18 - Sobre uma línha reta consideram-se os
pontos consecutivos A, B, C e D.
Se: m.AB.BD =n.CD.AC
Calcular "x", na seguinte expressão:
[tex3]\frac{n}{BD} -\frac{m}{AC} = \frac{x}{BC}[/tex3]
Resposta
A) n-m
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap II - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:18 Tópico resolvido
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petras
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Jan 2022
28
22:43
Solucionário:Racso - Cap II - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:18
Problema Proposto
18 - Sobre uma línha reta consideram-se os
pontos consecutivos A, B, C e D.
Se: m.AB.BD =n.CD.AC
Calcular "x", na seguinte expressão:
[tex3]\frac{n}{BD} -\frac{m}{AC} = \frac{x}{BC}[/tex3]
A) n-m
18 - Sobre uma línha reta consideram-se os
pontos consecutivos A, B, C e D.
Se: m.AB.BD =n.CD.AC
Calcular "x", na seguinte expressão:
[tex3]\frac{n}{BD} -\frac{m}{AC} = \frac{x}{BC}[/tex3]
A) n-m
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LostWalker
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Jan 2022
29
13:37
Re: Solucionário:Racso - Cap II - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:18
Notação
Bem, eu já estava num ponto que estava tentando qualquer coisa, até que por fim, encontrei um caminho surpreendentemente simples. Eu não diria que é um ideia que eu teria logo de cara, afinal, eu não teria ela, logo, não diria que cheguei nelas de forma intuitiva.
Eu estava tentando simplificar a notação de alguma forma, até que achei semelhanças nas equações em uma das tentativas. Tomemos:
[tex3]\underbrace{A\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,B\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,C}_{p}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overbrace{\phantom{B\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,C}\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,D}^{q}[/tex3]
Também tomemos que [tex3]T=\overline{AD}[/tex3]
Transcrevendo as equações do enunciado, temos:
[tex3]m\cdot (T-q) \cdot q=n\cdot (T-p)\cdot p\\\boxed{m(Tq-q^2)=n(Tp-p^2)=y}[/tex3]
*Vou separar esse [tex3]y[/tex3] para mais tarde
E para a segunda:
[tex3]\frac{n}{q}-\frac{m}{p}=\frac{x}{(p+q-T)}[/tex3]
Resolvendo a equação
Expandindo a segunda:
[tex3]\frac{n}{q}\cdot\frac{p}{p}-\frac{m}{p}\cdot\frac{q}{q}=\frac{x}{(p+q-T)}[/tex3]
[tex3]\frac{np-mq}{pq}=\frac{x}{(p+q-T)}[/tex3]
[tex3]({\color{Blue}np}-{\color{YellowOrange}mq}){\color{PineGreen}(p+q-T)}=xpq[/tex3]
[tex3]{\color{Blue}np}{\color{PineGreen}(p+q-T)}-{\color{YellowOrange}mq}{\color{PineGreen}(p+q-T)}=xpq[/tex3]
[tex3]n(p^2+pq-Tp)-m(pq+q^2-Tq)=xpq[/tex3]
[tex3]n(pq+p^2-Tp)-m(pq+q^2-Tq)=xpq[/tex3]
Note a similaridade das equações:
[tex3]\left\{\begin{matrix}{\color{PineGreen}m}({\color{PineGreen}Tq-q^2})={\color{Purple}n}({\color{Purple}Tp-p^2})=y\\{\color{Purple}n}(pq+{\color{Purple}p^2-Tp})-{\color{PineGreen}m}(pq+{\color{PineGreen}q^2-Tq})=xpq\end{matrix} \right.[/tex3]
É isso que iremos utilizar. Voltando as contas:
[tex3]n(pq+p^2-Tp){\color{YellowOrange}\,\,+\,\,y}\,-m(pq+q^2-Tq){\color{NavyBlue}\,\,-\,\,y}=xpq[/tex3]
[tex3]n(pq+p^2-Tp){\color{YellowOrange}\,\,+\,\,n(Tp-p^2)}\,-m(pq+q^2-Tq){\color{NavyBlue}\,\,-\,\,m(Tq-q^2)}=xpq[/tex3]
[tex3]n(pq+{\color{Red}\cancel{\color{Black}p^2-Tp}})+{\color{Red}\cancel{\color{Black}n(Tp-p^2)}}\,-m(pq+{\color{Red}\cancel{\color{Black}q^2-Tq}})-{\color{red}\cancel{\color{Black}m(Tq-q^2)}}=xpq[/tex3]
[tex3]n{\color{Red}\cancel{\color{Black}pq}}-m{\color{Red}\cancel{\color{Black}pq}}=x{\color{Red}\cancel{\color{Black}pq}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=n-m}[/tex3]
Bem, eu já estava num ponto que estava tentando qualquer coisa, até que por fim, encontrei um caminho surpreendentemente simples. Eu não diria que é um ideia que eu teria logo de cara, afinal, eu não teria ela, logo, não diria que cheguei nelas de forma intuitiva.
