Aqui ficará uma coletânea de questões antigas, com mais de 1 ano, que não foram respondidas ainda. Não é possível postar novas questões nesse fórum, apenas é possível resolver as que forem movidas para cá pelos moderadores.
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petras
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Mensagem não lida por petras » Sáb 17 Jul, 2021 20:06
Mensagem não lida
por petras » Sáb 17 Jul, 2021 20:06
Problema Proposto
32 - As medidas dos lados AB, BD e BC são expressas por números inteiros.
Se AB + BD = k, achar a soma dos valores máximo e mínimo que BC pode assumir.
Anexos
erere.jpg (10.39 KiB) Exibido 650 vezes
petras
jvmago
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Mensagem não lida por jvmago » Sáb 24 Jul, 2021 14:30
Mensagem não lida
por jvmago » Sáb 24 Jul, 2021 14:30
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
jvmago
petras
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Mensagem não lida por petras » Sáb 24 Jul, 2021 15:35
Mensagem não lida
por petras » Sáb 24 Jul, 2021 15:35
Pela desigualdade dos poligonais no triângulo BCD
BD - DC < x < BD + DC (I)
Analogamente em ABC:
AC - AB < x < AB + AC (II)
(I) + (II) : AC + BD - AB - DC < 2x < k +AC + DC (III)
Sabemos também que: AD < AB + BD
AD < k como K é inteiro então AD = k - 1
Por outro lado: AD < AC + DC
k - 1 < AC + DC [tex3]\therefore[/tex3]
AC + DC = k (IV)
(IV) em (III): 2x < k + k [tex3]\rightarrow [/tex3]
x < k [tex3]\rightarrow \boxed{x_{max} = k - 1}[/tex3]
(V)
Usando desigualdade em ACD:
K - 1 > DC então DC = k - 2
Usando desigualdade em BCD:
x > k - 2 logo [tex3]\boxed { x_{min} = k - 1}[/tex3]
(VI)
(V)+(VI) [tex3]\therefore \boxed{\color{red} x = 2k - 2} [/tex3]
(Solução: jvmago)
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petras
petras
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Mensagem não lida por petras » Sex 15 Out, 2021 12:09
Mensagem não lida
por petras » Sex 15 Out, 2021 12:09
[tex3]AB=a,AD=b,BC=c\\
△ABC: asin3θ = csinθ ⇒ a(3sinθ−4sin3θ) = csinθ ⇒ a(3−4sin2θ) = c ⇒ \\
sin^2θ=\frac{3a−c}{4a} ⇒ c < 3a \\
△BCD:csin ∠BCD=bsin2θ ⇒ sin ∠BCD=bcsin2θ\\
0 < ∠CBD < 180∘−4θ, ∠BCD=180∘−∠CBD−2θ⇒ 2θ < ∠BCD < 180∘−2θ⇒\\ sin∠BCD > sin2θ⇒c < b
Any c < min(3a,b) \text{é condição satisfatória} \therefore\\
c_{min}=1, c_{max}=k−1 \implies \boxed{\color{red} c_{min}+c_{max}=k} [/tex3]
(Solução: IvanK.)
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petras
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