Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap VIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:03 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
3 - Em um triângulo retângulo os inraios dos triângulos AHB, BHC e ABC somam 12.
Sendo BH a altura relativa a hipotenusa, calcular BH.

Resposta

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C) 12 (Resposta errada do livro: D)

[petras]

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Raio i do incírculo de um triângulo [ABC] retângulo em C, é dado por [tex3]i=\frac{a+b−c}{2}.[/tex3]

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[tex3]i=\frac{a+b−c}{2}.[/tex3]

Como [CAH] e [BCH] são retângulos em H [tex3]\rightarrow j=\frac{AH+HC−CA}{2}=\frac{AH+h−b}{2} ~e~ k=\frac{CH+HB−BC}{2}=\frac{h+HB−a}{2}[/tex3]

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[tex3]\rightarrow j=\frac{AH+HC−CA}{2}=\frac{AH+h−b}{2} ~e~ k=\frac{CH+HB−BC}{2}=\frac{h+HB−a}{2}[/tex3]

Somando os raios das três circunferências inscritas da figura, temos [tex3]i+j+k=\frac{a+b−c}{2}+\frac{AH+h−b}{2}+\frac{h+HB−a}{2}=\frac{a+b−c+AH+h−b+h+HB−a}{2}[/tex3]

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[tex3]i+j+k=\frac{a+b−c}{2}+\frac{AH+h−b}{2}+\frac{h+HB−a}{2}=\frac{a+b−c+AH+h−b+h+HB−a}{2}[/tex3]

[tex3]mas~AH+HB=c \therefore \boxed{\color{red}i+j+k = h = 12= BH}[/tex3]

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[tex3]mas~AH+HB=c \therefore \boxed{\color{red}i+j+k = h = 12= BH}[/tex3]

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