Eu estava tentando simplificar a notação de alguma forma, até que achei semelhanças nas equações em uma das tentativas. Tomemos:
[tex3]\underbrace{A\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,B\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,C}_{p}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overbrace{\phantom{B\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,C}\,\,\,\,\,\leftarrow\rightarrow\,\,\,\,\,D}^{q}[/tex3]
Também tomemos que [tex3]T=\overline{AD}[/tex3]
Transcrevendo as equações do enunciado, temos:
[tex3]m\cdot (T-q) \cdot q=n\cdot (T-p)\cdot p\\\boxed{m(Tq-q^2)=n(Tp-p^2)=y}[/tex3]
*Vou separar esse [tex3]y[/tex3] para mais tarde
E para a segunda:
[tex3]\frac{n}{q}-\frac{m}{p}=\frac{x}{(p+q-T)}[/tex3]
Resolvendo a equação
Expandindo a segunda:
[tex3]\frac{n}{q}\cdot\frac{p}{p}-\frac{m}{p}\cdot\frac{q}{q}=\frac{x}{(p+q-T)}[/tex3]
[tex3]\frac{np-mq}{pq}=\frac{x}{(p+q-T)}[/tex3]
[tex3]({\color{Blue}np}-{\color{YellowOrange}mq}){\color{PineGreen}(p+q-T)}=xpq[/tex3]
[tex3]{\color{Blue}np}{\color{PineGreen}(p+q-T)}-{\color{YellowOrange}mq}{\color{PineGreen}(p+q-T)}=xpq[/tex3]
[tex3]n(p^2+pq-Tp)-m(pq+q^2-Tq)=xpq[/tex3]
[tex3]n(pq+p^2-Tp)-m(pq+q^2-Tq)=xpq[/tex3]
Note a similaridade das equações:
[tex3]\left\{\begin{matrix}{\color{PineGreen}m}({\color{PineGreen}Tq-q^2})={\color{Purple}n}({\color{Purple}Tp-p^2})=y\\{\color{Purple}n}(pq+{\color{Purple}p^2-Tp})-{\color{PineGreen}m}(pq+{\color{PineGreen}q^2-Tq})=xpq\end{matrix} \right.[/tex3]
É isso que iremos utilizar. Voltando as contas:
[tex3]n(pq+p^2-Tp){\color{YellowOrange}\,\,+\,\,y}\,-m(pq+q^2-Tq){\color{NavyBlue}\,\,-\,\,y}=xpq[/tex3]
[tex3]n(pq+p^2-Tp){\color{YellowOrange}\,\,+\,\,n(Tp-p^2)}\,-m(pq+q^2-Tq){\color{NavyBlue}\,\,-\,\,m(Tq-q^2)}=xpq[/tex3]
[tex3]n(pq+{\color{Red}\cancel{\color{Black}p^2-Tp}})+{\color{Red}\cancel{\color{Black}n(Tp-p^2)}}\,-m(pq+{\color{Red}\cancel{\color{Black}q^2-Tq}})-{\color{red}\cancel{\color{Black}m(Tq-q^2)}}=xpq[/tex3]
[tex3]n{\color{Red}\cancel{\color{Black}pq}}-m{\color{Red}\cancel{\color{Black}pq}}=x{\color{Red}\cancel{\color{Black}pq}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=n-m}[/tex3]
Editado pela última vez por LostWalker em 29 Jan 2022, 21:25, em um total de 1 vez.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
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