Geometria Analítica - RETA
Enviado: Sáb 16 Mai, 2015 18:07
Sejam A = (-1,2,3), M = (-1,3,2) e N = (1,1,3). O triângulo ABC tem ângulo A = 90º e B = 30º e os vértices B e C pertencem à reta MN. Encontre os vértices B e C.
Primeiramente uso a fórmula: [tex3]d(PX)=\sqrt{(x1-x2)^{2}+(y1-y2)^{2}+(z1-z2)^{2}}[/tex3]
Distância AM: [tex3]d(AM)=\sqrt{6}[/tex3]
Distância AN: [tex3]d(AN)=1[/tex3]
tg B = AN/AM -> FALSO
tg B = AM/AN -> FALSO
Uso isso para ter a informação de que [tex3]B\neq C \neq M \neq N [/tex3]
Agora, vamos para uma definição:
Usando essa definição, definimos o vetor MN e usamos as coordenadas do ponto M ou do ponto N para definir a equação da reta MN (reta que contem os vértices procurados).Dados um ponto A (xo , yo, zo) e o vetor v = (vx, vy, vz), se P (x, y, z) é um ponto da reta, então obtemos a equação paramétrica da reta no espaço:
[tex3]\begin{cases}
x=xo + vxk \\
y=yo + vyk \\
z=zo + vzk
\end{cases}[/tex3]
com [tex3]k \in \mathbb{R} [/tex3]
Após acharmos essa equação, podemos calcular a distância entre A e a reta MN. Essa distância é a altura do triângulo retângulo com relação ao ponto A. Da geometria plana, sabemos que essa distância é igual a metade do tamanho da hipotenusa. Com isso, se conseguíssemos descobrir as coordenadas do pé dessa altura, bastaria resolver sistemas para encontrarmos os vértices pedidos.
Por geometria plana, usando lei dos senos/cossenos e análise de triângulos isósceles, possivelmente poderíamos definir as coordenadas de um ponto e posteriormente do outro.
Imagino que exista uma resolução completamente por vetores, todavia não consegui visualizá-la.