BP é bissetriz do <ABH , que determina os ângulos [tex3]\alpha [/tex3]
.
< MPB = [tex3]\alpha [/tex3]
(Alternos internos).
[tex3]\Delta [/tex3]
BMP é isósceles (BM=PM)
Analogamente [tex3]\Delta [/tex3]
BNQ é isósceles(BN=NQ).
O segmento FM passa por P que é o incentro do [tex3]\Delta [/tex3]
AHB e determina o ponto M que é o ponto de tangência da circunferência cujo incentro é I. Portanto, <IMB é reto.
Anolagamente < INB é reto.
Com isso, temos que BMIN é um quadrado (lado l) e que MN é sua diagonal e que BI também é diagonal: .
Esses dois segmentos se cruzam formando um ângulo de 90°.
Pelas semelhanças citada acima, temos que MP=NQ=l e são paralelas, portanto o quadrilátero MPQN é um paralelogramo e PQ=a.
A área do quadrilátero BPIQ é:
[tex3]A_{BPIQ}=A_{\Delta BPQ}- A_{\Delta PQI}[/tex3]
Chamemos IE = x
[tex3]\Delta [/tex3]
BPQ tem base PQ e altura BE
[tex3]\Delta [/tex3]
PQI tem base PQ e altura IE
[tex3]A_{BQIP}=\frac{a \cdot(a+x)}{2}-\frac{a \cdot x}{2}=\boxed{\color{red}\frac{a}{2}}[/tex3]
(Solução: VALDECIRTOZZI -
viewtopic.php?t=35506)