25 - Em uma reta se consideram os pontos consecutivos P, Q, R e S
os quais formam uma quaterna harmon1ca.
Se QR=[tex3]\frac{47}{RS}[/tex3] e PS = [tex3]\frac{96}{PQ}[/tex3], calcular PR
Resposta
C) 7
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap II - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
petras
- Mensagens: 10039
- Registrado em: 23 Jun 2016, 14:20
- Última visita: 26-04-24
- Agradeceu: 183 vezes
- Agradeceram: 1304 vezes
Jan 2022
29
09:45
Solucionário:Racso - Cap II - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25
Problema Proposto
25 - Em uma reta se consideram os pontos consecutivos P, Q, R e S
os quais formam uma quaterna harmon1ca.
Se QR=[tex3]\frac{47}{RS}[/tex3] e PS = [tex3]\frac{96}{PQ}[/tex3], calcular PR
C) 7
25 - Em uma reta se consideram os pontos consecutivos P, Q, R e S
os quais formam uma quaterna harmon1ca.
Se QR=[tex3]\frac{47}{RS}[/tex3] e PS = [tex3]\frac{96}{PQ}[/tex3], calcular PR
C) 7
Editado pela última vez por petras em 29 Jan 2022, 10:13, em um total de 1 vez.
-
LostWalker
- Mensagens: 680
- Registrado em: 04 Mar 2019, 16:34
- Última visita: 10-04-24
- Agradeceu: 50 vezes
- Agradeceram: 119 vezes
Fev 2022
08
15:28
Re: Solucionário:Racso - Cap II - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25
Determinando a Reta
[tex3]P\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_aQ\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_bR\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_cS[/tex3]
Logo, seguindo a definição de quartetos harmônicos:
[tex3]\frac{a}{b}=\frac{a+b+c}{c}=k[/tex3]
E pelo enunciado temos:
[tex3]b=\frac{47}{c}\,\,\,\therefore\,\,\,bc=47\,\,\,\therefore\,\,\,bc=x[/tex3]
[tex3]a+b+c=\frac{96}{a}\,\,\,\therefore\,\,\,a(a+b+c)=96\,\,\,\therefore\,\,\,a(a+b+c)=y[/tex3]
*nota: estou estabelecendo esse [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] por futuras conveniências;
Definindo a Razão [tex3]k[/tex3]
Sabemos da igualdade dos termos, mas vamos inicialmente multiplicá-los
[tex3]k^2=\frac{a}{b}\cdot\frac{a+b+c}{c}[/tex3]
[tex3]k^2=\frac{\color{PineGreen}a(a+b+c)}{\color{Purple}bc}[/tex3]
[tex3]k^2=\frac{\color{PineGreen}y}{\color{Purple}x}[/tex3]
[tex3]\color{Magenta}\boxed{k=\frac{\sqrt y}{\sqrt x}}[/tex3]
1º Parte
Vamos trabalhar agora esse [tex3]k[/tex3] dos dois lados usando propriedade de fração:
[tex3]k=\frac{a}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=\frac ab[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{\sqrt y+\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{a+b}{b}}[/tex3]
2º Parte
Trabalhando agora do outro lado:
[tex3]k=\frac{a+b+c}{c}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=\frac {a+b+c}c[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{\sqrt y-\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{a+b}{c}}[/tex3]
Multiplicando os Valores Encontrados
[tex3]\frac{\sqrt y-\sqrt x}{\sqrt x}\cdot\frac{\sqrt y+\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{a+b}{c}\cdot\frac{a+b}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{(\sqrt y-\sqrt x)(\sqrt y+\sqrt x)}{(\sqrt x)^2}=\frac{(a+b)^2}{bc}[/tex3]
[tex3]\frac{(\sqrt y)^2-(\sqrt x)^2}{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}=\frac{(a+b)^2}{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}[/tex3]
Restituindo os valores para finalizar a conta:
[tex3](a+b)^2=y-x[/tex3]
[tex3](a+b)^2=96-47[/tex3]
[tex3](a+b)^2=49[/tex3]
[tex3]a+b=7[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\overline{PR}=7}[/tex3]
[tex3]P\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_aQ\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_bR\underbrace{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}_cS[/tex3]
Logo, seguindo a definição de quartetos harmônicos:
[tex3]\frac{a}{b}=\frac{a+b+c}{c}=k[/tex3]
E pelo enunciado temos:
[tex3]b=\frac{47}{c}\,\,\,\therefore\,\,\,bc=47\,\,\,\therefore\,\,\,bc=x[/tex3]
[tex3]a+b+c=\frac{96}{a}\,\,\,\therefore\,\,\,a(a+b+c)=96\,\,\,\therefore\,\,\,a(a+b+c)=y[/tex3]
*nota: estou estabelecendo esse [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] por futuras conveniências;
Definindo a Razão [tex3]k[/tex3]
Sabemos da igualdade dos termos, mas vamos inicialmente multiplicá-los
[tex3]k^2=\frac{a}{b}\cdot\frac{a+b+c}{c}[/tex3]
[tex3]k^2=\frac{\color{PineGreen}a(a+b+c)}{\color{Purple}bc}[/tex3]
[tex3]k^2=\frac{\color{PineGreen}y}{\color{Purple}x}[/tex3]
[tex3]\color{Magenta}\boxed{k=\frac{\sqrt y}{\sqrt x}}[/tex3]
1º Parte
Vamos trabalhar agora esse [tex3]k[/tex3] dos dois lados usando propriedade de fração:
[tex3]k=\frac{a}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=\frac ab[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{\sqrt y+\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{a+b}{b}}[/tex3]
2º Parte
Trabalhando agora do outro lado:
[tex3]k=\frac{a+b+c}{c}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=\frac {a+b+c}c[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{\sqrt y-\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{a+b}{c}}[/tex3]
Multiplicando os Valores Encontrados
[tex3]\frac{\sqrt y-\sqrt x}{\sqrt x}\cdot\frac{\sqrt y+\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{a+b}{c}\cdot\frac{a+b}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{(\sqrt y-\sqrt x)(\sqrt y+\sqrt x)}{(\sqrt x)^2}=\frac{(a+b)^2}{bc}[/tex3]
[tex3]\frac{(\sqrt y)^2-(\sqrt x)^2}{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}=\frac{(a+b)^2}{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}[/tex3]
Restituindo os valores para finalizar a conta:
[tex3](a+b)^2=y-x[/tex3]
[tex3](a+b)^2=96-47[/tex3]
[tex3](a+b)^2=49[/tex3]
[tex3]a+b=7[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\overline{PR}=7}[/tex3]
Editado pela última vez por LostWalker em 08 Fev 2022, 15:28, em um total de 1 vez.
Razão: correções gramaticáis e ajustes
Razão: correções gramaticáis e ajustes
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
