 8(I)\\
S =(p-c)r_c\rightarrow 48 =(p-c).8\therefore p-c = 6(II)\\
(I)+(II) = 2p-(b+c) = 14 \rightarrow a+b+c = (b+c) = 14 \therefore \boxed{\color{red}a = 14}[/tex3]

*Teorema 1 [tex3]S = (p – b).r(b)\\

S = (p – c).r(c)\\

\text{Onde p é o semi-perímetro, b e c os catetos, r(b) e r(c) os raios das circunferências ex-inscritas que tangenciam os catetos b e c, respectivamente}\\
\text{Multiplicando as duas equações:}
S^2 = (p – b).r(b).(p – c).r(c)\\
r(b).r(c) = \frac{S^2}{(p – b).(p – c)} \rightarrow r(b).r(c) = \frac{4S^2}{(2p – 2b).(2p – 2c)}\\
r(b).r(c) = \frac{4S^2}{(a + b + c – 2b).(a + b + c – 2c)} = \frac{4S^2}{(a – b + c).(a + b – c)}\\
r(b).r(c) = \frac{4S^2}{[a – (b – c)].[a + (b – c)]} = \frac{4S^2}{[a2 – (b – c)2]}
\therefore r(b).r(c) = \frac{4S^2}{[a2 – (b2 + c2) + 2bc]}\\
\text{Como o triângulo é retângulo} a^2 = b^2 + c^2\\
r(b).r(c) = \frac{4S^2}{(a^2 – a^2 + 2bc)}= \frac{4S^2}{2bc}\\
\text{No triângulo retângulo podemos calcular a área S = bc/2, então:}\\
r(b).r(c) = 4\frac{S^2}{2bc} = \frac{4S^2}{2.(2S)}== \frac{4S^2}{4S}\\
\therefore \boxed{r(b).r(c) = S}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = (p – b).r(b)\\

S = (p – c).r(c)\\

\text{Onde p é o semi-perímetro, b e c os catetos, r(b) e r(c) os raios das circunferências ex-inscritas que tangenciam os catetos b e c, respectivamente}\\
\text{Multiplicando as duas equações:}
S^2 = (p – b).r(b).(p – c).r(c)\\
r(b).r(c) = \frac{S^2}{(p – b).(p – c)} \rightarrow r(b).r(c) = \frac{4S^2}{(2p – 2b).(2p – 2c)}\\
r(b).r(c) = \frac{4S^2}{(a + b + c – 2b).(a + b + c – 2c)} = \frac{4S^2}{(a – b + c).(a + b – c)}\\
r(b).r(c) = \frac{4S^2}{[a – (b – c)].[a + (b – c)]} = \frac{4S^2}{[a2 – (b – c)2]}
\therefore r(b).r(c) = \frac{4S^2}{[a2 – (b2 + c2) + 2bc]}\\
\text{Como o triângulo é retângulo} a^2 = b^2 + c^2\\
r(b).r(c) = \frac{4S^2}{(a^2 – a^2 + 2bc)}= \frac{4S^2}{2bc}\\
\text{No triângulo retângulo podemos calcular a área S = bc/2, então:}\\
r(b).r(c) = 4\frac{S^2}{2bc} = \frac{4S^2}{2.(2S)}== \frac{4S^2}{4S}\\
\therefore \boxed{r(b).r(c) = S}[/tex3]

Teorema 2
[tex3]\qquad Se \textcolor{#FF00FF}{[AI_AB]}+\textcolor{#FF00FF}{[AI_AC]}e\textcolor{#FF00FF}{[BI_AC]} \text{indicam as áreas dos respectivos triângulos indicados em cada notação, observe que:}\\~S=\textcolor{#FF00FF}{[AI_AB]}+\textcolor{#FF00FF}{[AI_AC]}-\textcolor{#FF00FF}{[BI_AC]}\\
\qquad S=\dfrac{c\cdot r_a}{2}+\dfrac{b\cdot r_a}{2}-\dfrac{a\cdot r_a}{2}\\
\qquad S=\dfrac{c+b-a}{2} \cdot r_a\\
\qquad S=\dfrac{c+b-a+a-a}{2} \cdot r_a\\
\qquad S=\left(\dfrac{c+b+a}{2} -\dfrac{2a}{2}\right)\cdot r_a\\
\qquad\boxed{ S=(p-a) \cdot r_a} \, .[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\qquad Se \textcolor{#FF00FF}{[AI_AB]}+\textcolor{#FF00FF}{[AI_AC]}e\textcolor{#FF00FF}{[BI_AC]} \text{indicam as áreas dos respectivos triângulos indicados em cada notação, observe que:}\\~S=\textcolor{#FF00FF}{[AI_AB]}+\textcolor{#FF00FF}{[AI_AC]}-\textcolor{#FF00FF}{[BI_AC]}\\
\qquad S=\dfrac{c\cdot r_a}{2}+\dfrac{b\cdot r_a}{2}-\dfrac{a\cdot r_a}{2}\\
\qquad S=\dfrac{c+b-a}{2} \cdot r_a\\
\qquad S=\dfrac{c+b-a+a-a}{2} \cdot r_a\\
\qquad S=\left(\dfrac{c+b+a}{2} -\dfrac{2a}{2}\right)\cdot r_a\\
\qquad\boxed{ S=(p-a) \cdot r_a} \, .[/tex3]