Função
Enviado: Qui 12 Nov, 2015 17:48
Defina o domínio "D" e a imagem "IM" da função [tex3]x=\sqrt{x+1}+3[/tex3]
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Achei a equação consideravelmente estranha, todavia vou tentar ajudar desse jeito mesmo.
Supondo que estamos trabalhando no conjunto dos reais, sabemos que x deve ser maior ou igual a -1.
Isso já restringe um pouco os valores que podemos pesquisar.
O próximo passo é elevar ambos os lados ao quadrado
(x+3) ^2 = x+1
Com isso conseguimos chegar numa equação do segundo grau na variável x.
Dessa forma, encontramos dois x possíveis.
Eu usei a calculadora, mas pode ser feito pelo método da aproximação das raízes quadradas de um número:
Dos dois x possíveis (que encontramos por Bhaskara), percebemos que apenas um deles é útil. Nesse caso, o x é
[tex3]x = \left(\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)[/tex3]
Esse é o único valor de x que verifica essa equação dada. Desse modo, esse é o nosso domínio. Não podemos colocar outros valores de x pois chegaremos num absurdo matemático (por exemplo afirmar que 0 = 1 ou 3 = 18).
Então, respondemos a primeira pergunta: [tex3]D= \left(\frac{7+\sqrt{17}}{2}\right)[/tex3]
Já na imagem da nossa função, buscamos a definição de "imagem de uma função":
Por essa definição, vemos que a imagem está relacionada com os pares ordenados (x,y).Se um elemento x [tex3]\in [/tex3] A estiver associado a um elemento y [tex3]\in [/tex3] B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).
Todavia, nossa função é constante para todo y, ou seja, para todo y que eu imaginar, eu só posso colocar o mesmo x.
Dessa forma, o gráfico da nossa função é uma reta perpendicular ao eixo das abscissas (eixo x), e que corta o eixo no ponto que temos no domínio.
Caso queira confirmar, basta plotar a equação no geogebra.
Esse pensamento fica um pouco estranho pois temos que pensar numa expressão da forma
0y + x = (x+1)^-2 + 3
Se vermos isso, que é a definição real de uma função de duas variáveis (o que nos foi dado só tinha uma variável!), podemos ver que para todo y que eu colocar, só posso ter um x.
Por ex.:
0.4000 + x = (x+1)^-2 + 3 : veremos que o valor de x que verifica isso é o mesmo!!!
Desse modo, como nossa imagem são todos os pontos (x,y) que nossa função atinge, enxergamos que nossa imagem é todo o conjunto dos reais. Todo real que você colocar em y irá resultar no x que temos no domínio. Basta pensar nesse exemplo dado acima.
Com isso terminamos o problema
[tex3]I=\mathbb{R}[/tex3]